楊 喆

(沈陽大學(xué) 信息工程學(xué)院, 遼寧 沈陽 110044)

非可展直紋面是機械工程中的一種常見曲面, 多數(shù)用于航空類發(fā)動機零部件的加工, 其渦輪葉片類型面大部分是非可展直紋面. 非可展直紋面的零部件的加工一直以來都是數(shù)控加工行業(yè)中的重點和難點[1]. 通常非可展直紋面采用側(cè)銑加工, 利用回轉(zhuǎn)刀具的側(cè)刃切削零件表面, 屬于線接觸加工類型, 相比端銑加工有著零件表面可一次成形、切削條件好、效率高等優(yōu)點. 側(cè)銑加工屬于非精確加工方法, 如何進行刀位優(yōu)化, 生成有效的刀具路徑是研究的熱點問題. 刀具軌跡優(yōu)化、數(shù)控側(cè)銑加工工藝參數(shù)及刀具運動軌跡優(yōu)化是發(fā)揮數(shù)控加工設(shè)備生產(chǎn)效率的有效途徑. 近年來,我國將側(cè)銑加工作為加工非可展直紋面的主要方法.

Liu[2]利用單點偏置法、雙點偏置法及多點偏置法計算凸自由曲面和直紋面棒銑刀的側(cè)銑加工,這3種方法的特點是方法簡單、誤差較大;宮虎[3]對五坐標(biāo)回轉(zhuǎn)面刀具數(shù)控加工的運動進行分析,驗證了銑刀形成的包絡(luò)面與初始設(shè)計曲面之間的極差等于曲面上的等距面與刀具軌跡面之間的極差;Zhu等[4]針對曲面設(shè)計、刀具包絡(luò)面計算及刀具加工曲面之間的關(guān)系,將回轉(zhuǎn)刀具加工非可展直紋面進行建模;閻長罡等[5]主要介紹了圓錐銑刀的加工問題,根據(jù)銑刀的自身特點,提出了法向映射曲線的概念,將刀具的包絡(luò)面向設(shè)計曲面的逼近問題轉(zhuǎn)化為在每個刀位下法向映射曲線與特征線的最小二乘逼近問題;Hsieh[6]提出了基于粒子群智能算法的五軸數(shù)控加工刀具軌跡優(yōu)化方法,把刀具軌跡通過智能算法進行優(yōu)化.

人工魚群算法由李曉磊等[7]于2002年首次提出:在一片水域中,魚能夠自發(fā)跟隨其他魚群到達(dá)營養(yǎng)物質(zhì)豐富的地方,因此魚多的地方便是營養(yǎng)物質(zhì)豐富的位置.人工魚群算法主要利用這一特點實現(xiàn)尋優(yōu). 該算法具有并行性、簡單性、 快速跳出局部極值等優(yōu)點,缺點是尋優(yōu)精度不高,后期收斂速度慢等.

遺傳算法是模擬達(dá)爾文生物進化論的自然選擇和遺傳學(xué)機理的生物進化過程的計算模型,主要通過模擬自然進化過程尋找最優(yōu)解,該方法是從生物進化的規(guī)律演化形成的智能優(yōu)化方法.該方法能直接操作所需的結(jié)構(gòu)對象,不會受函數(shù)等的約束限制,具有內(nèi)在的隱并行性、全面的全局搜索優(yōu)化能力等.

本文集中2種算法的優(yōu)點,形成混合算法,主要解決刀具軌跡優(yōu)化問題,并且提出了單刀位下的誤差函數(shù),給出人工魚群(AFSA)和遺傳算法(GA)混合算法的求解策略,對其加工軌跡進行優(yōu)化處理,得到最優(yōu)刀具位置,從而得到優(yōu)化后的刀軸軌跡面,再計算刀具包絡(luò)面的誤差.結(jié)果顯示,該算法具有計算效率高和求解精度高等優(yōu)點.

1 刀位矢量初始化

如圖1所示,選用兩點偏置法確定初始刀位,刀具為側(cè)銑加工常用的圓錐刀.

圖1初始刀軸的矢量建立
Fig.1Establishmentoftheinitialtoolaxisvector

刀位矢量初始化步驟如下.

1) 基線上的參數(shù)u∈[0,1],將u進行離散化分析(u=u1,u2,…,um),選取參數(shù)v=0、u=u1作為標(biāo)記點P1,再選取參數(shù)v=1、u=u1,作為標(biāo)記點P2.

2) 確定刀軸矢量的第1點Q1.

|P1P2|=

其中:(XP1,YP1,ZP1)、(XP2,YP2,ZP2)為標(biāo)記點P1、P2的坐標(biāo)值;nP1為葉片在P1處的單位法矢;nP2為葉片在P2處的單位法矢(法矢方向在葉片的同一側(cè));τ1為P1處沿曲面u方向的切矢;τ2為P2處沿曲面u方向的切矢.

則刀具軸線矢量點Q1表示為

式中:rc為刀具的小端半徑;δ為刀具的半錐角.

3) 確定刀軸矢量的第2點Q2.沿著刀的軸曲線v方向進行取值,設(shè)v=1,且保證Q2點位于P2點的曲面法線上,需要計算出|P2Q2|的大小,|P2Q2|的大小通過迭代的方法算出,迭代步驟如下:

② 刀軸矢量第2點Q2=P2+nP2·r0;

③ 計算|Q1Q2|;

⑤ 計算并比較r0和r1的大小,已知ε為控制精度的最小量,若滿足|r0-r1|<ε,則計算結(jié)束,Q2即為滿足要求的點;反之,令r0=r1,再重復(fù)步驟②～⑤.

圖2為圓錐刀軸初始矢量確定流程圖.

2 單刀位下的誤差計算

由于在非可展直紋面上位于直母線上的各點法向矢量不同,因此無法采用圓柱滾動形成包絡(luò)面.實際的加工誤差應(yīng)為刀具的包絡(luò)面與設(shè)計曲面沿法線方向的誤差.非可展直紋面與通常的曲面不同,其加工誤差無法避免,對于不同的刀位下應(yīng)有

|PiQi|=r(Pi),i=1,2,…,n,n∈N.

(1)

式中:|PiQi|為刀軸某點到非可展直紋面的距離;r(Pi)為刀軸一點到圓錐面的距離.

根據(jù)式(1)可以得出,刀位誤差與||PiQi|-r(Pi)|的值有關(guān),||PiQi|-r(Pi)| 越小,誤差越小,因此只需讓不同刀位下刀軸各點的|PiQi|與r(Pi)的差值最小,就會使刀具的包絡(luò)曲線與實際曲面極大限度地接近.

顯然,若要使誤差減小,就應(yīng)使||PiQi|-r(Pi)|盡可能小,若每個刀位下刀軸上的每一點都盡可能滿足上述條件,進而得到的刀具包絡(luò)面會最大限度逼近設(shè)計曲面.由以上分析可知,單刀位下的誤差度量函數(shù)為

(2)

式中:c表示刀軸位姿;r(Pi)是刀軸一點到圓錐面的距離,為已知量,關(guān)鍵在于如何求出|PiQi|.令垂足坐標(biāo)(ui,vi),因此垂足(ui,vi)滿足方程

(3)

其中ru(ui,vi)為Pi點在u方向的切矢;rv(ui,vi)為Pi點在v方向的切矢.

由于方程的的計算求解比較困難, 因此采用數(shù)值法求解.單刀位下的誤差函數(shù)的求解近似為一個目標(biāo)函數(shù)求解極小值的問題.由于函數(shù)表達(dá)式無法確立,不能采用傳統(tǒng)的方式進行求解,因此采用智能算法進行求解分析.

傳統(tǒng)方法是通過計算刀具的包絡(luò)誤差判斷刀具在某刀位下過切或欠切的情況,計算過程煩瑣.相比之下,單刀位誤差函數(shù)方法能快速判斷刀位是否達(dá)到局部最優(yōu)、計算量小、計算速度快、適合編程處理.AFSA-GA智能算法會多次調(diào)用誤差度量函數(shù),因此,誤差度量函數(shù)的計算速度對算法效率有著重要影響.

3 混合智能算法刀位優(yōu)化

3.1 初始種群的建立步驟

① 將初始刀軸兩端點P1,P2作為種群球的球心,對兩個球心單獨建立2個半徑為R的球形區(qū)域作為初始種群建立空間.

② 任意給定粒子在2個球形區(qū)域內(nèi).把每個粒子看作刀軸上的端點.任意2個粒子看作1個點對,形成1個刀軸矢量,重復(fù)上述步驟A次,形成1個數(shù)量為A的矢量組P[0]、P[1]、P[2]…P[A-1].

③ 設(shè)刀軸矢量端點坐標(biāo)Q1(X1,Y1,Z1)和Q2(X2,Y2,Z2).則數(shù)組P[ ]中每個元素分別為關(guān)于X1,Y1,Z1,X2,Y2,Z2的6維矢量,總計A個6維矢量作為智能算法的初始種群.

3.2 算法設(shè)計流程

① 初始化種群.對需要的參數(shù)進行設(shè)置,比如人工魚的數(shù)量、步長、視野、覓食行為的最大嘗試次數(shù)、擁擠度因子、進化次數(shù)等多個因素.

② 公告板初始化.將每條人工魚看作一個刀軸矢量,把計算人工魚的適應(yīng)度值轉(zhuǎn)化為單刀位誤差度量函數(shù)的值進行比較,選擇最小值,并將其賦值給公告板.

③ 魚群位置更新策略.根據(jù)人工魚覓食、聚群、追尾、隨機4種行為,不斷更新自身的位置狀態(tài),在每次位置更新后,需重新計算適應(yīng)度值,然后再與公告版比較,若較優(yōu),則更新公告板;否則,公告板不變.

④ 魚群算法終止條件.當(dāng)魚群算法達(dá)到給定精度時算法終止,即滿足

(4)

若滿足式(4)條件,將最優(yōu)值賦值公告板,否則轉(zhuǎn)到步驟③繼續(xù)迭代.

⑤ 賦值遺傳算法.遺傳算法與其他算法不同的是不能直接處理空間參數(shù)問題,因此需要把所要求取問題的所有可能性的解進行編碼,組合成遺傳空間中一條條染色體.

⑥ 適應(yīng)度值計算.遺傳算法要經(jīng)過選擇操作、交叉操作、變異操作3個過程,每次新的個體更新后計算適應(yīng)度值并與公告版比較,若較優(yōu),則更新公告板;否則,公告板不變.計算每個染色體的適應(yīng)度值與gbest值進行比較,若值較小,則更新當(dāng)前最優(yōu)位置賦值給gbest.

⑦ 個體狀態(tài)更新.遺傳算法染色體速度和位置更新公式為

⑧ 計算更新后染色體的適應(yīng)度.重新計算每個染色體的適應(yīng)度值,并與其歷史值作比較,若較小,更新pbest值;將其與群體中最好染色體位置gbest比較,若較小,更新gbest值.

⑨ 更新公告板.重復(fù)步驟⑦～⑧,當(dāng)達(dá)到染色體的迭代次數(shù)后,將gbest值賦值公告板,作為最優(yōu)解輸出.

3.3 混合智能算法刀位優(yōu)化流程

圖3為混合智能算法刀位優(yōu)化流程.

圖3 混合智能算法流程圖Fig.3 Flow chart of AFSA-GA algorithm

4 包絡(luò)誤差的計算

4.1 圓錐刀圓錐面方程建立

圓錐面在固定坐標(biāo)系下的方程表達(dá)形式為

式中,t為圓錐面母線方向的參數(shù),α為轉(zhuǎn)角參數(shù).

圖4圓錐面方程建立示意圖
Fig.4Establishmentofconesurfaceequation

4.2 誤差建模

刀具面族包絡(luò)形成的便是加工曲面,刀具在加工的每個時刻形成一條加工線,將加工線集合,最終形成加工曲面.

將葉片曲面上的直母線P1P2離散化成若干個點Pi(i=1,2,…,m),沿著每個點法線方向做射線,直母線被圓錐面截取的長度用h表示,h的值就是圓錐面在此處的加工誤差,即包絡(luò)誤差,如圖5所示.

其中n為曲面Pi點處的法矢量.

實際上,任意點處的加工誤差是由不同位置的刀具加工形成的,因此,曲面某點處的加工誤差是其射線與不同的位置下的刀具圓錐面截得的最小h值.

圖5 包絡(luò)誤差說明圖Fig.5 Diagram of envelope error

5 仿真結(jié)果與分析

葉片曲面的原始數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[8],根據(jù)文獻(xiàn)內(nèi)容建立曲面模型如圖6所示,將葉片曲面劃分為28個曲面片,本文以第2曲面片為例,其2條邊界曲線均為非均勻有理B樣條曲線,并且具有相同的節(jié)點矢量[0,0,0,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.0,1.0,1.0],2條B樣條曲線相應(yīng)控制點列于表1中.

圖6 葉片曲面模型Fig.6 Blade surface model

將得到的葉片曲面的底部曲線與頂部曲線定義出各個點的坐標(biāo)值,在頂部與底部隨機選取8個點的坐標(biāo),形成表1.

選取的圓錐刀小端半徑為5 mm,錐頂半角為5°.在MATLAB軟件定義矢量,并編寫智能算法語句,代入葉片曲面的底部曲線與頂部曲線的初始值,用優(yōu)化后得到的值計算優(yōu)化后的誤差,在曲面片上均勻選取11個刀位進行單刀位誤差函數(shù)的計算.

表1 曲面片2邊界B樣條曲線控制點

表2給出u=0位置的單刀位優(yōu)化結(jié)果,由表2可知,函數(shù)值呈逐漸變小的趨勢,表明單刀位誤差逐漸變小,呈收斂狀,如圖7所示,其余刀位的結(jié)果與此類似.

表2 單刀位的優(yōu)化結(jié)果Table 2 Optimization results of single cutter

圖7 AFSA-GA收斂情況Fig.7 Convergence of AFSA-GA

在人工魚群-粒子群混合算法中,人工魚群算法保證了算法的收斂性,獲得的解在最優(yōu)解的鄰域附近,粒子群算法保證了計算后期收斂的速度.在初始軸跡面邊界曲線選取控制點,如表3所示.將坐標(biāo)數(shù)據(jù)輸入到MATLAB軟件,分析初始狀態(tài)的包絡(luò)誤差,如圖8所示.

再將初始軸跡面邊界曲線選取的控制點坐標(biāo)代入智能算法中,能夠得到新的數(shù)組,即優(yōu)化后的軸跡面樣條曲線控制點坐標(biāo),如表4所示.將新得到的坐標(biāo)數(shù)據(jù)輸入到MATLAB軟件,分析優(yōu)化后狀態(tài)的包絡(luò)誤差如圖9所示.

對比圖8和圖9,根據(jù)坐標(biāo)軸中的誤差范圍,可以看出初始軸跡面下曲面最大極差已達(dá)到0.5 mm.根據(jù)圖9的坐標(biāo)差可以計算出最大極差為0.038 9 mm.

表3 初始軸跡面邊界B樣條曲線控制點

圖8 初始包絡(luò)誤差圖Fig.8 Diagram of initial envelope error

表4優(yōu)化后軸跡面邊界B樣條曲線控制點

Table4Bsplinecurvecontrolpointofoptimizedtracesurfaceboundary mm

底部導(dǎo)線x0y0z0頂部導(dǎo)線x0y0z0159.25231.32-291.5536.5769.33-277.86159.25231.32-291.5536.5769.33-277.86162.47229.79-288.2938.1868.34-273.59163.65227.87-288.5639.7668.15-273.01165.13225.38-287.9341.4068.13-270.88167.41223.91-286.1142.4968.93-268.54168.52222.63-284.3244.1367.47-266.23169.52222.63-284.3244.1367.47-266.23

圖9 優(yōu)化后包絡(luò)誤差圖Fig.9 Diagram of envelope error after optimization

6 結(jié) 論

通過仿真結(jié)果圖像看出收斂時間得到明顯改善,主要得益于人工魚群算法和遺傳算法的優(yōu)點,能夠快速準(zhǔn)確地捕捉刀位點,在實際加工中能夠有效地提高加工效率.從優(yōu)化后的包絡(luò)誤差圖像可以看出,通過對全局優(yōu)化后,誤差變小,說明人工魚群與遺傳算法結(jié)合是非常有效的.混合算法思想為未來研究者指引了解決問題的新方向,不局限于單一的算法,對科學(xué)研究的意義非常重要.