范世鵬 王 亮 賈靜雅 李 伶 劉曉東

1.北京航天自動研究所，北京100854 2. 首都航天機(jī)械公司，北京 100076

為滿足復(fù)雜的現(xiàn)代戰(zhàn)爭需求，再入飛行器必須滿足多種終端約束條件。制導(dǎo)技術(shù)的內(nèi)涵不僅僅停留在命中精度層面，還要將終端速度控制在指定的范圍內(nèi)，以創(chuàng)造良好的末端探測條件。例如，潘興II彈頭必須減小彈道末端的飛行速度，以免被嚴(yán)重的氣動加熱所產(chǎn)生的等離子體形成信號屏障，導(dǎo)致彈上雷達(dá)無法正常工作[1]。

氣動減速是在制導(dǎo)指令中疊加額外的附加攻角，利用氣動阻力進(jìn)行減速，是工程上常用的一種有效方法。同時，產(chǎn)生的有界振蕩指令在一定程度上可以提高導(dǎo)彈突防的能力[2]。連葆華等采用變結(jié)構(gòu)控制方法，對速度進(jìn)行控制[3]。但這種減速方法沒有充分地利用彈上加速度信息，對速度的控制精度較差。

周荻等為實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈突防，將正弦指令作為參考輸入，并推導(dǎo)得到一種滑模制導(dǎo)律，使導(dǎo)彈在機(jī)動突防后仍可以精準(zhǔn)命中目標(biāo)[4]。Xue等研究了再入飛行器的預(yù)測校正制導(dǎo)，實(shí)質(zhì)上是通過全程的高度剖面實(shí)現(xiàn)對速度的控制，但該算法的計算量相對較大[5]。劉鵬云等以錐形減速滿足火箭彈對終端速度的要求，但所設(shè)計虛擬目標(biāo)的運(yùn)動規(guī)律可能因火箭彈阻力特性而無法實(shí)現(xiàn)[6]。李強(qiáng)和陳思遠(yuǎn)等提出一種大氣預(yù)估的方法，以正弦規(guī)律的側(cè)向附加機(jī)動控制速度，同時以最優(yōu)制導(dǎo)律保證落點(diǎn)和落角約束，但需要根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)在線預(yù)測終端速度，會增加彈上計算量[7-8]。陳安宏等以側(cè)向機(jī)動實(shí)現(xiàn)減速，解決了平飛段速度控制問題[9]，然而，實(shí)際工程很少采用平飛，而以特定彈道傾角的滑翔飛行。王潔瑤等在合理的假設(shè)下，推導(dǎo)了準(zhǔn)平衡滑翔段的彈道近似解，具有很好的參考價值，但未給出速度的解析公式[10]。

本文針對再入飛行器滑翔段減速控制問題，充分利用速度、阻力加速度等導(dǎo)航與測量信息，提出一種氣動精準(zhǔn)減速的可行方法。首先,考慮重力的影響，修正了滑翔段理想速度關(guān)于高度的解析表達(dá)式;其次，分析了減速回路與傳統(tǒng)制導(dǎo)回路之間的關(guān)系，提出一種減速回路設(shè)計方法，針對2個回路耦合的特點(diǎn)，提出相應(yīng)的控制策略。

1 理想速度解析表達(dá)式

為便于研究，常將空氣密度視為飛行高度的雙參數(shù)指數(shù)函數(shù)：

ρ=ρ0e-h/hs

(1)

其中，ρ0=1.752;hs=6.7×103。

圖1對比了標(biāo)準(zhǔn)的大氣密度與擬合高度-密度公式;圖2給出了大氣密度擬合的絕對誤差和相對誤差。

圖1 擬合公式得到的大氣密度近似值與實(shí)際值

圖2 擬合公式近似的相對誤差與絕對誤差

根據(jù)以上分析，在高度5km～25km的大氣擬合精度絕對偏差和相對偏差均較小，同時，適宜飛行器實(shí)現(xiàn)滑翔飛行。

在數(shù)學(xué)模型中，關(guān)于速度和高度相應(yīng)的微分方程可表示為：

(2)

其中，m為質(zhì)量;V為飛行速度;h為飛行高度;Cx為平衡滑翔攻角對應(yīng)的氣動阻力系數(shù);ρ0為空氣密度;S為參考面積;g為重力加速度;θ為彈道傾角。

對于平衡滑翔彈道，可將彈道傾角視為常值。且平衡攻角為常值，因此，將Cx視為常數(shù)。用式(2-1)除以式(2-2)，可得H-V空間的微分方程為：

(3)

可以看出，上述微分方程為伯努利方程的形式，可變形為：

(4)

變量代換w=V2，則：

(5)

若終端速度為Vf，則通過求解上述微分方程可得，高度在h到hT區(qū)間內(nèi)：

(6)

其中，K可視為常值，其表達(dá)式為：

(7)

假設(shè)彈頭無阻力，則K=0，代入上式可得：

(8)

可以看出，上式為機(jī)械能守恒定律。若忽略重力的影響，設(shè)g=0，則上式變?yōu)椋?/p>

V(h)=VfeK(e-hT/hs-e-h/hs)

(9)

式(8)為傳統(tǒng)錐形減速所采用的理想速度解析表達(dá)式。

由于滑翔段飛行時間較長，重力影響較大，因此，理想速度的推導(dǎo)必須考慮重力因素的作用。由于式(6)中關(guān)于重力項(xiàng)無法解析求解，對該項(xiàng)采用高精度的多項(xiàng)式逼近。

由麥克勞林公式可知，

(10)

其中，N取正整數(shù)。由式(9)可知，若x/N趨近于0時，則截斷誤差接近于0，即N的取值應(yīng)根據(jù)x來確定。一般的，x/N<0.1。

為方便推導(dǎo)，記：

μT=e-hT/hs，μ(h)=e-h/hs

(11)

利用式(9)處理式(6)中的重力項(xiàng)，可得：

(12)

將式(11)中多項(xiàng)式展開后積分，可得：

(13)

則考慮重力的理想速度表達(dá)式為：

(14)

2 減速控制技術(shù)

這里將為保證落點(diǎn)、落角等終端約束而形成的制導(dǎo)回路稱為傳統(tǒng)制導(dǎo)回路，制導(dǎo)律可采用彈道成型等一類最優(yōu)制導(dǎo)律，在此不做深入研究。由于減速控制回路與傳統(tǒng)制導(dǎo)回路都是通過產(chǎn)生攻角來消除控制偏差，記ηc0,ηc1,ηc和η分別為傳統(tǒng)制導(dǎo)回路合攻角指令、減速回路合攻角指令、最終的合攻角指令和彈體合攻角響應(yīng)，則2個回路的耦合關(guān)系如圖3所示：

圖3 制導(dǎo)與控制系統(tǒng)框圖

記阻力系數(shù)為Cd，減速回路控制器Kc可設(shè)計為關(guān)于速度跟蹤誤差比例-積分-微分的PID形式，為加快跟蹤回路的響應(yīng)速度，省略積分項(xiàng)而采用比例-微分PD形式：

ηc1=K(Vn-Vc)+KD(Dc-Dm)

(15)

其中，Kv和KD分別為比例項(xiàng)和微分項(xiàng)的增益，Vn和Dm分別為速度導(dǎo)航值、阻力加速度測量值，Dc為當(dāng)前期望阻力加速度，由下式求得：

(16)

可采用零極點(diǎn)配置來獲得Kv和KD，考慮到速度的慣性較大，而攻角為快周期變量，因此，設(shè)計減速回路增益時，可忽略攻角響應(yīng)的動態(tài)過程，則此時減速回路的特征方程為：

s2+KvCdSref/ms+KDCdqSref/m=0

(17)

同時，減速回路增加一個零點(diǎn)，P0=-KD/Kv，可用于調(diào)節(jié)動態(tài)特性。

鑒于主要的未建模環(huán)節(jié)(彈體動力學(xué))頻率一般為20rad/s左右，而速度的慣性較大，可將速度控制回路的特征頻率配置在5～10rad/s，阻尼大于0.8。由根軌跡重心不變原理，彈體動力學(xué)對應(yīng)的極點(diǎn)右移量小于10rad/s。所有極點(diǎn)均位于左半平面，從而保證控制系統(tǒng)的收斂性。

顯然，若傳統(tǒng)制導(dǎo)回路的合攻角指令不小于減速回路合攻角指令時，前者為保證落點(diǎn)、落角精度而進(jìn)行機(jī)動飛行，已經(jīng)達(dá)到了當(dāng)前時刻減速的要求，無需生成減速回路的附加指令，此時采取“沿用傳統(tǒng)制導(dǎo)指令作為最終的指令”的策略，即ηc=ηc0。

若傳統(tǒng)制導(dǎo)回路的合攻角指令小于減速回路合攻角指令時，則需要在垂直于ηc0的垂直方向上疊加一個合攻角指令Δηc，使最終的合攻角指令為|ηc|=|ηc1|，則分解到俯仰和偏航通道的攻角與側(cè)滑角指令分別為：

(18)

圖4給出了上述情形下的2個回路合攻角指令關(guān)系的示意圖。

圖4 控制指令合成示意圖

對于傳統(tǒng)制導(dǎo)回路而言，減速回路所產(chǎn)生的附加攻角指令是一種干擾，將造成彈目運(yùn)動位置、速度的偏差。由于制導(dǎo)回路將逐漸主動消除偏差，因而會形成合攻角在空間的錐形運(yùn)動。

3 仿真驗(yàn)證

采用六自由度非線性模型進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證，飛行器數(shù)學(xué)模型采用最大升阻比為1.5的氣動布局。初始高度為27000m，初始彈道傾角為-10°，初始速度為2220m/s，在25～5km范圍內(nèi)引入錐形減速回路，要求落點(diǎn)精度優(yōu)于10m，期望落速為550m/s±100m/s，傳統(tǒng)制導(dǎo)回路采用彈道成型。圖5～8給出了在引入和未引入減速回路2種條件下的彈道重要變量仿真結(jié)果。

圖5 V-H空間的實(shí)際速度與理想速度

圖6 減速段攻角與側(cè)滑角的相軌跡

圖7 阻力系數(shù)Cd曲線

圖8 高度H曲線

從仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)引入減速回路后，飛行時間變長，通過攻角與側(cè)滑角交替錐形運(yùn)動，使飛行過程中氣動阻力系數(shù)增大，從而使終端速度滿足要求。在滑翔段25km降至5km的過程中，在引入和不引入減速回路2種條件下，減速回路對速度剖面進(jìn)行了大幅度的調(diào)整，兩者的終端速度分別為552m/s和1128m/s，由此可見，通過氣動減速是一種有效的速度控制手段。

4 結(jié)論

隨著再入飛行器控制技術(shù)的不斷發(fā)展，滿足終端速度、位置及攻擊角度等要求的多約束制導(dǎo)方法始終是該領(lǐng)域的關(guān)鍵技術(shù)。本文根據(jù)滑翔段的特點(diǎn)，在合理假設(shè)下，以高度為自變量的滑翔段速度運(yùn)動規(guī)律具有解析形式，同時由于飛行器導(dǎo)航系統(tǒng)可以獲取高度信息，這種方法適用于實(shí)際工程中的速度控制。由于傳統(tǒng)制導(dǎo)回路與減速控制回路相互影響，本文在設(shè)計減速回路控制律的同時，制定了有效的控制策略，在不影響打擊精度的前提下，實(shí)現(xiàn)了終端速度的精準(zhǔn)調(diào)節(jié)。