周艷秋 余志強(qiáng)

(1.大連科技學(xué)院電氣工程學(xué)院,116052,大連；2.石家莊鐵道大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，050043，石家莊//第一作者，副教授)

近年來(lái)，隨著新型超導(dǎo)材料的成功研制，高溫超導(dǎo)技術(shù)得到了快速發(fā)展。其中，高溫超導(dǎo)磁懸浮具有無(wú)源自穩(wěn)定的優(yōu)良懸浮特性，其相關(guān)應(yīng)用已經(jīng)成為國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)之一[1-3]。高溫超導(dǎo)軸承是其中的重要代表(以下簡(jiǎn)稱“超導(dǎo)軸承”)之一[4]，由超導(dǎo)定子和永磁轉(zhuǎn)子兩部分組成，如圖1所示。在設(shè)計(jì)和優(yōu)化超導(dǎo)軸承結(jié)構(gòu)時(shí)，采用數(shù)字方法分析其懸浮特性是非常必要的。

本文采用H法(磁場(chǎng)強(qiáng)度法)在二維軸對(duì)稱空間建立了徑向型超導(dǎo)軸承的有限元數(shù)學(xué)模型。超導(dǎo)體E-J關(guān)系(電場(chǎng)強(qiáng)度與電流密度的關(guān)系)采用冪指數(shù)模型。通過(guò)試驗(yàn)測(cè)量值與數(shù)值計(jì)算結(jié)果的比較，驗(yàn)證了本模型的正確性。在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用本模型分析了徑向型超導(dǎo)軸承的電磁特性。本文提出的數(shù)學(xué)模型不僅能夠分析大功率負(fù)載的徑向型超導(dǎo)軸承的電磁特性，而且對(duì)于內(nèi)轉(zhuǎn)子和外轉(zhuǎn)子兩種類型的超導(dǎo)軸承均適用。

1 二維軸對(duì)稱空間H法有限元模型

1.1 模型建立

本文試驗(yàn)用的徑向型超導(dǎo)軸承裝置2D(二維)軸對(duì)稱模型原理圖如圖1左圖所示。原理圖中參數(shù)含義及其數(shù)值見表1。

如圖1 a)所示，徑向型超導(dǎo)軸承裝置的超導(dǎo)定子由16個(gè)超導(dǎo)塊材組成的2層超導(dǎo)環(huán)組成，永磁轉(zhuǎn)子由3個(gè)永磁環(huán)和4個(gè)聚磁鐵環(huán)組成。所建立的2D軸對(duì)稱模型結(jié)構(gòu)和尺寸與試驗(yàn)裝置完全相同。

a) 結(jié)構(gòu)圖

參數(shù)參數(shù)含義參數(shù)數(shù)值/mmROP永磁轉(zhuǎn)子外徑18.0RIP永磁轉(zhuǎn)子內(nèi)徑10.0ROS超導(dǎo)定子外徑32.0RIS超導(dǎo)定子內(nèi)徑21.0WHTS超導(dǎo)塊材寬度10.0hHTS超導(dǎo)塊材高度16.0WPM永磁環(huán)寬度8.0hPM永磁環(huán)高度8.0hF永磁環(huán)軸向間高度2.0g永磁轉(zhuǎn)子與超導(dǎo)間氣隙3.0g1,g2定子之間氣隙1.5gb 超導(dǎo)塊材軸向氣隙1.0

如圖1 b)所示，在二維軸對(duì)稱空間里，向量H具有兩個(gè)自由度：Hr和Hz。電流密度J和電場(chǎng)強(qiáng)度E僅在φ方向具有非零分量：Jφ和Eφ。根據(jù)Ampère定律，電流密度J可表示為：

(1)

式中：

z——二維坐標(biāo)縱軸坐標(biāo)值；

r——二維坐標(biāo)橫軸坐標(biāo)值；

超導(dǎo)體E-J關(guān)系采用冪指數(shù)模型形式：

(2)

式中：

Esc——超導(dǎo)塊電場(chǎng)；

E0——常量，取值為1×10-4V/m；

Jc——臨界電流密度；

Jsc——感應(yīng)電流密度；

ni——定義為U0/kT，其中U0和k分別為超導(dǎo)體的釘扎勢(shì)能和Boltzmann常量。

采用Kim模型[5]描述外場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)臨界電流的影響。引入超導(dǎo)體的等效電阻率(effective resistivity)ρsc計(jì)算超導(dǎo)體的內(nèi)部磁場(chǎng)，即其定義為：

(3)

將本構(gòu)關(guān)系E=ρJ和Ampère定律(1)式代入到法拉第電磁感應(yīng)定律▽×E=-μ?H/?t中，得到關(guān)于向量H的拋物型偏微分方程：

(4)

式中：

μ——磁導(dǎo)率;

ρ——電阻率;

▽——梯度算子;

t——時(shí)間。

(4)式即為本模型的電磁場(chǎng)控制方程。該方程較為簡(jiǎn)潔，體現(xiàn)了H法的優(yōu)越性。

1.2 數(shù)值計(jì)算

本節(jié)采用伽遼金法和格林公式對(duì)上面得到的電磁場(chǎng)控制方程(4)式進(jìn)行推導(dǎo)，得到其弱形式為：

(5)

式中：

S——整個(gè)求解域；

Г——S的邊界；

?H/?n——邊界上法向微分，n為S表面法向單位矢量；

W——向量H的權(quán)函數(shù)。

對(duì)計(jì)算域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，選擇一階三角形單元為試探函數(shù)，則在一個(gè)網(wǎng)格單元里，向量H的表達(dá)式為H=Hj，e(t)Nj，j=1，2，3,e表示單元；根據(jù)伽遼金法，權(quán)函數(shù)與試探函數(shù)相同即W=Ni，i=1，2，3；式中i，j是單元節(jié)點(diǎn)的編號(hào)。這樣，在網(wǎng)格單元的一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的弱形式方程可以寫為：

(6)

在時(shí)域中，采用后向Euler法對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散化處理，將每個(gè)單元質(zhì)量矩陣和單元?jiǎng)偠染仃囘M(jìn)行擴(kuò)充，并把擴(kuò)充后的矩陣中具有相同下標(biāo)的元素進(jìn)行累加，將單元列向量擴(kuò)充為含所有節(jié)點(diǎn)向量的列向量。這樣，就得到了該非線性系統(tǒng)的最終的有限元方程，其形式如下：

([M(μ)]+[S(ρ)]·Δt){Hc}=

[M(μ))]{Hc-1}

(7)

式中：

Δt——連續(xù)時(shí)間步的時(shí)間間隔；

c、c-1——分別代表當(dāng)前時(shí)間步和上一個(gè)時(shí)間步。

對(duì)應(yīng)于單元矩陣，[M(μ)]和[S(ρ)]分別為非線性系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。列向量{Hc-1}在本時(shí)間步為已知，放在方程的右側(cè)。

徑向型超導(dǎo)軸承的懸浮力F，是永磁轉(zhuǎn)子的磁場(chǎng)作用到超導(dǎo)定子中超導(dǎo)塊材的感應(yīng)電流所產(chǎn)生的電磁力在軸向的分量。因?yàn)槌瑢?dǎo)塊材中的感應(yīng)電流密度Jsc為φ方向，所以產(chǎn)生懸浮力的外磁場(chǎng)方向?yàn)閺较颍创艌?chǎng)的徑向分量Br。根據(jù)Lorentz方程和有限元法的特性，懸浮力F的公式可表示為：

(8)

式中：

Br——磁場(chǎng)的徑向分量;

ΔSsc,e——超導(dǎo)域網(wǎng)格單元的面積均值；

Ng——網(wǎng)格單元的數(shù)量；

數(shù)值計(jì)算的計(jì)算流程如圖2所示。

2 結(jié)果與討論

本節(jié)應(yīng)用所提出的數(shù)值計(jì)算方法，計(jì)算徑向型超導(dǎo)軸承模型的懸浮力并與測(cè)量結(jié)果進(jìn)行比較，然后分析其電磁行為。在計(jì)算的過(guò)程中，超導(dǎo)定子保持靜止，冷卻溫度為77.3 K。永磁轉(zhuǎn)子的移動(dòng)速度為1 mm/s，移動(dòng)范圍為0～10 mm。在超導(dǎo)體的冪指數(shù)模型中，ni通過(guò)U0/kT計(jì)算，其值為15。

圖3所示為徑向型超導(dǎo)軸承懸浮力的計(jì)算結(jié)果，從圖中可以看出隨著永磁轉(zhuǎn)子的軸向移動(dòng)，懸浮力呈現(xiàn)出非線性變化。懸浮力上升段曲線可以分成兩部分：線性上升段(對(duì)應(yīng)的移動(dòng)距離為0～5 mm)和飽和段(對(duì)應(yīng)的移動(dòng)距離為5～10 mm)。在線性上升段，懸浮力幾乎線性上升，臨界電流密度Jc高的曲線更接近測(cè)量曲線。在飽和段，懸浮力曲線的增加率逐漸變慢，在懸浮力達(dá)到最大值后變成負(fù)值。懸浮力的這些非線性特征主要是由于場(chǎng)冷條件下的磁通釘扎效應(yīng)造成的。也就是在線性上升段，超導(dǎo)塊材的捕獲磁通的數(shù)量幾乎保持不變，感應(yīng)電流較大，外磁場(chǎng)較強(qiáng)，所以懸浮力隨著永磁轉(zhuǎn)子的移動(dòng)迅速增加。而在飽和段，隨著永磁轉(zhuǎn)子的繼續(xù)移動(dòng)，超導(dǎo)塊材受到的外磁場(chǎng)變?nèi)酰瑢?dǎo)致了懸浮力增加緩慢進(jìn)而減少。就懸浮力曲線的形狀而言，計(jì)算曲線反映了以上兩部分的特性。

圖2 計(jì)算流程圖

圖3 懸浮力數(shù)值計(jì)算結(jié)果

2.1 懸浮力的計(jì)算

圖3亦清楚地表明了計(jì)算曲線的變化趨勢(shì)與測(cè)量曲線是一致的。隨著Jc的增加，計(jì)算曲線的最高點(diǎn)亦上升。由于試驗(yàn)中的超導(dǎo)塊材為單晶熔融織構(gòu)的YBCO材料，所以計(jì)算中Jc分別設(shè)置為6.5×107A/m2、8.0×107A/m2以及9.0×107A/m2，這些值均在材料可達(dá)到的正常范圍內(nèi)。當(dāng)Jc=6.5×107A/m2時(shí)，計(jì)算曲線在線性上升部分的最大誤差為9.2%，飽和部分的最大誤差僅為3.7%，與測(cè)量結(jié)果具有較好的一致性。

2.2 電磁行為分析

圖4為永磁轉(zhuǎn)子沿軸向移動(dòng)的6個(gè)位移處的計(jì)算域中磁場(chǎng)的分布情形。由圖4可以看出，大量的磁力線集中分布在聚磁鐵環(huán)附近，一小部分磁通線滲入到超導(dǎo)塊材的邊緣然后穿出超導(dǎo)塊材返回到相鄰的磁極附近。由于超導(dǎo)體的強(qiáng)抗磁性，只有非常少的磁通線進(jìn)入到超導(dǎo)塊材的內(nèi)部。因此，大部分磁力線被限制在了2個(gè)小的氣隙中：永磁轉(zhuǎn)子和超導(dǎo)定子之間的氣隙(圖1b中標(biāo)記為g)和2個(gè)超導(dǎo)環(huán)(圖1b中標(biāo)記為超導(dǎo)塊材)之間的軸向氣隙(圖1b中標(biāo)記為gb)。從圖5可以看出，超導(dǎo)塊材中感應(yīng)電流主要分布在其邊緣部分，因此在超導(dǎo)塊材的內(nèi)邊緣部分存在較大的電磁力。

圖4 不同位置時(shí)計(jì)算域的磁場(chǎng)分量Br分布

圖5 不同位置時(shí)超導(dǎo)塊材中感應(yīng)電流密度Jsc的分布

為了定量說(shuō)明超導(dǎo)塊材中的磁場(chǎng)和電流密度的變化情況，在圖1b)下方超導(dǎo)塊材的橫截面上選取了A—G 7個(gè)點(diǎn)，其位置如圖6示。

注:g3——A—G點(diǎn)各點(diǎn)到超導(dǎo)塊材邊緣的距離

下文定量地說(shuō)明這7個(gè)點(diǎn)的磁場(chǎng)和感應(yīng)電流密度。圖7～11分別為磁場(chǎng)和感應(yīng)電流密度隨永磁轉(zhuǎn)子軸向移動(dòng)時(shí)的數(shù)值變化圖。

圖7 永磁轉(zhuǎn)子軸向移動(dòng)時(shí)A—G點(diǎn)磁場(chǎng)徑向分量Br

圖8 永磁轉(zhuǎn)子軸向移動(dòng)時(shí)A—G點(diǎn)的磁場(chǎng)縱向分量Bz

圖9 永磁轉(zhuǎn)子軸向移動(dòng)時(shí)A、B、C點(diǎn)感應(yīng)電流密度

圖10 永磁轉(zhuǎn)子軸向移動(dòng)時(shí)D點(diǎn)感應(yīng)電流密度

圖11 永磁轉(zhuǎn)子軸向移動(dòng)時(shí)E、F、G點(diǎn)感應(yīng)電流密度

設(shè)置每個(gè)點(diǎn)到離它最近的超導(dǎo)塊材邊線的距離為1 mm。對(duì)于A、D、E點(diǎn)，它們磁場(chǎng)的幅值相對(duì)較高，如圖7～8所示。這是因?yàn)檫@些點(diǎn)距離永磁轉(zhuǎn)子最近，滲入進(jìn)來(lái)的磁通線較多的緣故。盡管A點(diǎn)和E點(diǎn)距離超導(dǎo)塊材的兩條邊都是最近的，但是A點(diǎn)同時(shí)離氣隙gb很近，其磁場(chǎng)幅值是最大的。從數(shù)值上看，A點(diǎn)Br和Bz的幅值分別為0.107 6T和0.099 8T。圖7亦清楚的表明，對(duì)于B、C、E、F點(diǎn)，其磁場(chǎng)幅值隨永磁轉(zhuǎn)子的移動(dòng)而減少。另一方面，由于磁通釘扎效應(yīng)和磁場(chǎng)的連續(xù)性，在永磁轉(zhuǎn)子移動(dòng)的過(guò)程中，每個(gè)點(diǎn)處磁場(chǎng)的變化曲線為光滑的波浪線，變化較為緩慢。

從圖9～11可看出：G點(diǎn)的感應(yīng)電流密度的變化量是最小的，其范圍為-8.118 6×106～7.245 4×106A/m2，這是因?yàn)橛休^少的磁通線滲入到G點(diǎn)，磁場(chǎng)變化較小。注意到由于較多的磁通線滲入到A點(diǎn)和E點(diǎn)，使得它們的磁場(chǎng)幅值較大，但它們的感應(yīng)電流密度并不是較大的。也就是說(shuō)，較高幅值的磁場(chǎng)并不能產(chǎn)生較大的感應(yīng)電流，即感應(yīng)電流隨磁場(chǎng)變化的增大而增加。最大的電流密度出現(xiàn)在C點(diǎn)，其值為3.789×107A/m2。圖5中C點(diǎn)處的較深顏色也能定性地反映這個(gè)結(jié)論。

通過(guò)以上分析表明，本文提出的有限元數(shù)學(xué)模型能夠用于分析包含多層超導(dǎo)環(huán)和多層永磁環(huán)的徑向型超導(dǎo)軸承的電磁行為，計(jì)算其懸浮力。

3 結(jié)語(yǔ)

本文提出的有限元數(shù)學(xué)模型能夠用于分析徑向型超導(dǎo)軸承的電磁行為，計(jì)算其懸浮力。該模型的優(yōu)點(diǎn)在于它的應(yīng)用性強(qiáng)，不僅可以分析包含多層超導(dǎo)環(huán)和多層永磁環(huán)的徑向型超導(dǎo)軸承，而且還能用于分析內(nèi)轉(zhuǎn)子型和外轉(zhuǎn)子型兩種結(jié)構(gòu)。應(yīng)用超導(dǎo)軸承的飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)已經(jīng)應(yīng)用到地鐵站的電力調(diào)峰[3]，必將對(duì)其產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。