☉陜西省靖邊中學(xué) 馬海生

對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及所在區(qū)間的問(wèn)題，最讓學(xué)生和教師感到頭疼的是如何來(lái)尋找合理且有效的點(diǎn)a與點(diǎn)b，使得（fa）·（fb）＜0.其實(shí)，這類問(wèn)題還是有規(guī)律可循的，只要我們能逐步探索出其規(guī)律，就能找到行之有效的方案，本文就如何取點(diǎn)a與b作一探討，讓零點(diǎn)問(wèn)題不再神秘.

【知識(shí)概要】

零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y=f（x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，若f（a）·f（b）＜0，則函數(shù)在區(qū)間（a，b）上至少存在一個(gè)零點(diǎn).

思路1：直接取點(diǎn)

思路2：放縮取點(diǎn)

有時(shí)我們可以通過(guò)對(duì)給定的函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行放縮，然后再取特殊點(diǎn)來(lái)進(jìn)行判斷.放縮的手段通常有：利用常見的不等式；對(duì)表達(dá)式的一部分進(jìn)行放大或縮??；在某種限制條件下放縮等.

思路3：調(diào)整取點(diǎn)

我們先選取一個(gè)值來(lái)進(jìn)行判斷，如果可行則萬(wàn)事皆休；如果不可行，則可以在這個(gè)值上作出一些調(diào)整再去判斷，如此下去，總能找到一個(gè)可行的值出來(lái).

題目：已知函數(shù)

試問(wèn)：過(guò)點(diǎn)P（0，2）可作多少條直線與曲線y=f（x）相切？并說(shuō)明理由.

分析：設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線l與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)Q（x0，f（x0）），

因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)P（0，2），

先對(duì)g（x）求導(dǎo)，可得

分類討論：

①當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)y=g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，y=g（x）至多只有一個(gè)零點(diǎn).

猜測(cè)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，現(xiàn)在去尋找兩個(gè)值m，n，使g（m）＜0，g（n）＞0.

所以取x=e即滿足條件.

②當(dāng)a＞0時(shí)，由

即g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，

由lnx≤x-1＜x，可得

然后，猜測(cè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，現(xiàn)在只需要找m和n，使得

換個(gè)角度，使alnx-a-2=0，則

令x，此時(shí)，還是不對(duì)，有可能小于零！那么呢，行嗎？

事實(shí)告訴我們，還是不行！那么問(wèn)題出在哪兒？真的不能這樣處理嗎？

進(jìn)一步改進(jìn)！顯然分母是一次多項(xiàng)式已經(jīng)不可行了，調(diào)整為二次！

對(duì)h（x）求導(dǎo)，可得故h（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增.

所以h（x）＞h（0）=0，結(jié)論成立.

變題：已知a∈R，求函數(shù)f（x）=2x-alnx-a-2的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

分析：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可得

分類討論：（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

所以f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多有一個(gè).

所以f（x）在（0，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，令f（′x）=0，得

判斷函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)！現(xiàn)在找m，n，使得n，且f（m）＞0，f（n）＞0.

先取特殊值，令n=ea，則，且有（fe）a=2ea-a2-a-2，可證得f（ea）＞0.

考慮令-alnx-a-2=0，則

所以當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn).

方法總結(jié)：對(duì)于此類難題的處理，一般沒有現(xiàn)成的規(guī)律和方法可循.我們只能通過(guò)一些手段去探求問(wèn)題的正確思路.比如：①化歸，嘗試著將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)我們較為熟悉的問(wèn)題或者是另外一種表達(dá)方式，看看是否有益于尋找正確的解題思路；②結(jié)合已知的表達(dá)式，弄清影響函數(shù)取值的主要因素，合理且有效地去猜測(cè)、驗(yàn)證、調(diào)整、再驗(yàn)證，必要的話，不斷重復(fù)這樣的過(guò)程；③結(jié)合常見的不等式去放縮，看看是否對(duì)解題有所幫助；④聯(lián)想以前是否有過(guò)類似的問(wèn)題，當(dāng)時(shí)的解法是否有用或者改進(jìn)后是否有用.通過(guò)這些手段，總能使問(wèn)題得到解決.