☉浙江師范大學附屬中學 周建平

函數(shù)是高中數(shù)學中基礎性強、特征顯著的知識內容，也是高考數(shù)學重難點問題命制的落腳點，教材編排了大量的章節(jié)對其進行描述與探討.其中函數(shù)值域的求解是需要著重掌握的知識點，值域即取值范圍，研究函數(shù)的值域不僅是函數(shù)性質探討中必不可少的環(huán)節(jié)，也是強化學生的法則運用與助力學生知識的內化吸收的重要載體.下面對其解法加以探究思考.

一、函數(shù)值域問題的解法例說

求解函數(shù)值域是高中數(shù)學中較為特殊的一類問題，雖然很少獨立存在，但綜合問題的求解卻難以避免.學生在解題時很容易出錯，陷入誤區(qū)，但實際上該類題的解法較為簡易，只需要進行適當?shù)貧w納整理即可.對于不同類型的函數(shù)值域問題需要使用不同的方法，即根據(jù)函數(shù)的特點選用對應的解法.

1.單調性法

單調性是函數(shù)的重要性質之一，對于函數(shù)f（x），若自變量x在增大（或減?。r，函數(shù)值f（x）也隨之增大（或減?。?，則函數(shù)f（x）在其對應區(qū)間上具有一定的單調性，此時就可以使用單調性法來探究函數(shù)的值域，解題時只需要確定函數(shù)的端點值即可.

例1若x∈（0，π），試求函數(shù)的值域.

分析：上述函數(shù)屬于復合三角函數(shù)，可以適當加以變形，令t=sinx，則定義域為（0，1］，原函數(shù)變?yōu)間（t）=t+，屬于“”型，該類型的函數(shù)具有一定的單調性，可以使用單調性法加以探究，首先分析其單調性，然后討論其取值范圍.

解：令t=sinx，則原函數(shù)變形為對于函數(shù)，當t∈（0，2）時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，當t∈（2，+∞）時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.所以當區(qū)間為（0，1］時，函數(shù)單調遞減，且當t=1時，函數(shù)g（t）取得最小值5；當t趨近于0時，函數(shù)f（t）取得最大值，且為正無窮大，即的值域為［5，+∞）.

總結：使用單調性法求解值域時具有一定的特點限制，即所求函數(shù)必須為單調函數(shù)，此時才可以利用端點值來確定值域.

2.換元法

換元法是數(shù)學解題的常用方法之一，同樣適用于求函數(shù)的值域問題，即將函數(shù)中的變量部分加以代換，從而構建出與之等價的函數(shù)，通過研究等價函數(shù)的值域來間接求解.需要注意的是換元思路有多種方式，常見的有整體換元、局部換元、三角換元，需根據(jù)具體的函數(shù)特征來加以確定.

例2試求函數(shù)的值域.

分析：上述函數(shù)含有根號，相對而言不便直接進行計算，此時可以考慮采用局部換元的方式將根號消除，如令，此時有

總結：函數(shù)的換元法是一種簡化變形的方式，因此在換元的過程中需要保證函數(shù)的本質不變，包括函數(shù)的定義域，上述過程在換元后特別對其自變量的取值加以定義，以確保換元前后的等價關系.解題時使用換元策略是為了達到簡化的目的，常見的有消除根號、分數(shù)、高次項等.

3.配方法

我們在學習二次函數(shù)及其圖像時可知二次函數(shù)的頂點一般是函數(shù)的最值，位于頂點坐標的兩側的函數(shù)具有單調性，這是二次函數(shù)的特性.而在解題時可以考慮借用該性質，即通過配方的形式將原函數(shù)變形為二次函數(shù)，然后借用二次函數(shù)的性質來進行求解.顯然該方法的關鍵是正確配湊出二次方程，然后等價轉換為y=a（xm）2+n的形式.

例3已知x∈［-2，5］，f（x）=x2-4x+1，試求函數(shù)y=f（x）的值域.

分析：觀察可知原函數(shù)中含有二次項，顯然可以通過配方法轉化為y=a（x-m）2+n的形式，其中a的符號決定函數(shù)圖像的開口方向，且在x=m處必然取得函數(shù)的最值.

解：對原函數(shù)進行配方變形，可得f（x）=（x-2）2-3，顯然當x=2時，函數(shù)取得最小值，且最小值為-3.對于其最大值則需要比較x=-2和x=5兩種情形下f（x）的值，分析可知當x=-2時，函數(shù)取得最大值，且最大值為13，所以原函數(shù)的值域為［-3，13］.

總結：配方法是借用二次函數(shù)的性質來求解函數(shù)值域的一種方法，常見的配方形式為：對于y=ax2+bx+c（a≠0）的形式，可將其配方為.而在求解非頂點取值的大小時可以采用距離比較法，如在上述問題中頂點的橫坐標為x=2，顯然x=-2與頂點的距離較大，故在x=-2處取得最大值.

4.數(shù)形結合法（幾何意義）

函數(shù)值域題屬于代數(shù)研究的范疇，一般可將其化歸為代數(shù)問題，而代數(shù)問題具有一定的抽象性，高中數(shù)學在研究抽象問題時常采用數(shù)形結合的方式，即繪制直觀的圖像，通過數(shù)形結合的方式來求解.因此對于一些較為特殊的函數(shù)值域問題，可以考慮通過適當轉換，繪制出相應的圖像，結合其幾何意義來分析.

例4試求函數(shù)的值域.斜率的方式，即，顯然可以將原函數(shù)視為求動點（cosx，sinx）到定點（2，3）的斜率，而動點（cosx，sinx）又滿足單位圓的軌跡方程，因此可以繪制出相應的圖像，則問題又轉換為求解圓上一點到定點（2，3）連線的斜率的取值范圍問題.

圖1

解：根據(jù)上述分析繪制出如圖1所示的圖像，通過觀察可知當圓上一點與定點的連線與圓相切時可以取得最值，設切線的方程為y-3=k（x-2），要滿足與圓相切，則需圓心O到直線的距離為1，結合點到直線的距離公式可得，解得，所以函數(shù)的值域為

分析：觀察函數(shù)的結構特點，聯(lián)想已知兩點求直線

總結：數(shù)形結合法是高中數(shù)學中十分重要的解題方法，求解函數(shù)值域問題時采用該方法需要從函數(shù)本身的特征形式入手，結合其圖像或幾何意義來繪制圖形，然后利用圖像的直觀性來解題.上述例題就是利用圖像的特點，將問題轉化為斜率的取值范圍問題，并結合圖像來簡化求解.

二、函數(shù)值域問題的解后思考

函數(shù)值域問題是高中數(shù)學中的基礎性問題，從上述對應的問題中可以看出所用的方法與函數(shù)本身的形式有著極大的關聯(lián)，解題時需要根據(jù)函數(shù)的特點和構建方式來靈活選用.教師在教學中需要關注以下幾點：

1.關注問題的多解性

函數(shù)值域問題的求解方法是多種多樣的，不同問題可能存在多種解法，并不是說“一題對一法”，只是同一問題的不同解法具有不同的復雜度.在高考解題時倡導最優(yōu)解法，但在平時的學習或教學中則需要關注一題多解，多解探究不僅可以提升解題能力，而且在探究過程中可以幫助學生全面認識問題，并發(fā)掘問題的本質內容.另外對于拓展學生的解題思維有著極為重要的意義.

2.關注問題的定義域

從上述問題的解法探究中可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)的定義域在值域的求解過程中起著極為關鍵的作用，在不考慮定義域的情形下開展函數(shù)值域的探究是沒有任何意義的，也是容易出錯的.需要注意的是，即使是題干中沒有明確指出其定義域，但在變形轉化過程中也需要加以考慮，重新分析新自變量的取值.如例2在求解函數(shù)值域時，變形后重新考慮了t的取值范圍，確保了函數(shù)轉換后的等價變形.

3.關注解題的思想

數(shù)學解題的過程從來都不是單純的簡單變形與運算，其中必然蘊含著一定的數(shù)學思想，是在數(shù)學思想的指導下開展的解題探究.對于有關函數(shù)值域問題，運用各種方法對其進行變形簡化，則其中必然含有化歸與轉化思想，所形成的新函數(shù)是在數(shù)學構造思想的指導下完成的，而采用數(shù)形結合方法求解函數(shù)值域必然涉及常見的數(shù)形結合思想.因此，可以說求解函數(shù)值域問題的過程就是多種思想方法融合運用的過程，解題基于思想，思想決定過程.教師在教學過程中需要關注數(shù)學思想內容的滲透，雖然數(shù)學思想較為抽象，學生理解起來會存在一定的困難，但可將其融合在與之對應的教學內容中，從而使學生逐步感悟思想，形成意識，提升能力.