☉江蘇省常熟市尚湖高級中學(xué) 張品軍

數(shù)列部分問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，也是高考數(shù)學(xué)的熱門考點(diǎn)，它經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)，并占據(jù)著高考數(shù)學(xué)分值的半壁江山.該部分知識貼近我們的生活實(shí)際，是新課程改革以來重要的教學(xué)內(nèi)容，該部分知識包含著很多重要的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要部分.因此，數(shù)列問題常常作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)來看待.數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列部分的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是重要內(nèi)容，它是解決任一數(shù)列問題的基礎(chǔ)，因此，解決高中數(shù)學(xué)通項(xiàng)公式部分問題是學(xué)好數(shù)列部分知識的關(guān)鍵.

一、觀察法求通項(xiàng)公式

觀察法求通項(xiàng)公式是求數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本方法，它是通過觀察數(shù)列{an}中第n項(xiàng)的數(shù)值與第n項(xiàng)之前的數(shù)值之間的關(guān)系來判斷數(shù)列的通項(xiàng)公式的一種方法.在高考數(shù)學(xué)中，涉及這類問題的試題主要有表格和圖形兩種.

例1（山東高考理科數(shù)學(xué)試題）等比數(shù)列{an}中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

行列1 2 3 1 3 2 1 0 2 1 4 3 9 8 1 8 6 4

問題分析：在解決這一問題的時(shí)候，首先要觀察表格中各數(shù)字的特點(diǎn)，根據(jù)特點(diǎn)我們發(fā)現(xiàn)需要對圖表中的數(shù)字進(jìn)行分開檢驗(yàn)，先從最小和最大的數(shù)值開始，當(dāng)a1=2時(shí)，a2=6，a3=18，符合題目要求，成等比數(shù)列.當(dāng)a1=3時(shí)，找不到符合題意的數(shù)列，當(dāng)a1=10時(shí)，也找不到符合題意的數(shù)列，那么只能選擇a1=2，a2=6，a3=18，公比q=3的等比數(shù)列，進(jìn)而就可以得到該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例2（陜西省高考理科試題）觀察下列等式，則第n個(gè)等式為______.

問題分析：這是一個(gè)典型的適用觀察法來解決的數(shù)列通項(xiàng)公式問題，該問題涉及楊輝三角的部分知識，學(xué)生需要觀察每一行的第一個(gè)數(shù)字和等號左邊的項(xiàng)數(shù)，尋找它們之間的規(guī)律.通過觀察分析可以發(fā)現(xiàn)，等號左邊第一個(gè)數(shù)為第n行的行數(shù)，項(xiàng)數(shù)為2n-1項(xiàng)，而等號右邊則是完全平方數(shù)，通過觀察右側(cè)圖形就可以得出該數(shù)列的規(guī)律為n+（n+1）+…+［n+（2n-1）-1］=（2n-1）2，即n+（n+1）+…+（3n-2）=（2n-1）2.

二、待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式

待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式實(shí)際上就是根據(jù)公式法去求數(shù)列的通項(xiàng)公式，這種方法要求學(xué)生具備較高的運(yùn)算能力，這樣學(xué)生才能夠在較短的時(shí)間內(nèi)完成對通項(xiàng)公式的求解.一般情況下，利用待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式的情況有兩種，一種是不涉及Sn和an的數(shù)列，而是直接給出等差數(shù)列或等比數(shù)列來考查學(xué)生對等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的掌握情況.

例3（遼寧高考理科數(shù)學(xué)）已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0，a6+a8=-10，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

問題分析：這一問題主要是要求學(xué)生運(yùn)用待定系數(shù)法去構(gòu)造方程，然后根據(jù)方程去求解，因此，能夠快速找到數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造方程組是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意可以列出方程組a1+d=0，a1+5d+a1+7d=-10，化簡可得a1+d=0，a1+6d=-5，進(jìn)而求出a1=1，d=-1，則an=2-n.

另一種則是融合了Sn和an的相關(guān)知識，利用這兩者之間的關(guān)系去求數(shù)列的通項(xiàng)公式，這類問題在求解的過程中需要牢固記憶通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的定義才可完成求解.

例4（湖北省高考理科數(shù)學(xué)）已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}是公比為q的等比數(shù)列.已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100.求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.

問題分析：與例3相比，本題增加了前n項(xiàng)和的問題，在難度上有所提升.另外，題目中給出的已知條件較多，學(xué)生需要按照順序選擇已知條件，不要遺漏關(guān)鍵信息，這樣問題就可以快速得到解決.因?yàn)閎1=a1，b2=2，q=d，S10=100，那么可以列出方程10a1+45d=100，a1d=2，解得a1=1，d=2或者a1=9.從而可求得數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.

三、通過構(gòu)造等比數(shù)列或等差數(shù)列求通項(xiàng)公式

通過構(gòu)造等比數(shù)列或等差數(shù)列求通項(xiàng)公式是通過構(gòu)造的方法，將原來煩瑣不規(guī)律的數(shù)列轉(zhuǎn)變成遞推式的結(jié)構(gòu)，然后進(jìn)行求解.這類題目可以通過構(gòu)造等比數(shù)列或等差數(shù)列來直接求出通項(xiàng)公式.

例5（安徽省高考理科數(shù)學(xué)）在數(shù)1和數(shù)100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作Tn，令an=lgTn，n≥1.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

問題分析：這是一道可以直接通過構(gòu)造法來求解的問題，設(shè)t1，t2，…，tn+2成等比數(shù)列，t1=1，tn+2=100，則Tn=t1·t2·…·tn+1·tn+2，Tn=tn+2·tn+1·…·t2·t1，兩式相乘Tn2=102（n+2），an=lgTn=n+2，n≥1.

例6（高考數(shù)學(xué)全國卷）已知在數(shù)列{an}中，a1=0，.求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

問題分析：由，根據(jù)上式可以看出數(shù)列｝是一個(gè)公差為1的等差數(shù)列，又因?yàn)閍=0，那么1它的首項(xiàng)，所以，進(jìn)而得出

四、累加法求通項(xiàng)公式

在數(shù)列部分問題的解題過程中，若遇到形如an+1=an+f（n）這樣的遞推數(shù)列時(shí)，我們就可以使用累加法，將它變形為an+1-an=f（n）的形式，這樣能夠幫助我們更加快捷地求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例7（高考數(shù)學(xué)文科全國卷）已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2.

（1）令bn=an+1-an，證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

問題分析：通過觀察題目中的等式可以發(fā)現(xiàn)，題目中的數(shù)列具有一定的遞推關(guān)系，我們可以利用累加法來進(jìn)行求解，需要注意的是，在利用累加法進(jìn)行求解之前需要對已知關(guān)系進(jìn)行變形.

（1）已知an+2=2an+1-an+2，那么an+2-an+1=an+1-an+2，即bn+1=bn+2，又b1=a2-a1=1，由此可見，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.

（2）通過第一問得出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=1+2（n-1），轉(zhuǎn)化可得進(jìn)而得出an+1-a1=n2，即an+1=n2+a1.因?yàn)閍1=1，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-2n+2.

五、累乘法求通項(xiàng)公式

例8（高考數(shù)學(xué)文科全國卷）在數(shù)列{an}中，a1=1，前n項(xiàng)和

（1）求數(shù)列中a2和a3的值.

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

問題分析：（1）題目中的已知條件為那么S2=a1+a2，代入數(shù)值可以得出a2=3，同理S3=a1+a2+a3，代入數(shù)值得a3=6.

（2）根據(jù)題意，當(dāng)n≥2時(shí)，得兩式相減得，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化可得a=n，那么an=，與題目中的已知條件相吻合，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

六、結(jié)語

通項(xiàng)公式是數(shù)列部分教學(xué)的重點(diǎn)，是解決一切數(shù)列問題的基礎(chǔ).文中分析了求數(shù)列通項(xiàng)公式的五種方法，并借助相應(yīng)的高考題目來說明.從本質(zhì)上來說，求解通項(xiàng)公式的這五種方法歸根結(jié)底都是數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，其中觀察法主要體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想，待定系數(shù)法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想，構(gòu)造法、累加法和累乘法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想中的化歸與轉(zhuǎn)化的思想.因此，在高中數(shù)學(xué)數(shù)列部分的教學(xué)中，教師不僅要教授學(xué)生該部分的數(shù)學(xué)知識，還要將相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行滲透，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決數(shù)學(xué)問題的能力，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效率.