☉江蘇省南京市中華中學 薛安定

為了更好地應對2020年高考的數(shù)學備考，通過對近幾年全國新課標Ⅰ卷理科數(shù)學試題中平面向量知識點的試題分析，梳理出高考數(shù)學試題對平面向量的考查意圖，了解到高考數(shù)學試題中平面向量的命題方向，并結合考試說明進行對比，為新一屆考生的復習備考提供一些展望與指導.

一、平面向量的考點分析與考查重點

考點分析與考查概況：

年份 題號 分值 考點2 0 1 3年 1 3 5分 平面向量的數(shù)量積及坐標運算2 0 1 4年 1 5 5分 兩平面向量的夾角2 0 1 5年 7 5分 平面向量的線性運算（分解）2 0 1 6年 1 3 5分 平面向量的數(shù)量積及坐標運算2 0 1 7年 1 3 5分 平面向量的模2 0 1 8年 6 5分 平面向量的基本定理

平面向量作為溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，是高考中解決問題的一種有效的方法，試題一般以填空題的形式出現(xiàn)，主要考查平面向量的模、平面向量的線性運算、平面向量的數(shù)量積及坐標運算等.

二、平面向量的試題特點及命題規(guī)律

（1）從地位上看：平面向量在高考中一直占據(jù)著重要的地位，表現(xiàn)出總體穩(wěn)定、穩(wěn)中求新的特點.

（2）從方向上看：考題遵循《考試大綱》和《考試說明》，立足基礎，貼近教材，突出能力考查.

（3）從題型上看：以選擇題、填空題為主，有一至兩道題，小題分值在5分左右，大題主要作為一種工具來解決問題.

（4）從難度上看：以容易題和中檔題為主，小題一般處于選擇題的中間位置，以及填空題的前面位置.

（5）從考點上看：重點考查平面向量的坐標運算、數(shù)量積等相關內容，經(jīng)常利用數(shù)量積的形式作為一種解題工具來參與大題的破解.

三、平面向量的命題類型

1.平面向量的基本概念問題

例1（2017年全國Ⅱ卷文4）設非零向量a，b滿足|a+b|=|a-b|，則（ ）.

A.a⊥b B.|a|=|b|C.a∥b D.|a|＞|b|

分析：結合題目條件，通過關系式|a+b|=|a-b|兩邊平方展開，結合數(shù)量積與兩平面向量的關系來判斷即可.

解：由|a+b|=|a-b|，可得|a+b|2=|a-b|2，則有a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b，即4a·b=0，則有a⊥b，故選擇答案：A.

點評：本題主要考查平面向量的數(shù)量積、平面向量的基本概念及其應用等.解決此類問題的關鍵是抓住問題的實質，結合平面向量中的相關概念、定理等加以推理與分析，進而作出正確的判斷或得到相應的答案.

2.平面向量的線性運算問題

例2（2018年全國Ⅰ卷文7；理6）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則（ ）.

分析：在解決平面向量的線性運算時，可以利用三角形法則加以轉化，也可以借助特殊的公式（如中線公式等）加以應用.

解：根據(jù)題目條件可得，故選擇答案：A.

點評：本題考查了平面向量的線性運算、三角形的性質，考查了化歸與轉化思想、運算求解能力.涉及平面向量的線性運算，關鍵是通過平面向量的分解，并建立相應的關系式來進行處理與轉化.

3.平面向量的坐標問題

例3（2018年全國Ⅲ卷文、理13）已知向量a=（1，2），b=（2，-2），c=（1，λ），若c∥（2a+b），則λ=______.

分析：根據(jù)平面向量的坐標運算，并結合c∥（2a+b）建立相應的方程，通過解方程來求解對應參數(shù)的值即可.

解：依題可得2a+b=2（1，2）+（2，-2）=（4，2），因為c∥（2a+b），可得，解得，故填答案

點評：本題考查平面向量的坐標運算及平面向量的位置關系.平面向量的坐標運算往往與平面向量的基本概念、平面向量的位置關系等知識加以綜合與應用.

4.平面向量的數(shù)量積問題

例4（2018年全國Ⅱ卷文、理4）已知向量a，b滿足|a|=1，a·b=-1，則a·（2a-b）=（ ）.

A.4 B.3 C.2 D.0

分析：結合題目條件，對關系式a·（2a-b）進行展開，結合平面向量的模運算與數(shù)量積運算求解即可.

解：由于a·（2a-b）=2a2-a·b=2×12+1=3，故選擇答案：B.

點評：本題主要考查平面向量的模與數(shù)量積等相關知識.涉及平面向量的數(shù)量積的求解與運算問題，可以通過平面向量的數(shù)量積的定義或坐標運算公式來進行轉化，關鍵是根據(jù)題目條件來合理選擇與應用.

5.平面向量的交匯問題

例5（2017年江蘇卷16）已知向量a=（cosx，sinx），

（1）若a∥b，求x的值；

（2）記f（x）=a·b，求f（x）的最大值和最小值，以及對應的x的值.

分析：（1）利用平面向量共線的坐標運算法則及同角三角函數(shù)關系求解即可；（2）利用數(shù)量積的坐標運算及兩角和的余弦公式，結合三角函數(shù)的圖像與性質來求解相應的最值問題.

解：（1） 因為

π］，a∥b，所以.若cosx=0，則sinx=0，與矛盾，故cosx≠0，于是

又x∈［0，π］，所以

點評：本題考查平面向量的共線性質、數(shù)量積的概念及運算、同角三角函數(shù)的基本關系式與輔助角公式、三角函數(shù)的圖像與性質等有關知識，通過平面向量與三角函數(shù)的知識交匯來考查能力與應用.平面向量的交匯問題往往離不開三角函數(shù)知識，通過結合平面幾何的相關知識來綜合考查.

四、平面向量的復習策略

1.回歸教材，夯實基礎

（1）準確理解相應知識的本質，重視對相關概念、定理等的理解和掌握.如相等向量與相反向量、單位向量、共線向量（或平行向量）及其基本定理、平面向量的基本定理、平面向量的模及夾角、平面向量的數(shù)量積等.

（2）重視對相關運算法則及相關公式的理解和掌握.如平面向量的線性運算、坐標運算、平面向量的數(shù)量積的相關運算公式及應用等.

（3）注意解題方法和解題規(guī)律的總結與應用.如平面向量的平行或垂直與平面向量的坐標、數(shù)量積的關系與轉化等.

（4）重視數(shù)學思想方法和數(shù)學素養(yǎng)的應用.平面向量富含數(shù)學思想方法，如函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想等經(jīng)常用來解決一些相關的平面向量問題.

2.吃透例（習）題，注重變式

在近幾年的高考中，特別是對平面向量部分知識的考查與應用，以基礎知識為主，命題主要立足于教材，適當變形，適度整合，拓展提升，同時滲透相關的數(shù)學思想方法，這已經(jīng)是高考命題的一個常態(tài).因此，在平面向量的復習過程中，萬變不離其宗，好好吃透教材的例（習）題，并在此基礎上加以適當變式探究.

3.跳出題海，培養(yǎng)素養(yǎng)

在高考復習中，一定量的練習是非常有必要的，但不能盲目地陷入題海當中，要注重“一題多解”、“一題多變”與“多題一解”等的學習實踐，養(yǎng)成變式思維，跳出題海，注重對經(jīng)典題型的變式訓練.在此基礎上，不斷提高數(shù)學運算能力、抽象思維能力、邏輯推理能力等，提升思維，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng).

五、平面向量的命題預測

從2012年全國新課標Ⅰ卷開始，平面向量是高考必考內容之一，每年都會有一道小題（選擇題或填空題）出現(xiàn)，難度相對中等或簡單，主要考查平面向量的概念、線性運算與坐標表示，以及數(shù)量積的運算與應用等.縱觀近幾年的高考命題及新課標的要求，向量考查多以基礎知識、基本方法為主，并以向量為背景考查函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、平面幾何、立體幾何、解析幾何等的基礎知識，發(fā)揮了其工具性作用，并成為了命題發(fā)展的趨勢.