☉浙江省臺州中學(xué) 畢里兵

高考壓軸題往往是對學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題等能力的考查，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高考壓軸試題也是發(fā)展學(xué)生思維的優(yōu)秀素材.

一、標(biāo)題疑惑

題目：已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點(diǎn).

（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）略.

標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意知f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.

①若a=0，則f（x）=（x-2）ex，f（x）只有一個零點(diǎn).

②若a＞0，則當(dāng)x∈（-∞，1）時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0.因此f′（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.又f（1）=-e，f（2）=a，取b滿足b＜0且b＜，則，故（fx）有兩個零點(diǎn).

③若a＜0（步驟省略），f（x）沒有兩個零點(diǎn).

綜上所述，a的取值范圍為（0，+∞）.

這是命題組所提供的的標(biāo)準(zhǔn)解答，很多學(xué)生對當(dāng)a＞0時，為什么取，使，感覺突然且無法體會其中的思想.

二、問題探究

筆者及時觀察到了學(xué)生的這一疑惑，并提出了以下問題：當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有幾個零點(diǎn)？引導(dǎo)學(xué)生從這一問題展開導(dǎo)思研究活動.

師：大家在研究函數(shù)的零點(diǎn)上有哪些經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

眾生：解函數(shù)零點(diǎn)問題是有理可循的，解題時應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，利用導(dǎo)數(shù)來對函數(shù)的圖像與性質(zhì)進(jìn)行研究是解決此類問題時慣常所用的.

圖1

生1：f′（x）=（x-1）（ex+2a），當(dāng)a＞0時，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，1）上單調(diào)遞減，f（1）=-e＜0.如圖1，f（x）在（-∞，1）與（1，+∞）上各有一個零點(diǎn)，故a＞0時，f（x）有兩個零點(diǎn).

師：大家怎樣看待這一解法？

生2：f（x）的圖像兩側(cè)并不一定都是向上無限延伸的吧？

生3：我也覺得，由零點(diǎn)存在定理可得，要在（-∞，1）與（1，+∞）上各找出一個數(shù)使其函數(shù)值大于零.

師：當(dāng)x→±∞時，f（x）→+∞，說明生1所作圖像沒錯，直覺能夠幫助思維的形成與發(fā)展，但代替證明顯然是不行的.

眾生：為了不含ex項(xiàng)，取x=2，f（2）=a＞0，又f（1）=-e＜0，因此f（x）在（1，2）上有一個零點(diǎn).當(dāng)x＜1時，f（0）=a-2，，對小于1的自變量，使函數(shù)值大于零的值是無法取到的.

師：為什么？從式子的形式結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究與判斷是否可行呢？

生4：當(dāng)x=b（b是常數(shù)，b＜1）時，f（b）=（b-2）eb+a（b-1）2，右式結(jié)構(gòu)為am+n（m、n為常數(shù)，m＞0，n＜0），f（b）＞0與am+n＞0等價，即.因?yàn)?，因此a＞0不能推出

師：很好！x不能取常數(shù)，那我們應(yīng)該怎么辦呢？

生5：取x為關(guān)于a的式子，如取x=1-a＜1，f（1-a）=-（a+1）e1-a+a3，而e1-a難以計(jì)算，故其也難以保證此式大于零.

眾生：取很多x關(guān)于a的式子，但卻都不能保證其函數(shù)值大于零.

師：我們剛才進(jìn)行了具體的x的探尋，當(dāng)x＜1且x為常數(shù)或x=g（a）時，f（x）＞0.我們已經(jīng)知道行不通了，那么擴(kuò)大尋找范圍是否可行呢？比如將尋找x=g（a）改成x＜g（a）？

生6：此處為什么沒有考慮尋找x＞g（a）呢？

師：大家從數(shù)形結(jié)合思想方面來思考呢？

生7：由f（x）的圖像可知，當(dāng)g（a）＜x＜1時，f（x）＞0不成立.

眾生掌聲響起.

生8：當(dāng)x＜1時，如何尋找x＜g（a），使f（x）＞0？

師：當(dāng)x＜1時，看看是否可以將不等式f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2＞0化歸成x＜g（a）？

眾生：含ex的項(xiàng)怎么化呢？

師：將ex放縮成簡單式子可行嗎？

生9：由x＜1，知ex＜e，x-2＜0，則（x-2）ex+a（x-1）2＞（x-2）e+a（x-1）2，當(dāng)（x-2）e+a（x-1）2＞0，即ax2+（e-2a）x+a-2e＞0時，解得或.因?yàn)閤＜1，因此當(dāng)時，（fx）＞0.所以存在b，當(dāng)時，（fx）在（b，1）上有一個零點(diǎn).故a＞0時，f（x）有兩個零點(diǎn).

掌聲再次響起.

師：生9將ex放大為簡單的e并因此令運(yùn)算更為簡便，大家可有其他放縮方法嗎？

生10：由熟知的不等式ex≥x+1得e-x≥1-x，因此當(dāng)x＜1時，則等價，三次方的計(jì)算我不會了.

生11：根據(jù)所學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，令1-x=t＞0，則，往后我也不會了.

師：太棒了，這一解法可是原創(chuàng)??！

師：是否還有其他的放縮視角呢？

生13：將ex放大為關(guān)于a的式子，f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2右邊第二項(xiàng)含a，令ex＜a并使右邊放縮為積的形式.

生14：為什么不是放縮成ex＜2a或a呢？

師：這是值得考慮的.

生15：令ex＜ka，即x＜lnka（k＞0），當(dāng)x＜1時，（x-2）ex+a（x-1）2＞（x-2）ka+a（x-1）2=a［x2+（k-2）x+1-2k］.

當(dāng)x2+（k-2）x+1-2k＞0時，解得，所以當(dāng)x＜lnka且時，f（x）＞0.

于是存在b，當(dāng)b＜lnka且（k＞0）時，f（x）在（b，1）上有一個零點(diǎn).故a＞0時，f（x）有兩個零點(diǎn).

師：太棒了，這也是原創(chuàng)啊！

生16：我是這樣想的.令ex＜c，即x＜lnc（c＞0），當(dāng)x＜1時，（x-2）ex+a（x-1）2＞（x-2）c+a（x-1）2=ax2+（c-2a）x+a-2c.當(dāng)ax2+（c-2a）x+a-2c＞0時，解得或x＜，因此當(dāng)x＜lnc且時，（fx）＞0.于是存在b，當(dāng)b＜lnc且時，（fx）在（b，1）上有一個零點(diǎn).故a＞0時，f（x）有兩個零點(diǎn).

當(dāng)c=e時，解法與生9的相同；當(dāng)c=ka時，解法與生15的一致；當(dāng)時，解法與命題組給出的答案一致.

眾生掌聲如潮.

師：大家一起來總結(jié)一下我們在探究中用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法呢？

眾生與教師一起總結(jié)探究活動中所運(yùn)用到的數(shù)學(xué)思想方法.

師：太好了，大家的數(shù)學(xué)直觀想象、運(yùn)算、抽象等能力均得到了鍛煉.

三、教學(xué)感悟

知識的吸收與食物的吸收一樣都需要一個自然曲折的過程，教師應(yīng)善于對教材進(jìn)行加工與創(chuàng)作并使學(xué)生在情境與導(dǎo)思中展開探究，使學(xué)生的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造變得自然并因此令數(shù)學(xué)課堂教學(xué)彌漫著自然的芬芳，并自然地呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識的概念、定義、本質(zhì)，從而促成學(xué)生思考、練習(xí)、交流與反思的自然發(fā)展.

教師應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度的思考并使其思維獲得發(fā)展，將課堂建設(shè)成為以導(dǎo)達(dá)思的探究活動平臺，真正擔(dān)任起導(dǎo)師的責(zé)任，并創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的問題情境，使學(xué)生在思考與回答問題中獲得教師及時的評價與修正，并因此激發(fā)學(xué)生的深層思考與探究.教師應(yīng)將課堂設(shè)計(jì)成環(huán)環(huán)相扣、跌宕起伏的導(dǎo)思、探究、領(lǐng)悟與互助活動，從而使學(xué)生的思維自然流瀉，創(chuàng)新自然靈動.