陳保家，賀王鵬，胡 潔，王 賡，郭寶龍

(1.三峽大學(xué) 水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 宜昌 443002;2.西安電子科技大學(xué) 空間科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710071)

大型復(fù)雜機(jī)械設(shè)備的狀態(tài)監(jiān)測(cè)與故障診斷理論與技術(shù)一直是國內(nèi)外的研究熱點(diǎn)。如果能在機(jī)械設(shè)備故障的初期階段識(shí)別故障，并及時(shí)采取有效措施進(jìn)行維護(hù)，對(duì)于保障設(shè)備運(yùn)行安全具有重要意義[1-2]。然而在機(jī)械設(shè)備診斷過程中，無論是在時(shí)域還是在頻域上采集得到的振動(dòng)信號(hào)總是包含著噪聲干擾成分[3]。因此，如何精確提取微弱故障特征是大型復(fù)雜機(jī)械設(shè)備的狀態(tài)監(jiān)測(cè)與故障診斷領(lǐng)域所面臨的巨大挑戰(zhàn)[4]。

信號(hào)稀疏表示方法是強(qiáng)噪聲干擾下提取微弱故障特征的有效方法之一，基于l1范數(shù)的凸正則化是目前應(yīng)用最為廣泛的稀疏表示方法，不僅能夠有效地誘導(dǎo)稀疏，而且利用l1范數(shù)方法所建立的目標(biāo)函數(shù)具有嚴(yán)格凸性，可很容易利用算法得到全局最優(yōu)解。但l1范數(shù)方法容易低估被提取信號(hào)的高振幅分量，而振動(dòng)峰值信號(hào)往往可能包含著更多的故障特征信息。非凸正則化也得到了廣泛的應(yīng)用，對(duì)高振幅分量的估計(jì)更為準(zhǔn)確的同時(shí)，還可以提取出更為稀疏的故障特征。然而，非凸正則項(xiàng)的引入可能會(huì)犧牲目標(biāo)函數(shù)的嚴(yán)格凸性，使其具有不相關(guān)的局部極小值。針對(duì)此問題，一些學(xué)者在近年來研究了能夠保持目標(biāo)函數(shù)整體為凸的非凸稀疏正則化凸優(yōu)化問題，且所得結(jié)果比凸稀疏正則化更佳[5]。文獻(xiàn)[6]采用非凸精細(xì)正則化用于增強(qiáng)特征稀疏性，有效地解決了軸承故障診斷中耦合稀疏故障特征分離的問題。文獻(xiàn)[7]提出了一種基于非凸稀疏正則化的齒輪箱故障特征提取方法，解決了從噪聲數(shù)據(jù)中同時(shí)提取周期瞬態(tài)和高共振分量用于齒輪箱故障檢測(cè)的問題。文獻(xiàn)[8]提出了一種針對(duì)軸承的故障診斷方法，采用非凸正則項(xiàng)來增強(qiáng)特征的稀疏性，該方法有效地提高了軸承故障信號(hào)的估計(jì)精度。文獻(xiàn)[9]提出了一種功率分配算法用于多站分布式雷達(dá)的目標(biāo)定位，對(duì)凸松弛算法加以改進(jìn)，通過凸松弛參數(shù)的自修正減少凸松弛算法的額外誤差來逼近最優(yōu)結(jié)果。

筆者提出了一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的廣義最小最大凹(Generalized Minimax-Concave，GMC)懲罰函數(shù)增強(qiáng)的稀疏特征提取方法。該稀疏特征提取方法是利用廣義最小最大凹懲罰函數(shù)建立優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)，以提高故障特征的提取精度，并且證明了保持目標(biāo)函數(shù)整體為凸所需要滿足的約束條件。引入近端算法求解所構(gòu)造的無約束優(yōu)化問題。此外，筆者研究了數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的正則化參數(shù)設(shè)置準(zhǔn)則，保證所提出的稀疏特征提取方法具有參數(shù)自適應(yīng)性。將該方法應(yīng)用于仿真信號(hào)和實(shí)際故障實(shí)驗(yàn)中，結(jié)果表明，所提出的方法可以精確地從噪聲干擾中提取出微弱故障特征且效果更稀疏。

1 信號(hào)模型和廣義最小最大凹懲罰函數(shù)

1.1 信號(hào)模型

假設(shè)觀測(cè)到的信號(hào)y的表達(dá)式為

y=x+w，

(1)

其中，x表示故障信號(hào)，是由局部故障引起的重復(fù)瞬態(tài)；w表示背景噪聲，一般為高斯白噪聲和其他不需要的分量。

1.2 廣義最小最大凹懲罰函數(shù)

在文中，廣義最小最大凹懲罰函數(shù)用來加強(qiáng)特征的稀疏性[10]。廣義最小最大凹懲罰函數(shù)是利用由卷積下確界定義的Huber函數(shù)進(jìn)行多元推廣得到的，是一類能夠確保最小二乘目標(biāo)函數(shù)嚴(yán)格凸性的非凸罰函數(shù)，既避免了傳統(tǒng)l1范數(shù)正則化求解算法問題的低估特性，又能更大限度地增強(qiáng)提取特征的稀疏性[5]。

一般，變尺度Huber函數(shù)可定義為

sb(x):=s(b2x)/b2,b≠0 ，

(2)

(3)

根據(jù)Huber函數(shù)，定義最小最大凹懲罰函數(shù)：

(4)

因此，一元變尺度懲罰函數(shù)(最小最大凹懲罰函數(shù))可定義為

φb(x)=|x|-sb(x) 。

(5)

若存在矩陣B，則可得到Huber函數(shù)的多元推廣sB(x)，其表達(dá)式為

(6)

對(duì)應(yīng)的最小最大凹懲罰函數(shù)多元推廣(即廣義最小最大凹懲罰函數(shù))的表達(dá)式為

ψB(x)=‖x‖1-sB(x) ,

(7)

其中，sB(x)為Huber函數(shù)的多元推廣。圖1為廣義最小最大凹懲罰函數(shù)ψB(x)的曲線。

圖2 懲罰函數(shù)的非凸程度與參數(shù)大小之間的關(guān)系

文中調(diào)節(jié)參數(shù)b或矩陣B可實(shí)現(xiàn)對(duì)廣義最小最大凹懲罰函數(shù)非凸程度的控制。若標(biāo)量參數(shù)b≥0，則矩陣B滿足半正定。改變參數(shù)大小，廣義最小最大凹懲罰函數(shù)非凸程度的變化情況如圖2所示[11]。通過觀察圖2可發(fā)現(xiàn)，隨著參數(shù)b值的增大，懲罰函數(shù)的非凸程度加大，提取特征的稀疏性也在不斷加強(qiáng)。

2 稀疏信號(hào)優(yōu)化特征提取算法

針對(duì)稀疏故障特征提取精度低的難題，筆者提出一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的廣義最小最大凹懲罰函數(shù)增強(qiáng)的稀疏特征提取方法。具體包括稀疏優(yōu)化問題的構(gòu)造、目標(biāo)函數(shù)為凸的約束條件、快速收斂算法流程以及正則化參數(shù)的自適應(yīng)準(zhǔn)則。

2.1 優(yōu)化問題的構(gòu)造

基于稀疏增強(qiáng)的廣義最小最大凹懲罰函數(shù)，構(gòu)造如下無約束優(yōu)化問題：

(8)

其中，F(xiàn)為無約束優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù);y∈RN,為觀測(cè)到的含噪信號(hào)。

2.2 目標(biāo)函數(shù)為凸的約束條件

所建立的優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)整體的嚴(yán)格凸性，可通過控制廣義最小最大凹懲罰函數(shù)的非凸程度來實(shí)現(xiàn)，其理論依據(jù)為：目標(biāo)函數(shù)中的第1項(xiàng)為二次項(xiàng)具有嚴(yán)格凸性，因此通過對(duì)廣義最小最大凹懲罰函數(shù)中的非凸可控化參數(shù)進(jìn)行控制，調(diào)整廣義最小最大凹懲罰函數(shù)的非凸程度以確保目標(biāo)函數(shù)F的整體凸性。故在用近端算法求解該優(yōu)化問題時(shí)，最終結(jié)果迭代收斂于全局最優(yōu)解，且不會(huì)受不相關(guān)的次優(yōu)局部極小值的影響。

定理1設(shè)y∈RN，λ>0。則式(8)中F為凸函數(shù)時(shí)應(yīng)滿足[10]：

(9)

其中，B可以設(shè)置為

(10)

2.3 基于近端算法的快速收斂算法

(11)

鞍點(diǎn)問題是單調(diào)包含問題的實(shí)例，因此可通過前向-后向算法(Forward-Backward Algorithm，F(xiàn)BA)計(jì)算得到[11]。具體算法步驟如下：

輸入：y∈RN,,。

初始化：ρ=max{1,γ/(1-γ)}, 0<μ<2/ρ。

對(duì)i=0,1,2...執(zhí)行循環(huán)：

(1)ω(i)=x(i)-μ(I(x(i)+γ(v(i)-x(i)))-y)。

(2)u(i)=v(i)-μγ(v(i)-x(i))。

(3)x(i+1)=soft(w(i),μλ)。

(4)v(i+1)=soft(u(i),μλ)。

直至收斂。

輸出：x。

2.4 正則化參數(shù)自適應(yīng)準(zhǔn)則

圖3 正則化參數(shù)λ隨噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ的變化情況圖

這里研究數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的正則化參數(shù)設(shè)置準(zhǔn)則，保證所提出的稀疏特征提取方法具有參數(shù)自適應(yīng)性。由于背景噪聲大小的不同，目標(biāo)函數(shù)中的正則化參數(shù)λ的取值也不同。對(duì)于不同大小的噪聲，都存在著最優(yōu)的正則化參數(shù)λ，使得稀疏故障特征的提取達(dá)到最好的效果。因此，可根據(jù)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ的大小，設(shè)置廣義最小最大凹懲罰函數(shù)構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)的正則化參數(shù)λ。在實(shí)踐中，為了加強(qiáng)特征的稀疏性使提取結(jié)果達(dá)到最佳稀疏效果，懲罰函數(shù)中的非凸可控化參數(shù)一般設(shè)置為γ=0.8。經(jīng)過大量的數(shù)值模擬，統(tǒng)計(jì)得到噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ與正則化參數(shù)λ的關(guān)系與擬合直線如圖3所示。通過該擬合直線，對(duì)于不同噪聲干擾可以自適應(yīng)地對(duì)正則化參數(shù)進(jìn)行設(shè)置。

3 數(shù)值模擬信號(hào)驗(yàn)證

在本節(jié)中，仿真研究所提出的廣義最小最大凹懲罰函數(shù)增強(qiáng)的稀疏特征提取方法在故障特征提取方面的性能，模擬一組沖擊信號(hào)并加入高斯白噪聲n(t)以模擬背景干擾噪聲。其中單個(gè)沖擊信號(hào)的表達(dá)式為

x(t)=exp(-20t)sin(100t) ,

(12)

仿真信號(hào)的表達(dá)式為

y(t)=Ax(t)+n(t) ,

(13)

其中，A表示沖擊信號(hào)的幅值。圖4(a)為模擬的沖擊信號(hào)波形，含噪的模擬信號(hào)波形如圖4(b)所示，其中fs=1 000 Hz作為采樣頻率，選取信號(hào)分析長(zhǎng)度M=10 000以及添加的噪聲其標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.08。圖4(b)中，模擬的沖擊信號(hào)被強(qiáng)烈的背景噪聲所破壞，無法識(shí)別和觀測(cè)到脈沖特征及故障特征頻率。選用均方根誤差(Root-Mean-Square Error，RMSE)[12]對(duì)其進(jìn)行性能評(píng)估，對(duì)于圖4(b)中的含噪仿真信號(hào)，其均方根誤差為0.096 5。

圖4 仿真信號(hào)波形及特征提取結(jié)果

利用文中所提出的方法對(duì)該含噪仿真信號(hào)進(jìn)行處理，所得到的特征提取結(jié)果如圖4所示，其中加入了l1范數(shù)正則化方法以供對(duì)比，正則化參數(shù)設(shè)置λ=0.23。結(jié)果表明，與l1范數(shù)正則化方法相比，所提出的方法能夠在降低背景噪聲的同時(shí)保留沖擊信號(hào)的幅值，其均方根誤差為0.072 2，而l1范數(shù)正則化方法的均方根誤差為0.080 6。

4 實(shí)際信號(hào)驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提出的廣義最小最大凹懲罰函數(shù)增強(qiáng)的稀疏特征提取方法在機(jī)械故障識(shí)別中的有效性，將其應(yīng)用于識(shí)別某軌道交通實(shí)驗(yàn)臺(tái)的滾動(dòng)軸承外圈輕微損傷故障。軸承安裝在測(cè)試實(shí)驗(yàn)裝置上，測(cè)試采樣頻率為12.8 kHz，轉(zhuǎn)速約為481 r/min。通過滾動(dòng)軸承具體參數(shù)，計(jì)算得到其外圈故障對(duì)應(yīng)的理論特征頻率為fo=57.8 Hz[13]。

圖5(a)為采集到的軸承外圈故障信號(hào)時(shí)域波形，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，時(shí)域信號(hào)中干擾噪聲比較大，觀察不到清晰的故障沖擊特征。針對(duì)實(shí)際測(cè)量得到的信號(hào)，背景噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差σ可以由基于小波基去噪的絕對(duì)中位差方法進(jìn)行估計(jì)得到[14]。此數(shù)據(jù)估計(jì)得到的背景噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.164 8，據(jù)此自適應(yīng)設(shè)置正則化參數(shù)為λ=0.48。如圖5(b)所示，所提出的方法能夠有效地降低背景噪聲且保留沖擊信號(hào)的幅值，明顯地觀察到所有的故障沖擊特征，沖擊單元的時(shí)間間隔約為17.2 ms，對(duì)應(yīng)特征頻率為58.1 Hz，與計(jì)算得到的外圈故障理論特征頻率fo=57.8 Hz基本一致。

圖5 實(shí)際信號(hào)波形及特征提取結(jié)果

5 結(jié)束語

筆者提出了一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的廣義最小最大凹懲罰函數(shù)增強(qiáng)的稀疏特征提取方法。該方法能夠在保留故障特征頻率的同時(shí)很好地消除背景噪聲干擾成分。利用所提出的方法建立的無約束優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)可有效地提高特征的提取精度，廣義最小最大凹懲罰函數(shù)的非凸性用于加強(qiáng)故障特征的稀疏性。此外，證明了廣義最小最大凹懲罰函數(shù)保證目標(biāo)函數(shù)整體為凸所需滿足的約束條件。引入近端算法求解基于廣義最小最大凹懲罰函數(shù)的優(yōu)化問題，該算法最終收斂于全局最優(yōu)解。通過RMSE指標(biāo)，定量地分析了所提出的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的廣義最小最大凹懲罰函數(shù)增強(qiáng)的稀疏特征提取方法，在仿真信號(hào)中的正確性及有效性。最后，將所提出的方法通過實(shí)驗(yàn)和實(shí)際應(yīng)用對(duì)軸承故障進(jìn)行診斷，結(jié)果表明，該方法可有效地識(shí)別出滾動(dòng)軸承外圈輕微損傷故障。