吳 勇，鄭 偉，牛文龍，楊 震

(1. 中國科學(xué)院 國家空間科學(xué)中心, 北京100190;2.中國科學(xué)院大學(xué) 計算機與控制學(xué)院，北京100049)

檢測一個波形和出現(xiàn)時間未知的微弱瞬態(tài)信號一直是信號處理領(lǐng)域的一個難題。瞬態(tài)信號既可以是確定信號也可以是隨機信號，持續(xù)時間很短并且淹沒在背景和噪聲之中[1]。文獻[2]基于運動目標(biāo)通過高幀頻圖像序列中一個像元時是一個瞬態(tài)事件這個理論，提出一種應(yīng)用于大視場的高軌衛(wèi)星微弱高速運動目標(biāo)監(jiān)視方法。該方法的基本假設(shè)是在檢測單元里背景穩(wěn)定不變，但是在實際應(yīng)用中背景信號是變化的，這樣該方法的檢測性能會急劇降低，所以筆者專注于解決在背景連續(xù)變化情況下的微弱運動目標(biāo)檢測。

已有的微弱瞬態(tài)信號檢測方法包括小波變換[3]、盲源分離[4]、時頻分析[5]等?？偟膩碚f，瞬態(tài)信號檢測方法可以分為兩大類。第1種是通過抑制或者估計噪聲的方式來獲取有用信號，如盲源分離和局部均值分解(Local Mean Decomposition, LMD)[6]。在實際應(yīng)用中，由于目標(biāo)信號完全淹沒在噪聲中，在去除噪聲的同時會不可避免地削弱有用信號，如在經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)中，由于實際信號中大量噪聲成分的存在、信號的時間尺度存在跳躍性變化、邊界效應(yīng)以及其他的因素，造成了經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解分量中存在模態(tài)混疊的現(xiàn)象[7]。在基于小波變換的去噪算法中，是通過將絕對值小于閾值的小波系數(shù)置零來去除噪聲的，但是在去除噪聲的同時也會不可避免地去除有用信號，不合適的閾值甚至?xí)碛杏眯盘柕耐耆珌G失[8]。為了克服這些方法的缺點，有人提出了很多新的改進方法，主要是利用目標(biāo)信號或者是噪聲的先驗特性來指導(dǎo)算法去除噪聲，如在沖擊信號檢測中，利用峭度來度量信號的沖擊特性來去目標(biāo)信號進行檢測[9]，利用高斯噪聲的統(tǒng)計特性來進行檢測,如信號的高階統(tǒng)計量和高階譜分析等[10-12]。

第2種瞬態(tài)信號檢測方法是利用噪聲而不是去除噪聲來進行檢測的，如基于隨機共振(Stochastic Resonance, SR)[13]和混沌理論的檢測方法[14]等。隨機共振是利用一個非線性系統(tǒng)，將通過系統(tǒng)的部分噪聲能量轉(zhuǎn)化為目標(biāo)信號的能量，增強有用信號的輸出[15]?；陔S機共振的方法對周期信號的檢測效果十分明顯[16-17]，近些年其在非周期信號的檢測上也有著越來越多的應(yīng)用[18-19]；而基于混沌理論的檢測方法的基本思想是：混沌系統(tǒng)對初值條件的極度敏感性, 當(dāng)將被檢測信號注入混沌系統(tǒng)后, 就可導(dǎo)致此混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為發(fā)生很大變化[20]，其在周期信號檢測上效果十分明顯[21-22]。

上述這些方法都是專注解決在背景不變的情況下微弱信號檢測，但是在實際應(yīng)用中背景信號往往是變化的。針對這個問題，筆者提出一種基于核函數(shù)的對背景魯棒的微弱瞬態(tài)信號檢測方法，通過派生特定核函數(shù)，利用派生得到的核函數(shù)多次求相鄰兩個信號片段在高維空間的相識度的方式，實現(xiàn)在連續(xù)變化背景中檢測微弱瞬態(tài)信號。用于解決在文獻[23]提出的利用高幀頻圖像序列檢測微弱運動目標(biāo)的方法中，由于光照變化和平臺抖動等因素，會帶來背景變化的問題。

1 核函數(shù)基礎(chǔ)理論

核函數(shù)作為為一種解決非線性問題的技巧在機器學(xué)習(xí)和模式識別中有著十分廣泛的應(yīng)用[24][25]，核函數(shù)定義：

設(shè)χ為輸入空間(歐氏空間Rn的子集或者離散集合)，H為特征空間，如果存在一個函數(shù)使得對所x,z∈χ，滿足

k(x,z)=〈φ(x),φ(z)〉 ，

(1)

其中，φ:x∈χ→φ(x)∈H，為映射函數(shù)；〈φ(x),φ(z)〉為φ(x)和φ(z)的內(nèi)積，則稱k(x,z)為核函數(shù)。

核技巧的基本思想是不通過顯示定義映射函數(shù)φ將輸入空間定義到高維特征空間，而是通過核函數(shù)在輸入空間計算兩個特征向量在高維特征空間的內(nèi)積的方法將問題從輸入空間映射到高維特征空間之中，這樣做帶來的好處是：

(1) 將尋找十分困難的映射函數(shù)問題轉(zhuǎn)換為尋找相對容易的核函數(shù)問題；

(2) 通過核函數(shù)將低維空間中線性不可分問題轉(zhuǎn)換為高維特征空間線性可分問題，降低解決問題難度；

(3) 在原輸入空間中計算高維特征空間中特征向量的相似度，使在高維空間甚至無數(shù)維空間解決線性不可分問題成為可能。

在實際應(yīng)用中往往映射函數(shù)φ(x)是很難得到，因此通過映射函數(shù)來判斷一個函數(shù)是否為核函數(shù)十分困難，判斷一個函數(shù)是否為核函數(shù)采用的是Mercer條件[26]，即

(2)

圖1 線性合成核基本原理

常用的核函數(shù)有高斯核函數(shù)、拉普拉斯核函數(shù)和多項式核函數(shù)等，不同的核函數(shù)產(chǎn)生的映射，在實際應(yīng)用中可以利用已有的核函數(shù)使用運算規(guī)則派生出新的核函數(shù)。即，滿足Mercer準(zhǔn)則的核函數(shù)同時具有以下運算規(guī)則：如果k1,k2是核函數(shù)，則k1+k2也是核函數(shù)；k1×k2也是核函數(shù)。使用一種多核線性組合的派生方法，基本思想是對每個基本核矩陣前加上系數(shù)，然后求和得到合成核，基本原理如圖 1所示。加權(quán)線性組合可以表示為

(3)

其中,ki(x,z)*為核函數(shù)的歸一化形式，表示形式為

(4)

2 基于核函數(shù)的微弱瞬態(tài)信號檢測

2.1 檢測模型

基于高幀頻圖像序列的運動點目標(biāo)檢測方法是根據(jù)運動目標(biāo)經(jīng)過某個像元會對該像元灰度基于的時序統(tǒng)計分布帶來微弱擾動，而檢測過程本質(zhì)是檢測一個微弱的短暫瞬態(tài)信號。設(shè)高幀頻成像系統(tǒng)的采樣頻率為1/τ，采樣N幀數(shù)據(jù)所需要的時間為T=Nτ，將此定義為一個基本處理單元。時間T內(nèi)獲取圖像序列f{kτ}，其中0≤k≤N-1。目標(biāo)的檢測可以看作一個對像元在H0和H1之間的選擇假設(shè)問題：

(5)

其中，x和y表示像元所在位置，Ix,y(kτ)表示點目標(biāo)信號，nx,y(kτ)為噪聲分布，bx,y(kτ)為背景信號。當(dāng)在只考慮一個像素中的檢測問題時，模型可以簡化為

(6)

其中，x(t)為帶噪聲的背景信號，h(t)為目標(biāo)信號，因此基于單個像元的時序信號檢測暗弱運動目標(biāo)是一個典型瞬態(tài)信號檢測問題。由于目標(biāo)速度很快而且目標(biāo)的像元占比很低，因此目標(biāo)信號是一個信噪比很低、持續(xù)時間很短、出現(xiàn)時間未知的微弱沖擊信號。

2.2 基于核函數(shù)的微弱信號檢測

基于核函數(shù)的微弱瞬態(tài)信號基本思想是：將兩個具有一定延遲而且長度相同的時間序列x,y(即兩個維度相同的向量)通過非線性映射φ(x)，從低維空間H映射到高維特征空間，甚至是無窮維空間F中，以兩個時間序列在高維空間之中的內(nèi)積作為信號片段x,y的相似度，則利用核函數(shù)fF(x,y)得到相似性度量函數(shù)，也可稱為向量x,y關(guān)于核函數(shù)fF的距離為

fF(x,y)=〈φ(x),φ(y)〉 。

(9)

核函數(shù)的本質(zhì)是計算兩個特征向量在高維空間的相似性。以一個窗口在信號上滑動利用計算窗口內(nèi)兩個信號片段的相似度，當(dāng)有目標(biāo)信號時窗口內(nèi)兩個信號片段之間的相似度會發(fā)生改變，而這種改變在信噪比很低時在原始空間中是不明顯的，無法通過線性方法將其區(qū)分，通過核函數(shù)計算其在高維空間之中的相似度，將一個線性不可分的問題轉(zhuǎn)換為線性可分的問題。

不同的核函數(shù)對應(yīng)的映射效果是不同的，因此選取合適的核函數(shù)是十分關(guān)鍵的。而在實際問題中核函數(shù)選取很多時候都是靠經(jīng)驗，沒有完善的理論支撐。為了降低尋找核函數(shù)的難度，根據(jù)對高幀頻圖像序列的微弱運動目標(biāo)檢測問題中的噪聲和目標(biāo)信號特性分析，在構(gòu)造核函數(shù)時提出以下條件進行約束：

(1)為了避免目標(biāo)信號在特征空間之中和噪聲、背景信號之間不可區(qū)分，這里對映射函數(shù)需要進行約束。在目標(biāo)信號、背景信號和噪聲都未知的情況下，如果能保證輸入空間χ與特征空間H之間是一一映射，也就是

?x,y∈RN,x≠y?φ(x)≠φ(y) ，

(8)

則目標(biāo)信號和背景信號、噪聲在特征空間之中的映射就會不同。由于核函數(shù)對應(yīng)的映射函數(shù)是很難獲取的，這里可以直接對核函數(shù)進行約束，即核函數(shù)需滿足

(9)

(2)為了使該方法對于背景變化魯棒，由于背景變化的特征向量在高維特征空間之間的相似度應(yīng)該是接近的，核函數(shù)應(yīng)該滿足

fF(x,x)≈fF(x+Δ,x+Δ) 。

(10)

其中Δ表示信號的緩慢變化，即應(yīng)該使核函數(shù)滿足

?x∈RN,fF(x,x)=c，

(11)

其中，c為常數(shù)。

(3)在檢測過程中目標(biāo)信號可能出現(xiàn)在任意時刻，所以核函數(shù)需要滿足對稱性：

|fF(x,y)|=|fF(y,x)| ，

(12)

其中，x,y中的一個包含目標(biāo)信號。

2.3 基于核函數(shù)的微弱信號檢測器

在短暫的采樣時間內(nèi)，可以假設(shè)噪聲是一個寬平穩(wěn)的隨機過程，背景信號是不變或者是連續(xù)變化，在選擇合適的核函數(shù)后，結(jié)合式(6)，就會有

fF(x1(t)+h(t),x2(t))≠fF(x1(t),x2(t)) ，

(13)

則得到目標(biāo)判斷準(zhǔn)則為

(14)

(15)

是利用三角核函數(shù)和拉普拉斯核函數(shù)根據(jù)核函數(shù)派生規(guī)則派生出來的。由于三角核函數(shù)和拉普拉斯核函數(shù)都滿足Mercer準(zhǔn)則，則派生出來的核函數(shù)也滿足Mercer準(zhǔn)則。 基于核函數(shù)的微弱瞬態(tài)信號檢測基本步驟如下：

(1)信號歸一化。

這里采用的歸一化方式為

(16)

其中，[ymin,ymax] 是歸一化之后時間序列的取值范圍，xmax和xmin分別為原時間序列的最大值和最小值。

(2)計算信號的方差。

(17)

其中，mi為信號均值，N為信號長度。

(3)特征空間相似度計算。

(18)

其中，l為信號分段長度，τ是兩個信號片度之間的延遲,i表示第i個滑動窗口。

(4) 終止判斷。

(5) 信號檢測。

3 實驗及結(jié)果分析

為了驗證算法的有效性，分別將該方法應(yīng)用于仿真數(shù)據(jù)和真實數(shù)據(jù)。真實的圖像序列是使用SP-5000M-USB相機以2 000幀每秒的速度采集的。在實驗中，相機是放在一座大約50 m高的大樓的樓頂，俯拍地面，實驗場景如圖 2(a)所示，真實的實驗室數(shù)據(jù)是在拍攝過程中拋出一個圖 2(b) 中所示的一個小球來模擬運動目標(biāo)。在仿真實驗中，是通過在沒有目標(biāo)的背景圖像序列中根據(jù)運動目標(biāo)成像模型加入仿真的運動目標(biāo)。

圖2 實驗圖

圖3 目標(biāo)信號波形

3.1 仿真實驗分析

根據(jù)成像系統(tǒng)的點擴散函數(shù)，目標(biāo)經(jīng)過單個像元時在時序上的信號如圖 3所示，可以由以下公式產(chǎn)生：

(19)

其中,A為與相機以及實驗場景相關(guān)的變量，σs是點擴散函數(shù)的參數(shù)，T1和T2分別是目標(biāo)進入和離開該像元的時間，f是相機的采樣頻率，Ns為目標(biāo)信號采樣數(shù), 這里其定義為

(20)

在文中，目標(biāo)信號的信噪比定義為

(21)

(22)

3.1.1 不同實驗場景

為了驗證算法的性能，將該方法應(yīng)用于不同實驗場景：①不同的信噪比；②不同的目標(biāo)信號采樣數(shù)。在基于高幀頻圖像序列的微弱運動目標(biāo)檢測中，不同的信噪比對應(yīng)于不同的背景，根據(jù)公式不同的目標(biāo)信號采樣個數(shù)在幀頻固定時，對應(yīng)不同的目標(biāo)運動速度，在運動速度固定時則是對應(yīng)不同的采樣幀頻。

圖 4(a) 是基于核函數(shù)的檢測方法在目標(biāo)信號采樣數(shù)為40，而信噪比分別為-5 dB，-3 dB，-1 dB和0 dB時的受試者工作特性(Receiver Operating Characteristic，ROC)曲線，在信號處理中表示檢測率(正確檢測的比例)和虛警率(錯誤判別的比例)的關(guān)系，ROC曲線越靠近圖像的左上角，檢測效果越好。從圖中可以看出，算法的檢測性能隨著目標(biāo)信號的信噪比提高而增強。圖 4(b) 是基于核函數(shù)的微弱瞬態(tài)信號檢測方法在目標(biāo)信號信噪比為0 dB，采樣數(shù)為20，30,40和50時的ROC曲線。從圖中可知，隨著目標(biāo)信號采樣數(shù)的增加，算法的檢測性能越來越好，這意味著在目標(biāo)速度很大時，可以通過提高相機的采樣頻率來提高檢測性能，這也是可以使用高幀頻圖像序列檢測高速運動目標(biāo)的原因。

圖4 不同場景下實驗結(jié)果

圖5 對比實驗的實驗結(jié)果

為了驗證算法的性能，在信噪比為0dB，目標(biāo)信號采樣數(shù)為40的情況下，將筆者提出方法的結(jié)果和其他常用瞬態(tài)信號檢測方法如小波變換[27]、基于高階統(tǒng)計量[2]、隨機共振[28]的結(jié)果進行對比，不同方法的ROC曲線如圖 5所示。從圖中可知，筆者提出方法的ROC曲線在其他方法的左上方，這意味著筆者提出的方法相比傳統(tǒng)的微弱瞬態(tài)信號檢測方法有更好的檢測性能，這是由于基于核函數(shù)的檢測方法可以在非線性映射函數(shù)和高維特征空間都未知的情況下，利用核函數(shù)可以在高維特征空間之中構(gòu)造檢測算法，使得算法構(gòu)造變得更加簡單有效。核函數(shù)在圖5中也將使用核函數(shù)和使用其他核函數(shù)，如對高斯核函數(shù)的結(jié)果進行對比，從圖中可以看出，文中派生出的核函數(shù)的檢測方法的檢測性能比基于高斯核函數(shù)的檢測方法的檢測性能好很多，這是由于高斯核函數(shù)并不滿足文中提出的可應(yīng)用于高微弱瞬態(tài)信號檢測的要求，因此對核函數(shù)的約束可以有效幫助尋找有效的核函數(shù)。

3.1.2 背景變化魯棒性分析

為了驗證筆者提出方法對于連續(xù)變化背景的魯棒性，通過在穩(wěn)定的背景數(shù)據(jù)中加入一個連續(xù)變化的背景，即bx,y(kτ)是一個隨時間連續(xù)變化的函數(shù)，這里采用的函數(shù)為

bx,y(kτ)=(kτ)n,n=1,2,... 。

(23)

圖6(b)是在圖 6(a)中加入當(dāng)n=4時的背景信號，即單個像元的灰度隨采樣序列的變化，圖 6(c)和圖 6(d) 則分別為迭代一次和迭代兩次的檢測結(jié)果，即相鄰的兩個信號片段在核函數(shù)空間的距離(這里簡稱核距離)隨采樣序列的變化關(guān)系。從圖中可以看出，本方法可以有效濾掉背景變化，而保留目標(biāo)信號，而且隨著迭代次數(shù)增加，保留的背景成分會越來越少。

圖 7(a) 是目標(biāo)信號在采樣數(shù)40，信噪比為0 dB，n=1,2,3,4 情況下的ROC曲線，從圖中可以看出4條ROC曲線是基本完全重合的，這意味筆者提出的方法對于連續(xù)的背景變換是魯棒，能夠有效濾掉背景變化對檢測帶來的干擾。圖7(b)是上文對比實驗中提到的小波，高階統(tǒng)計量，隨機共振等方法在n=2時的ROC曲線。從圖中可以看出，傳統(tǒng)方法的檢測性能都有了大幅度的降低，基于高階統(tǒng)計量的檢測方法甚至已經(jīng)完全失效，而筆者提出的方法的檢測性能基本沒有改變。

3.2 真實數(shù)據(jù)實驗分析

表1 不同方法檢測結(jié)果對比

為了驗證算法對于實際微弱運動目標(biāo)檢測的性能，將該方法應(yīng)用于一段有運動目標(biāo)經(jīng)過的圖像序列中，該方法的檢測結(jié)果如圖8(e)所示，從圖中可以看出，文中的方法在控制虛警率很低的情況下可以檢測出一條連續(xù)的軌跡。使用基于高階統(tǒng)計量[2]和小波變換[27]的檢測結(jié)果分別如圖8(a)和圖8(b) 所示，從圖中可以看出這兩種方法得到的軌跡十分不連續(xù)，而且虛警率也比較高。圖8(c)和圖8(d) 則分別為基于單幀的Top-Hat[29]和基于多幀的背景建模[30]的檢測結(jié)果。從圖中可以看出，傳統(tǒng)的運動目標(biāo)檢測方法是無法檢測出連續(xù)的目標(biāo)運動軌跡。表 1 是不同方法在圖 2(a)黑框表示的感興趣區(qū)域的檢測結(jié)果的探測率和虛警率。從表中可知，基于空域的點目標(biāo)檢測算法只有18.35%的探測率，算法完全失效；基于時域的處理方法小波變換、高階統(tǒng)計量和背景建模相比基于空域的處理方法有了很大的提高，探測率分別達到49.54%、69.72%和43.12%。筆者提出的方法相比檢測效果最好的基于高階統(tǒng)計量的檢測方法在探測率有了10%多的提高，而且虛警率降到0.2%。

圖6 背景變化時的檢測結(jié)果

圖7 背景變化情況下的ROC曲線

圖8 對比實驗結(jié)果

4 結(jié)束語

針對基于高幀頻圖像序列的微弱運動目標(biāo)檢測問題中在背景變化時檢測方法的檢測性能急劇降低的問題，筆者提出一種基于核函數(shù)的對連續(xù)背景變化魯棒的微弱瞬態(tài)信號檢測方法。其具有以下優(yōu)勢：

(1)在背景不變情況下,相比小波、隨機共振、高階統(tǒng)計量等傳統(tǒng)微弱瞬態(tài)信號檢測方法有更好的檢測效果。

(2)在背景連續(xù)變化情況下，傳統(tǒng)的微弱瞬態(tài)信號檢測方法的檢測性能都會急劇降低，而文中方法的檢測性能基本不變。

(3)將其應(yīng)用于基于高幀頻圖像序列的微弱運動目標(biāo)檢測中，在虛警率為0.2%時探測率達到79.82%，性能有了很大的提高。