劉 陽，李團結(jié)，陳聰聰，唐雅瓊

(西安電子科技大學 機電工程學院，陜西 西安 710071)

在衛(wèi)星通信、對地觀測、深空探測等航天領(lǐng)域，空間可展開天線起著重要的作用，其應用十分廣泛。隨著空間技術(shù)的發(fā)展，許多科學應用領(lǐng)域?qū)Υ罂趶胶统罂趶娇臻g可展天線的需求越來越高。由于受火箭載荷及空間的限制，口徑大、質(zhì)量輕、收縮比高的可展開天線成為各航天大國的研究重點[1-3]，為此各國學者提出了形式眾多的空間可展開天線結(jié)構(gòu)概念，環(huán)柱天線是其中最具潛力的結(jié)構(gòu)形式之一[4]。

可展開天線的結(jié)構(gòu)形式多樣，對于大口徑天線，最常用的反射面結(jié)構(gòu)為網(wǎng)狀反射面。網(wǎng)狀反射面具有曲面成型精度高、收攏體積小、天線的展收比大等優(yōu)點，在衛(wèi)星通信及遙感等領(lǐng)域得到了廣泛應用，受到各航天大國普遍關(guān)注，具有制作大口徑和超大口徑天線的前景[5-7]。文中所研究的環(huán)柱天線是可展開索網(wǎng)天線的一種重要形式，美國國家航空航天局(NASA)的蘭利研究中心(Langley Reseacherch Center)與Harris公司在1980年前后共同提出環(huán)柱天線的概念[8]，它是一種預拉壓結(jié)構(gòu)，主要分為周邊圓環(huán)、中心伸展立柱、索網(wǎng)系統(tǒng)和金屬絲網(wǎng)反射面幾部分，當天線收攏時，周邊圓環(huán)在電機的驅(qū)動下向中心收攏，收攏體積可以很小[9-10]。為了驗證這種方案的可行性，美國國家航空航天局制作了口徑為15 m的環(huán)柱天線樣機[11-12]，其收攏直徑為0.9 m，收攏高度為2.7 m，天線總重為291 kg，并對其性能進行了測試[13]，這類天線的展開結(jié)構(gòu)較為簡單，但索網(wǎng)系統(tǒng)復雜，網(wǎng)面設(shè)計和調(diào)整難度比較大[14]。

為此，筆者根據(jù)環(huán)柱天線結(jié)構(gòu)組成，確定了環(huán)柱天線索網(wǎng)的幾何構(gòu)型，采用分步求解的方式計算其預應力分布，并修正節(jié)點坐標，得到環(huán)柱天線的最終節(jié)點坐標和預應力分布。最后通過有限元仿真驗證了所述索網(wǎng)結(jié)構(gòu)設(shè)計與分析方法的有效性。

1 索網(wǎng)結(jié)構(gòu)幾何設(shè)計

環(huán)柱可展開天線的主要結(jié)構(gòu)如圖1和圖2所示。主要包含周邊圓環(huán)、中心伸展立柱、索網(wǎng)系統(tǒng)和金屬絲網(wǎng)反射面。

圖1 環(huán)柱天線三維圖

圖2 環(huán)柱天線結(jié)構(gòu)圖

天線的中心立柱由可伸縮的套管組成，分為中心轂和上下立柱。周邊圓環(huán)是由48節(jié)桿件鉸接而成，通過上下各48根環(huán)支撐索分別與上下立柱端點相連，給周邊圓環(huán)提供支撐，天線網(wǎng)面固定在周邊圓環(huán)與下立柱之間，起著支撐和定位周邊圓環(huán)的作用，前網(wǎng)面采用三角形拓撲，通過豎向和斜向張緊索與背索相連，使前網(wǎng)面的節(jié)點落在理想拋物面上，網(wǎng)面的背后連接著調(diào)整索，用以形面精度調(diào)整。這些索是由高剛度低熱膨脹系數(shù)的石墨材料組成的，給金屬絲網(wǎng)提供了一個非常穩(wěn)定的支撐結(jié)構(gòu)。饋源支架是一個獨立的結(jié)構(gòu)，用以支撐饋源陣列。收攏時，周邊環(huán)可以折疊起來收縮到中心柱周圍一個很小的體積內(nèi)。

圖3 1/2片索網(wǎng)結(jié)構(gòu)示意圖

文中的重點是研究環(huán)柱天線的索網(wǎng)系統(tǒng)設(shè)計，對于這種正饋旋轉(zhuǎn)拋物面可展開天線的網(wǎng)面設(shè)計，可以從單片索網(wǎng)入手，首先確定單片索網(wǎng)節(jié)點坐標與拓撲，然后將單片索網(wǎng)進行坐標旋轉(zhuǎn)得到完整索網(wǎng)，完成其幾何設(shè)計。整個索網(wǎng)分為48片。1/2片索網(wǎng)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

1.1 前網(wǎng)面設(shè)計

前網(wǎng)面是一焦距為60 m的拋物面，以拋物面最低點為坐標原點，前網(wǎng)面的節(jié)點位置與編號如圖4所示，前網(wǎng)面內(nèi)圈和外圈半徑分別為8 m和48 m，單片網(wǎng)面對應圓心角為7.5°。為了使索網(wǎng)在靜力平衡時張力分布均勻，應使前網(wǎng)面節(jié)點盡量呈對稱分布。將邊界拉索AB沿弧長方向均分為27份得到AB間節(jié)點坐標，其他節(jié)點坐標由邊界拉索AB上節(jié)點旋轉(zhuǎn)相應角度得到。引入垂跨比調(diào)整環(huán)連接索節(jié)點位置，用以降低環(huán)連接索對周邊圓環(huán)的拉力，減小周邊圓環(huán)變形。

圖4 單片索網(wǎng)結(jié)構(gòu)前網(wǎng)面示意圖

1.2 背網(wǎng)面節(jié)點坐標設(shè)計

圖5 背網(wǎng)面結(jié)構(gòu)示意圖

背網(wǎng)面節(jié)點分布如圖5所示，調(diào)整索連接懸鏈線索與下立柱端點，調(diào)整索與x軸的夾角分別為68°、46°、36.2°和32°，豎向張緊索連接邊界索與懸鏈線索，使前網(wǎng)面位于理想拋物面上，方向沿拋物線在該點處的法線方向。

綜上所述，可以得到單片索網(wǎng)的節(jié)點坐標與拓撲，天線反射面為正饋拋物面，由對稱特性將單片索網(wǎng)旋轉(zhuǎn)陣列即可得到索網(wǎng)整體坐標與拓撲。

2 索網(wǎng)結(jié)構(gòu)預應力分析

索網(wǎng)天線的形面精度由前網(wǎng)面節(jié)點位置決定，而索網(wǎng)結(jié)構(gòu)只有在施加預應力后才具有剛度，天線在這組預應力的作用下保持平衡且前索網(wǎng)節(jié)點均位于理想拋物面上，因此索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的預應力設(shè)計是否合理直接影響著天線的形面精度。索網(wǎng)預應力求解問題中，常用的方法有力密度法、有限元法和動力松弛法等，文中采用力密度法求解環(huán)柱天線索網(wǎng)預應力。

2.1 力密度法基本原理

力密度法是一種常用的索網(wǎng)結(jié)構(gòu)找形方法，最初由Schek等提出[15]，力密度定義為索段的張力和索段長度的比值。通過力密度的概念對索網(wǎng)結(jié)構(gòu)力平衡方程進行變形，解決了原來求解非線性方程組較復雜的問題，極大地降低了求解的難度，更加有利于運算[16]。在力密度法中，網(wǎng)面的平衡位置與力密度值是相對應的，只要已知一組力密度，對應的網(wǎng)面節(jié)點坐標就能夠直接求出。

對索網(wǎng)結(jié)構(gòu)列節(jié)點力平衡方程，以x方向為例，節(jié)點i的平衡方程如下所示：

(1)

其中ci為與節(jié)點i相連的所有點，節(jié)點i、j構(gòu)成的索段稱為索段ij，Tij、Lij分別為索段ij的張力和長度，Pix為節(jié)點i在x方向上所受的合力。力密度qij=Tij/Lij，則式(1)變換成

(2)

對環(huán)柱天線所有節(jié)點列平衡方程，如下所示：

CTQCx=Px,

(3)

其中C為索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的拓撲矩陣，維數(shù)為m×n，m、n分別為索段和節(jié)點的數(shù)目；Q為索段力密度矩陣，維數(shù)為m×m，它是一個對角陣，對角線上每一個數(shù)值分別對應相應索段的力密度。索網(wǎng)節(jié)點可分為自由節(jié)點和邊界固定節(jié)點兩類，數(shù)量分別為nf和ng，因此可以將拓撲矩陣C拆分為Cf和Cg，分別對應自由節(jié)點和邊界固定節(jié)點；同理，節(jié)點的x坐標也可以分為xf和xg，分別對應自由節(jié)點和邊界固定節(jié)點的x坐標。索網(wǎng)平衡時，自由節(jié)點所受的合力為零，邊界固定節(jié)點所受的合力為支撐框架給索網(wǎng)的支反力，設(shè)其大小為Pxg，則式(3)可變換為

(4)

(5)

在索網(wǎng)力密度已知的情況下，求解式(5)可以解出所有自由節(jié)點的x坐標。運用同樣的方法，可以計算出它們y、z方向的坐標。通過此方法，給定一組力密度，無需迭代，可以快速求解與之對應的自由節(jié)點坐標。文中索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的幾何拓撲已知，需要尋找與之對應的預應力，所以需要對力密度法進行改進。首先假定一組初始預應力，通過力密度法求解出與之對應的平衡狀態(tài)下的自由節(jié)點坐標，通過節(jié)點坐標計算得到當前索段長度。為了得到新的力密度，可以通過下式進行迭代[17]：

qi+1=qili/l0，

(6)

式中,li為通過平衡后坐標計算得到的當前索段長度，l0為給定的初始索段長度。

2.2 預應力求解

進行索網(wǎng)預應力求解時，將周邊圓環(huán)結(jié)構(gòu)和中心立柱作為剛性結(jié)構(gòu)，不產(chǎn)生變形，相關(guān)節(jié)點固定。整個索網(wǎng)結(jié)構(gòu)共有346×48=16 608根索，每一根索對應一個力密度值，如果對索網(wǎng)整體進行力密度迭代，則變量太多，求解較為復雜，甚至有可能找不到解。為此，將索網(wǎng)拆分為前、后索網(wǎng)兩部分分步求解。前索網(wǎng)包含前網(wǎng)面、張緊索和懸鏈線索，其余索為后索網(wǎng)。首先由力密度法計算前索網(wǎng)的預應力，然后根據(jù)求得的預應力由節(jié)點力平衡計算剩余索預應力?？紤]到旋轉(zhuǎn)拋物面索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的對稱性，此處僅需對其2/48分塊的索網(wǎng)進行預應力求解，圖6為索網(wǎng)結(jié)構(gòu)2/48分塊的示意圖。

圖6 前索網(wǎng)結(jié)構(gòu)示意圖

2.2.1 前索網(wǎng)預應力求解

圖7 修正節(jié)點示意圖

前索網(wǎng)的結(jié)構(gòu)如圖6所示，對索網(wǎng)結(jié)構(gòu)進行預應力優(yōu)化設(shè)計時，將前索網(wǎng)的邊界節(jié)點作為固定節(jié)點處理，固定節(jié)點的位置如圖6中圓點標記所示。上下兩個分塊關(guān)于豎直平面P3對稱，上分塊與下分塊自身分別關(guān)于豎直平面P1和P2對稱。為了進一步減少變量，同時保證由分塊旋轉(zhuǎn)得到整體時索力能夠平衡，選取P1和P2之間的索力密度為設(shè)計變量，其余索力密度由對稱特性直接賦值。

圖7所示為前網(wǎng)面中需要修正的節(jié)點位置，受到結(jié)構(gòu)的限制，這些節(jié)點背后并沒有連接張緊索，故結(jié)構(gòu)平衡時會偏離拋物面。由于這些節(jié)點所在的三角形面片尺寸明顯小于其他面片，所以節(jié)點的偏離帶來的誤差可以歸于面片擬合誤差。在預應力設(shè)計階段，為了使索網(wǎng)結(jié)構(gòu)更容易達到穩(wěn)定平衡狀態(tài)，在迭代過程中，根據(jù)有限元軟件計算結(jié)果更新索網(wǎng)中需要修正節(jié)點的坐標。

為了索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的預應力分布更加合理，懸鏈線索的節(jié)點坐標也需要進行調(diào)整，采用的方法與前網(wǎng)面中節(jié)點修正方法一致。

綜上前索網(wǎng)預應力求解流程如圖8所示，求解程序編制的步驟如下：

(1)給定所有索段初始力密度q0，單步迭代次數(shù)n；

(2)求解式(5)得到第i次節(jié)點平衡坐標(初次計算時i=0)；

(3)根據(jù)平衡后節(jié)點坐標更新索段力密度qi+1=ti/l0，并給對稱索力密度賦值；

(4)解式(5)得到第i+1次節(jié)點平衡坐標；

(5)判斷迭代次數(shù)是否達到單步迭代次數(shù)n。若達到，則轉(zhuǎn)入(6)，若未達到，則i=i+1，重復(2)～(4)；

(6)將所求得的索力代入ANSYS軟件中進行靜力分析；

(7)判斷當前索網(wǎng)節(jié)點是否滿足精度要求。若滿足，則輸出此時索段力密度，退出計算；若不滿足，則根據(jù)ANSYS軟件計算結(jié)果修正無張緊索和懸鏈線索節(jié)點坐標，重復(2)～(6)。

2.2.2 后索網(wǎng)的預應力求解

圖8 前索網(wǎng)預應力求解流程圖

如圖5所示，前索網(wǎng)的預應力已經(jīng)計算得到，針對剩余索段列節(jié)點力平衡方程，只需給定其中一根索的預應力，即可計算出其余索的預應力。文中指定下輪轂索力密度值，求解平衡方程得到剩余索段力密度。

2.3 仿真驗證

利用上述方法計算得到所有索段預應力。為了驗證文中方法的有效性，將分析所得的預應力作為初始應變導入索網(wǎng)結(jié)構(gòu)有限元模型中，周邊圓環(huán)和中心立柱作為剛性結(jié)構(gòu)處理，不考慮重力的影響，進行非線性有限元分析，分析結(jié)果如表1所示。

表1 仿真分析結(jié)果

圖9和圖10分別為位移云圖和索力分布云圖。可以看到最大的節(jié)點位移為1.93×10-7m。該節(jié)點位移已經(jīng)很小，可以認為有限元仿真中出現(xiàn)的節(jié)點位移來自于預應力計算過程中的截斷誤差。也就是說，通過該方法得到的預應力是正確的，且具有較高的精度。

圖9 位移云圖

圖10 索力分布云圖

3 結(jié)束語

環(huán)柱天線具有構(gòu)建大口徑和超大口徑天線的潛力。文中根據(jù)環(huán)柱天線結(jié)構(gòu)特點確定了環(huán)柱天線索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的成形方法，將索網(wǎng)拆分為前后索網(wǎng)兩部分分別進行預應力求解。對于前索網(wǎng)，根據(jù)對稱特性進行變量歸并，采用力密度法求解預應力，并修正節(jié)點坐標；由節(jié)點力平衡求解后索網(wǎng)預應力。最后通過仿真分析，驗證了文中所提方法的可行性與有效性，為今后復雜索網(wǎng)的找形提供了一種思路。