丁軍君， 吳朋朋， 王軍平， 李 芾

(1. 西南交通大學 機械工程學院, 四川 成都 610031； 2. 中鐵物軌道科技服務集團有限公司, 北京 100036)

鋼軌打磨是當前鐵路的重要維護保養(yǎng)手段，可有效地預防和抑制鋼軌波磨、側磨和滾動接觸疲勞等病害的產生[1]，同時能有效降低輪軌噪聲[2]，在提高鋼軌使用壽命、改善鐵路運行安全性和經濟性等方面具有重要作用[3]。當前鋼軌打磨模式已由傳統(tǒng)的修理性打磨轉變?yōu)轭A防性打磨，即在打磨過程中通過控制鋼軌的型面來達到鋼軌保護的目的[4]。預防性鋼軌打磨作業(yè)的主要流程為：對待打磨區(qū)段的鋼軌廓形進行測量和采集，并從中選擇一個鋼軌廓形作為該組測量數據的代表廓形；將鋼軌代表廓形與設計廓形(目標廓形)進行對比，根據對比結果對打磨電機的磨石角度進行排列，最終利用鋼軌打磨列車將現有的鋼軌廓形打磨成設計廓形(目標廓形)，具體流程見圖1。

目前國內外對鋼軌打磨技術的研究集中在打磨廓形設計、打磨工藝和打磨列車動力學等方面[5-8]，但尚未開展鋼軌代表廓形選取方法的研究。在打磨作業(yè)的實際操作過程中，鋼軌代表廓形由工作人員根據經驗選取，效率較低，結果不穩(wěn)定，同時對操作人員的素質要求較高。本文基于輪軌接觸幾何關系及分布特點，研究鋼軌代表廓形的計算方法，為現場操作人員穩(wěn)定快速地獲得較為準確的鋼軌代表廓形提供理論依據。

1 鋼軌廓形的平滑處理

目前，鋼軌廓形的采集主要依靠機械接觸式或者激光非接觸式的鋼軌廓形測量儀器，所得廓型曲線的采樣點間距0.1～0.3 mm，通常存在較小的波浪形抖動，幅值一般小于0.01 mm，僅在極個別的位置干擾幅值可能超過0.05 mm，并有一定概率產生折線或交叉線式的偶發(fā)脈沖干擾，受其影響的區(qū)域一般為3～5個連續(xù)測量點。由于數據中的波浪形抖動或偶發(fā)脈沖干擾會對后續(xù)的鋼軌分析計算準確性產生較大的影響，需對實測廓形數據進行數據濾波和曲線平滑處理。如果抖動或干擾幅值過大，平滑濾波方法不能有效處理，但測量人員在現場可發(fā)現，通過重新測量、調整測量點等方式解決。

( 1 )

式中：m為半窗寬點數量；hv為第v個點的平滑系數，v為以所取各點相對于取點中心i的位置。

令卷積平滑系數H=[hv]，H可通過最小二乘多項式擬合進行求解。H一般為一個(2m+1)×(2m+1)的中心對稱方陣。如果平滑對象是一維數據，H可僅取其最中間一行。

對(2m+1)個以v=0為中心的連續(xù)數據點xi，用N階多項式來擬合，即

( 2 )

式中：p為擬合函數；at為擬合多項式各項系數。

最小二乘擬合殘差εN為

( 3 )

對殘差式( 3 )求偏導，并令bvt=vt，由此構造矩陣B=[bvt]，于是可得卷積平滑系數

( 4 )

( 5 )

利用Savitzky-Golay法對某鋼軌廓形的平滑效果見圖2。

為評價各種方法的平滑效果，引入光滑度S和擬合度F兩個指標來評價平滑算法的優(yōu)劣，光滑度S用于衡量曲線的光滑程度，而擬合度F則用于衡量平滑后曲線與原曲線的偏離程度，S越小說明獲得的曲線越平滑，F越小表明處理后曲線與原曲線的偏離程度越小。光滑度S和擬合度F分別為

( 6 )

( 7 )

對于圖2所示的鋼軌原始廓形，利用各種平滑算法進行平滑后，不同窗寬下的平均光滑度和平均擬合度的比較結果見表1。可以看出：與滑動平均法、高斯平滑法和中值濾波法相比，Savitzky-Golay平滑法既能很好地保持曲線形狀，又能達到較好的平滑效果，因此鋼軌分析中，均采用Savitzky-Golay平滑法對鋼軌廓形測量數據進行平滑處理。

表1 各種平滑算法中窗寬對平均光滑度和擬合度的影響

2 鋼軌代表廓形的算法及評價方法

2.1 鋼軌代表廓形的算法

(1) 算術平均法

算術平均法是指依次計算鋼軌廓形在各個位置上的平均值，然后由得到的平均值坐標構成新的廓形曲線。采用算術平均法得到的代表廓形在i位置上的坐標(xi,yi)為

( 8 )

式中：z為測量廓形的總數；(xij,yij)為第j條廓形曲線在i位置上的坐標，i=1,2,…,n，n為每廓形坐標點數量；(xi,yi)為代表廓形在i位置上的坐標。

(2) 加權平均法

在計算平均值時，對每個變量設置適當的權重，然后計算其加權平均值，可以有效抑制少數值、極端值的影響，即加權平均法。加權平均法的計算式為

( 9 )

(3) 最小二乘距離法

根據最小二乘原理，第j條廓形與其他廓形的距離平方和為

(10)

式中：k、j為廓形曲線編號；Dj為第j條廓形與其他廓形的最小二乘距離之和。

最小二乘距離法就是從已知廓形中找到使最小二乘距離Dj最小的廓形曲線，這種求距離平方和的方式可以避免正負距離相抵，且便于數學處理。

(4) 散點擬合法

首先將各個廓形曲線上的數據點打散，組成一個平面點集，然后通過數據點的重排、平滑濾波和曲線擬合等操作獲得一條擬合曲線。

如果采用最小二乘法進行曲線擬合，即令擬合誤差M為

(11)

通常認為在偏導數均為零時，M可達到最小值，即

(12)

整理可得

(13)

2.2 鋼軌代表廓形評價方法

鋼軌廓形打磨是通過打磨改變鋼軌的廓形，從而改變輪軌接觸幾何關系。因此，輪軌接觸幾何關系將作為本文中鋼軌代表廓形算法的主要評價依據。將實測的原始鋼軌廓形與鋼軌代表廓形分別與實測的車輪踏面廓形進行接觸幾何計算，并對輪軌接觸點位置在鋼軌不同橫向位置的分布和累積概率進行統(tǒng)計，見圖3。代表廓形的接觸點概率分布曲線與原始廓形越接近，表明鋼軌代表廓形算法的計算結果越合理。文中將用Pearson相關系數、Spearman秩相關系數和Cosine相似度衡量接觸點概率分布曲線的接近程度。

2.2.1 Pearson相關系數

Pearson相關系數PXY主要用于衡量兩個變量之間線性相關性的強弱程度，用兩個變量X和Y的協(xié)方差與標準差積的商來表示[10]，即

(14)

式中：μX、μY和σX、σY分別為變量X、Y的均值和標準差。Pearson相關系數的絕對值滿足條件|PXY|≤1，|PXY|越大，接觸點分布曲線的相似性越高。

2.2.2Spearman秩相關系數

Spearman秩相關系數SXY主要用于衡量兩個變量之間聯(lián)系強弱程度，通常用于評價變量間的非線性相似關系，也被認為是變量排列后的Pearson線性相關系數[11]。計算方法：將長度均為N的兩變量X和Y按從小到大排序，分別用pi、qi表示xi、yi在排序后列表中的位置，稱pi、qi為xi、yi的秩次，將各秩次代入下式進行計算

(15)

值得注意的是，PXY和SXY均不會隨著變量的位置和縮放比例而發(fā)生變化，意味著即使PXY和SXY都達到極值1，也不能表明兩變量完全相同。因此，需要使用Cosine相似度來進一步表述兩變量的相似程度。

2.2.3Cosine相似度CXY

Cosine相似度是將兩個變量分別映射到向量空間，利用兩個變量空間向量夾角的余弦值來衡量差異程度，因此又稱余弦距離[12]。兩變量X和Y的余弦相似度的計算式

(16)

與前兩個指標相似，通常|CXY|≤1，且余弦相似度的值越接近1，表明兩空間向量的夾角越小，即兩個變量近似程度越高。

3 計算實例及結果分析

3.1 直線區(qū)段鋼軌廓形分析

在直線區(qū)段，每間隔20 m采集一次鋼軌廓形，共采集8個鋼軌截面，見圖4。按照2.1節(jié)中的4種方法算得的代表廓形結果見圖5。

為更準確分析輪軌接觸關系，在鋼軌采樣點附近的機務段、車輛段和貨運編組站對在采樣鋼軌上運行車輛的車輪廓形數據進行隨機采集，其中貨車車輪320個，客車車輪120個，機車車輪60個。車輪廓形見圖6。

由于車輪廓形的測量方法和鋼軌廓形一致，因此也采用Savitzky-Golay平滑法對車輪廓形測量數據進行平滑處理。將圖5中4種代表廓形分別與圖6所示的500個車輪進行匹配并計算輪軌關系，輪軌接觸點在鋼軌上的分布和累積情況見圖7。各種計算方法對應的相關系數的平均結果見表2。

表2 直線區(qū)段測量廓形及代表廓形接觸點分布相關系數計算結果

代表廓形計算方法相關系數RXYSXYCXY算術平均法0.799 3340.793 9750.876 134加權平均法0.596 6720.649 5770.726 455最小二乘距離法0.746 7340.717 9970.839 019散點擬合法0.773 2410.755 0480.856 478

從表2中可以看出，對于直線區(qū)段內的代表廓形與實測廓形的輪軌接觸點分布曲線，算術平均法對應的RXY、SXY、CXY均最大，散點擬合法次之，而加權平均法最小。因此，直線區(qū)段鋼軌的代表廓形可采用算術平均法或散點擬合法進行計算。

3.2 曲線區(qū)段鋼軌廓形分析

由于曲線上包含緩和曲線區(qū)段和圓曲線區(qū)段，而在鋼軌打磨時，起緩和曲線的后半段和終緩和曲線的前半段的打磨模式與圓曲線一致，因此本文中曲線區(qū)段的鋼軌廓形采集點有8個，具體位置見圖8。

按照圖8中的位置在同一條曲線上采集到的8個鋼軌截面見圖9，各種方法算得的代表廓形結果見圖10。

將圖10中的曲線鋼軌代表廓形與圖6的所有車輪分別進行幾何匹配并分析輪軌關系，輪軌接觸點在鋼軌上的分布和累積情況見圖11。各種計算方法對應的相關系數的平均結果見表3。

表3 曲線區(qū)段測量廓形及代表廓形接觸點分布相關系數計算結果

代表廓形計算方法相關系數RXYSXYCXY算術平均法0.800 3470.608 5310.867 968加權平均法0.772 0410.441 7160.834 972最小二乘距離法0.723 3350.486 9580.821 558散點擬合法0.784 9520.564 2620.854 142

由表3可知，對于曲線區(qū)段內的代表廓形與實測廓形的輪軌接觸點分布曲線，算術平均法對應的各種相關系數均最高，散點擬合法略低于算術平均法，加權平均法最小。因此，曲線區(qū)段鋼軌的代表廓形可采用算術平均法或散點擬合法進行計算。

4 結論

(1) 對于鋼軌廓形的實測數據，利用Savitzky-Golay法進行平滑處理時的光滑度和擬合度較好，不僅能很好地保持曲線形狀，而且能達到較好的平滑效果。

(2) 不論在直線區(qū)段還是曲線區(qū)段上，在各種鋼軌代表廓形計算方法中，對輪軌接觸點分布曲線與原始鋼軌廓形的相關系數來說，算術平均法均最高，散點擬合法略低于算術平均法，而最小二乘距離法及加權平均法的效果較差。因此，建議選用算術平均法或散點擬合法計算鋼軌代表廓形。