(單縣第一中學(xué)，山東 單縣 274300)

●李 榮

(貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

●李明星

(南明甲秀高級中學(xué)，貴州 貴陽 550002)

1 試題呈現(xiàn)

圓錐曲線是溝通代數(shù)和幾何的重要橋梁，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一個重要的數(shù)學(xué)基本思想方法.學(xué)生通過圖形去初步認(rèn)識，進(jìn)而運用代數(shù)去深加工，最后應(yīng)用代數(shù)和幾何去解決問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運算能力.圓錐曲線類題目作為數(shù)學(xué)高考必考題，通過題目的設(shè)置去測評學(xué)生的各項能力，在突出選拔功能的同時，更突出對學(xué)生能力的評價.本文以2019年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅲ理科第21題第1)小題為例，對題目進(jìn)行解決并嘗試推廣.

1)證明：直線AB過定點；

2)略.

(2019年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅲ理科試題第21題)

2 解題策略

整理得

2tx1-2y1+1=0.

設(shè)B(x2,y2),同理可得

2tx2-2y2+1=0，

整理得

x2-2kx-2m=0，

且

Δ=4k2-4(-2m)>0，

消去x0,得

y0=-m.

評注解法1和解法2分別從兩個角度入手，解法2首先設(shè)直線AB方程為y=kx+m，將直線方程與曲線方程聯(lián)立可得x1+x2和x1x2的值，為后面直線AD和直線BD解析式的聯(lián)立、消去x0得出y0的值奠定基礎(chǔ).而解法1直接從曲線的切線和斜率切入，根據(jù)解析式得到切線斜率，通過斜率的性質(zhì)求出直線AD和直線BD的解析式，進(jìn)而求得直線AB的解析式，問題便迎刃而解.解法2相比于解法1而言，解題路徑更為簡潔、直接，將通過求導(dǎo)得到切線的斜率作為主線，充分進(jìn)行了知識之間的融通，促進(jìn)知識的遷移，提升了學(xué)生的思維和問題解決的能力.

3 推廣結(jié)論

綜上所述，本題第1)小題中所要證明的是直線AB過定點，點D所在的直線恰為曲線的準(zhǔn)線.由解法1可知利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率是證明AB過定點的關(guān)鍵所在.在高中的知識框架中，圓錐曲線的性質(zhì)和知識結(jié)構(gòu)較為廣泛和特殊，根據(jù)解法1可以得到如下推廣：

于是

即

從而

同理可得直線DB的方程為

從而直線AB的方程為

從而

同理可得直線DB的方程為

故直線AB的方程為

4 總結(jié)

高考試題凝聚命題人的心血和時代的理念，每一個試題都經(jīng)過出題者的反復(fù)考量與打磨.解析幾何中主要蘊含的數(shù)學(xué)思想是借助平面直角坐標(biāo)系，用代數(shù)的方法來研究幾何問題，這就體現(xiàn)了解析幾何的代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的雙重性質(zhì)[1].圓錐曲線類題目作為數(shù)學(xué)高考主觀題的主角之一，題目設(shè)置的復(fù)雜性和難度不言而喻，在解題的過程中學(xué)生必須高效率地分析題目，提取題目中給出的有效信息，并對相關(guān)信息進(jìn)行整合和處理.圖形的構(gòu)建是首位的，基于題目條件畫出圖形給予直觀上的表現(xiàn)，學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗知識對圖形的特點進(jìn)行回憶，將所學(xué)知識與題目結(jié)合，促成問題解決.

問題解決過程中“第一，努力在已知和未知之間找出直接的聯(lián)系；第二，如果找不出直接的聯(lián)系，就對原來的問題做出某些必要的變更或修改，引進(jìn)輔助問題”[2].本題要證明直線AB過定點，必須明確所需要解決問題的最終條件，即直線AB的方程，要得到直線AB的方程還需明確直線DA和直線DB的方程以及兩直線與直線AB的關(guān)系.通過求導(dǎo)和斜率公式去證明直線AB過定點，得出以下啟示：在雙曲線和橢圓中，如果也滿足在拋物線中的條件，則直線AB過定點.故將該啟示拓展到雙曲線和橢圓中并證明，以期為學(xué)生和教師提供解決類似圓錐曲線問題的途徑和方法.