王 福 謙

(西南交通大學(xué) 希望學(xué)院 基礎(chǔ)部，成都610400)

0 引 言

由復(fù)變函數(shù)理論可知，解析函數(shù)的實部和虛部分別滿足拉普拉斯方程，且其實部為常數(shù)和虛部為常數(shù)的兩族曲線互相正交。在靜電場中，解析函數(shù)的這一特性使其代表一定的平行平面場，其實部和虛部分別代表勢函數(shù)(或通量函數(shù))和通量函數(shù)(或勢函數(shù))。不同的解析函數(shù)的實部和虛部可描繪出不同的幾何圖形，如果某一解析函數(shù)所給出的幾何圖形與所討論問題的邊界的等勢線或等通量函數(shù)線相吻合，則此解析函數(shù)的實部或虛部可作為待求勢函數(shù)(或通量函數(shù))和通量函數(shù)(或勢函數(shù))的解，即用此解析函數(shù)作為所求靜電場的復(fù)勢來求解電場分布。

復(fù)勢函數(shù)法為求解復(fù)雜二維邊值問題的一種有效方法[1-2]。文獻(xiàn)[3-10]中利用復(fù)勢函數(shù)法討論了非平行板電容器電場、扇形導(dǎo)體中的電場、線電荷與無限大接地導(dǎo)體板間的電場及共焦橢圓柱電纜的磁場等復(fù)雜形狀邊界的靜電場和靜磁場的邊值問題，但用該方法對復(fù)雜形狀電極的電場分布的研究，相關(guān)文獻(xiàn)還未見報道。本文利用復(fù)勢函數(shù)法研究雙曲柱面電極的電場，給出其電勢分布、場強分布函數(shù)及電極頂點處的場強，討論電極形狀蛻變的幾種特殊情形，并通過Matlab數(shù)據(jù)處理軟件的數(shù)值計算功能進(jìn)行數(shù)值模擬，繪制出其電場線和等勢線圖。

1 電勢函數(shù)與通量函數(shù)

有一對共焦雙曲柱面的電極，其實半軸和虛半軸分別為a1、a2和b1、b2，左側(cè)電極接地，右側(cè)電極的電勢為U，其橫截面如圖1所示。因在垂直于雙曲柱面母線的所有截面上的電場分布均相同，故本文所研究的電場為平行平面場。由于本文所討論的二維邊值問題的電勢函數(shù)滿足二維拉普拉斯方程，且其邊界與反余弦函數(shù)實部所表示的曲線族中的曲線重合，故可選用反余弦函數(shù)作為所求靜電場的復(fù)勢[11]，即

W=Aarccos(z/k)+B

(1)

可進(jìn)一步表述為

W=Aw+B=A(u+iv)+B1+B2

圖1 共焦雙曲柱面電極的橫截面

令式(1)中的電勢函數(shù)和通量函數(shù)分別為φ和Ψ，則

φ=Au+B1

(2)

Ψ=Av+B2

(3)

對圖1右側(cè)的雙曲線頂點處(a1,0)，式(1)有：

U=Aarccos(a1/k)+B1

(4)

對圖1左側(cè)的雙曲線頂點處(-a2,0)，式(1)有：

0=Aarccos(-a2/k)+B1

(5)

再者，由于式(3)中的附加常數(shù)可取任意值，故令

B2=0

(6)

由式(4)～(6)，可得：

故共焦雙曲柱面電極電場的復(fù)電勢為

(9)

共焦雙曲柱面電極電場的電勢函數(shù)和通量函數(shù)可分別表示為:

(10)

(11)

式(1)中的反余弦函數(shù)亦可表述為[12]:

iln{x+F1cosα+i[y+F1sinα]}-ilnk=

(12)

式中:

由式(12)得:

(13)

2F1(xcosα+ysinα)]-lnk

(14)

將式(13)、(14)分別代入 式(10)、(11)，可得共焦雙曲柱面電極電場的電勢函數(shù)和通量函數(shù)分別為:

(15)

2F1(xcosα+ysinα)]-lnk

(16)

2 場分布數(shù)值模擬及電極形狀蛻變特殊情形

2.1 場分布的數(shù)值模擬

為了給出共焦雙曲柱面電極電場分布圖的直觀圖像，以驗證本文所得結(jié)論的正確性,下面用Matlab對該電場分布進(jìn)行數(shù)值模擬[13-15]，其電場線和等勢線的分布見圖2(取U=150 V)。由圖2可見,圖中的電場線與等勢線及導(dǎo)體邊界均垂直，場線分布正確，為預(yù)期結(jié)果。

2.2 電極形狀蛻變的特殊情形

當(dāng)共焦雙曲柱面電極的實半軸和虛半軸取一些特殊值時，可得到幾種特殊情形下的電場分布:

(1)雙曲柱面電極的實、虛半軸的長度分別為5、0和4、3時，右雙曲柱面電極蛻變?yōu)閹щ姲?，此情形的電場為水平帶電平板與雙曲柱面電極所形成(見圖3)。

(3)左雙曲柱面電極的實半軸和虛半軸的長度分別為0.01、5和5、0.01時，兩雙曲柱面電極蛻變?yōu)橄嗷ゴ怪钡膸щ姲?，此情形的電場為雙相互垂直的帶電板所形成(見圖5)。

(4)左、右雙曲柱面電極的實半軸和虛半軸的長度均為5和0.01時，左、右兩雙曲柱面蛻變?yōu)楣裁嫫桨?，此情形的電場為共面帶電平板為所形?見圖6)。

(5)左、右雙曲柱面電極的實半軸和虛半軸的長度均為6和無限大時，左、右兩雙曲柱面蛻變?yōu)槠叫邪?，此情形的電場為大平行帶電板所形?見圖7)。

圖3 帶電板與雙曲柱面的電極的電場

圖4 雙曲柱面的電極與帶電板的電場

圖5 兩垂直不相連的帶電板間的電場

圖6 兩共面不相連的帶電板間的電場

圖7 平行帶電板間的電場

所以，雙曲柱面電極和帶電平板所形成的電場、兩相互垂直不相連的帶電板所形成的電場、共面帶電平板所形成的電場及平行帶電板所形成的電場，均為本文所討論問題的特例,本文的研究結(jié)論具有一定的普遍性。

3 電極場強分布及電極頂點處場強

由式(9)，根據(jù)電場強度與復(fù)勢函數(shù)關(guān)系E=-[dW/dz]*，可得共焦雙曲柱面電極電場的電場強度的復(fù)數(shù)形式為

(17)

對于雙曲柱面電極的兩頂點處，其坐標(biāo)分別為(a1,0)和(-a2,0)，將此兩坐標(biāo)值分別代入上式，則得雙曲柱面電極的頂點處的場強大小分別為:

(18)

(19)

由表1可以看出：當(dāng)雙曲柱面電極頂點處曲率變大時，其附近的場強增大，而當(dāng)雙曲柱面電極的形狀蛻變?yōu)閮晒裁鎺щ姲鍟r，其端頭間的場強最強；當(dāng)雙曲柱面電極頂點處曲率變小時，其附近的場強減小，而雙曲柱面電極的形狀蛻變?yōu)閮善叫袔щ姲鍟r，其間的場強最小，且為勻強電場。

表1 雙曲柱面電極頂點處的場強

4 結(jié) 語

本文將理論計算與數(shù)值模擬相結(jié)合，利用復(fù)勢函數(shù)法研究研究雙曲柱面電極的電場，得到了其電勢分布和場強分布函數(shù)，并利用Matlab軟件對場分布進(jìn)行了數(shù)值模擬，給出了場分布的直觀圖像，為邊界形狀復(fù)雜的電極的電場分布問題的求解提供了一種新的方法，在科研上具有一定的理論意義和實用價值。