☉江蘇省海門(mén)市首開(kāi)東洲初級(jí)中學(xué) 夏冬平

二次函數(shù)的起始課是很多教研活動(dòng)的熱點(diǎn)課題，常常成為同課異構(gòu)的課題.最近我們備課組也進(jìn)行了這節(jié)課的集體備課，大家經(jīng)過(guò)充分研討，結(jié)合一些參考文獻(xiàn)中的課例設(shè)計(jì)，確認(rèn)了從具體問(wèn)題中分析出二次函數(shù)關(guān)系，并安排學(xué)生類(lèi)比一次函數(shù)定義二次函數(shù)，然后盡快進(jìn)入二次函數(shù)圖像和性質(zhì)的探究，把本課的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)定位在函數(shù)圖像的生成及性質(zhì)的歸納上，經(jīng)過(guò)教學(xué)實(shí)踐，取得了較好的效果.本文梳理該課教學(xué)流程，并給出教學(xué)立意的解讀，供研討.

一、二次函數(shù)單元起始課教學(xué)流程

活動(dòng)1：分析具體問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系

問(wèn)題1：正方體的六個(gè)面是全等的正方形（如圖1），設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，那么正方體的表面積y與x之間有什么關(guān)系？

圖1

問(wèn)題2：設(shè)n個(gè)球隊(duì)參加比賽，每?jī)申?duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽，比賽的場(chǎng)次數(shù)m與球隊(duì)數(shù)n有什么關(guān)系？

問(wèn)題3：某種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20t，計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量.如果每年上一年的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y將隨計(jì)劃所定的x的值而確定，y與x之間的關(guān)系應(yīng)怎樣表示？

問(wèn)題1：y=6x2.

問(wèn)題2：）.

問(wèn)題3：y=20（1+x）2.

歸納：上面的問(wèn)題中，函數(shù)都是用自變量的二次式表示的.一般地，形如y=ax2＋bx＋c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫作二次函數(shù).其中x是自變量，a、b、c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

預(yù)設(shè)追問(wèn)：上面三個(gè)表達(dá)式都符合二次函數(shù)的一般形式嗎？如果不是，請(qǐng)整理成一般形式，并指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

跟進(jìn)練習(xí)：如圖2，矩形綠地的長(zhǎng)、寬分別為30m、20m，現(xiàn)各增加xm，寫(xiě)出擴(kuò)充后的大矩形綠地的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出各項(xiàng)系數(shù).

預(yù)設(shè)：y=（30+x）（20+x），即y=x2+50x+600.它的二次項(xiàng)系數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)是50，常數(shù)項(xiàng)是600.

過(guò)渡：回顧一次函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，大家覺(jué)得接下來(lái)會(huì)如何研究二次函數(shù)？

預(yù)設(shè)：學(xué)生先獨(dú)立思考，再在小組內(nèi)交流，并構(gòu)思一下如何研究，還可形成研究路徑，再挑選學(xué)生進(jìn)行全班展示交流.師生互助引出從特殊出發(fā)進(jìn)行研究，引向下一個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng).

活動(dòng)2：研究二次函數(shù)y=x2的圖像和性質(zhì)

獨(dú)立思考：如何研究y=x2的圖像和性質(zhì)？

小組討論：根據(jù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)圖像和性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)一個(gè)函數(shù)要研究什么？怎樣進(jìn)行研究？

預(yù)設(shè)：在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生不要急于進(jìn)行列表、描點(diǎn)、連線，而要先認(rèn)真觀察函數(shù)解析式的特點(diǎn)，想清自變量的取值范圍，函數(shù)值有怎樣的特點(diǎn)，構(gòu)思怎樣列表、取點(diǎn)更有代表性，以避免在選點(diǎn)的“試探”過(guò)程中有盲目性.經(jīng)過(guò)啟發(fā)，讓學(xué)生按以下流程進(jìn)行研究，比如，先從解析式進(jìn)行研究，再選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)進(jìn)行計(jì)算后列表分析，觀察表格中有序數(shù)對(duì)的特征，猜想函數(shù)圖像的大致特點(diǎn)，最后才是描點(diǎn)驗(yàn)證之前的觀察和猜想.具體如下：

第一步，觀察解析式，確認(rèn)自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，函數(shù)y≥0，可以猜想這個(gè)二次函數(shù)圖像有什么特征.

第二步，列出表格，同學(xué)們交流分享剛剛觀察解析式得出的結(jié)論，對(duì)照列表后看是否分析出的結(jié)論仍然成立.

圖2

表1

并預(yù)設(shè)追問(wèn)：表格中的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，這個(gè)性質(zhì)能從解析式中看出來(lái)嗎？

圖3

從表格中還能獲取什么信息？（預(yù)設(shè)增減性，當(dāng)自變量取正數(shù)時(shí)，函數(shù)值隨著自變量的增大而增大；當(dāng)自變量取負(fù)數(shù)時(shí)，函數(shù)值隨著自變量的增大而減?。╊A(yù)設(shè)表格圖示標(biāo)注信息如下（注意根據(jù)學(xué)生課堂生成漸次呈現(xiàn)）：

圖4

（3）從函數(shù)圖像看：上述信息，我們?cè)偻ㄟ^(guò)描點(diǎn)、連線、畫(huà)圖像來(lái)體會(huì)并驗(yàn)證一下.

表2

師生共同小結(jié)函數(shù)y=x2的性質(zhì).這個(gè)表格中的一些研究“元素”也可以適當(dāng)留白，讓學(xué)生參與構(gòu)建，以便對(duì)研究二次函數(shù)圖像的一些角度有較深的認(rèn)識(shí).

活動(dòng)3：類(lèi)比函數(shù)y=x2，分組研究函數(shù)y=-x2、y=2x2、y=-2x2的圖像和性質(zhì)

教學(xué)組織：學(xué)生分組研究函數(shù)y=-x2、y=2x2、y=-2x2的圖像與性質(zhì)，教師在巡視過(guò)程中分組指導(dǎo)，參與研究活動(dòng)，最后引導(dǎo)學(xué)生展示他們的成果.在此基礎(chǔ)上，安排學(xué)生猜想、概括函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖像與性質(zhì).

預(yù)設(shè)：學(xué)生的回答如果比較零亂，教師可啟發(fā)學(xué)生結(jié)合前面使用表格歸納的一些經(jīng)驗(yàn)，列表梳理歸納二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖像與性質(zhì)，如|a|的大小對(duì)拋物線開(kāi)口大小的影響；最后將二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖像特征與函數(shù)性質(zhì)，在師生合作后梳理出表格（限于篇幅，略去）.

活動(dòng)4：課堂小結(jié)，研究展望

小結(jié)問(wèn)題1：這節(jié)課我們是研究二次函數(shù)，你學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的哪些內(nèi)容？

小結(jié)問(wèn)題2：在研究二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的過(guò)程中，你覺(jué)得哪幾條重要經(jīng)驗(yàn)值得與大家分享？

小結(jié)問(wèn)題3：根據(jù)以前學(xué)習(xí)一次函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，你覺(jué)得教材編寫(xiě)者在二次函數(shù)這一章會(huì)有怎樣的學(xué)習(xí)目錄？請(qǐng)幫助擬一下，在小組內(nèi)分享交流.

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.精選問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生抽象并概括二次函數(shù)的定義

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，初中階段幾種初等函數(shù)作為一種重要的數(shù)學(xué)模型也是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的，不同版本的教材都設(shè)計(jì)了一些生活情境用來(lái)引導(dǎo)學(xué)生列出二次函數(shù)關(guān)系式，從而定義二次函數(shù)，我們也采用了教材上的典型問(wèn)題情境，但是進(jìn)行了問(wèn)題呈現(xiàn)順序的重組，并且安排學(xué)生課前自主先學(xué)，節(jié)約課堂時(shí)間，這樣開(kāi)課階段小組直接匯報(bào)所列的關(guān)系式，從而發(fā)現(xiàn)它們共同的特征，從變量與變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系確認(rèn)是二次函數(shù)關(guān)系，很自然地引出課題：二次函數(shù)，進(jìn)一步通過(guò)類(lèi)比定義一元二次方程的一般形式.由于這塊內(nèi)容并不是本課重點(diǎn)，對(duì)學(xué)生也不構(gòu)成挑戰(zhàn)，所以我們盡快推進(jìn)到下一教學(xué)環(huán)節(jié)，研究二次函數(shù)的圖像及性質(zhì).

2.明辨教學(xué)難點(diǎn)，把教學(xué)用力點(diǎn)放在函數(shù)圖像生成上

本課的教學(xué)重點(diǎn)是二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，難點(diǎn)是得出圖像并歸納性質(zhì).與一次函數(shù)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)類(lèi)似，我們也是組織學(xué)生從簡(jiǎn)單出發(fā)，先研究函數(shù)y=x2的圖像，由解析式能看出x可以取任意實(shí)數(shù)，不妨以0為“基準(zhǔn)”，向左、右均勻選便于計(jì)算的x的值，先想象畫(huà)出來(lái)的圖形的大致形狀，然后列表、描點(diǎn).之所以讓學(xué)生認(rèn)真觀察解析式、觀察表格中數(shù)對(duì)的特征，就是因?yàn)樽畛踅佑|一個(gè)陌生函數(shù)的未知圖像時(shí)，選值列表往往帶有一定的試探性，為了避免盲目性，要先想后畫(huà)，爭(zhēng)取所畫(huà)出的圖像比較接近精準(zhǔn)的圖像.當(dāng)然，由自變量取值范圍看，只能畫(huà)出部分圖像.由選點(diǎn)的個(gè)數(shù)、描點(diǎn)的近似等因素，決定畫(huà)出的圖像是近似的.在修正或優(yōu)化函數(shù)y=x2的圖像時(shí)，可以建議學(xué)生把原點(diǎn)附近的部分再畫(huà)細(xì)一些.采取“加密”的方法，在-1與1之間，每隔0.2取一個(gè)x的值，列表、描點(diǎn)、連線，就得到原點(diǎn)附近部分相對(duì)精確的拋物線了.

3.預(yù)設(shè)小結(jié)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回顧所學(xué)并展望后續(xù)內(nèi)容

從上面的課例來(lái)看，本課的幾個(gè)小結(jié)問(wèn)題也是我們精心預(yù)設(shè)的，主要立意有三點(diǎn)：首先，引導(dǎo)學(xué)生回顧本課所學(xué)知識(shí)；其次，在學(xué)習(xí)研究函數(shù)圖像過(guò)程中，將積累的一些經(jīng)驗(yàn)、關(guān)鍵步驟通過(guò)反思環(huán)節(jié)小結(jié)出來(lái)；三是向?qū)W生傳遞函數(shù)研究的套路，比如我們是通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)這類(lèi)函數(shù)，接著要研究這類(lèi)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，展望后續(xù)，還將探究這類(lèi)函數(shù)與相應(yīng)方程的聯(lián)系，并利用這類(lèi)函數(shù)解決一些實(shí)際問(wèn)題.