梅映雪，馮 玥，王容順，吳了泥，孫洪飛

(廈門(mén)大學(xué)航空航天學(xué)院，廈門(mén) 361102)

0 引 言

高超聲速飛行器在戰(zhàn)術(shù)意義上以其極高的飛行速度和大跨度的飛行空域，占據(jù)著得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，目前已經(jīng)日益受到世界各國(guó)的普遍重視[1]。黃長(zhǎng)強(qiáng)等[2]提出了高超聲速飛行器軌跡優(yōu)化的重點(diǎn)研究方向，根據(jù)兵力投送和長(zhǎng)航程的實(shí)際作戰(zhàn)需求，勢(shì)必要考慮多預(yù)設(shè)區(qū)到達(dá)和禁飛區(qū)規(guī)避，以及如何提高軌跡優(yōu)化的計(jì)算效率等問(wèn)題。因此有必要根據(jù)實(shí)際需求尋求一條適合再入滑翔飛行且高超聲速到達(dá)的最優(yōu)軌跡。

高超聲速飛行器的軌跡優(yōu)化涉及眾多非線性約束條件，是一類(lèi)復(fù)雜的非線性多約束最優(yōu)控制問(wèn)題[3]，其求解具有相當(dāng)?shù)奶魬?zhàn)。自二十世紀(jì)后期,出現(xiàn)了多種飛行器軌跡優(yōu)化方法[4]，Gauss偽譜法作為一種基于全局插值多項(xiàng)式的直接配點(diǎn)法，它相對(duì)于一般直接配點(diǎn)法的優(yōu)勢(shì)是可以用較少的節(jié)點(diǎn)獲得較高的精度[5-7]，且計(jì)算效率較高，因此受到研究者的青睞。Reddien[8]使用Gauss偽譜法求解最優(yōu)控制問(wèn)題，利用全局正交多項(xiàng)式在特定節(jié)點(diǎn)同時(shí)離散狀態(tài)量和控制量。李鐵鵬等[9]基于Gauss偽譜法以飛行時(shí)間為優(yōu)化指標(biāo)對(duì)滑翔彈道進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。和爭(zhēng)春等[10]在過(guò)載限制條件下對(duì)升力體高超聲速飛行器再入彈道進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。上述文獻(xiàn)多將重點(diǎn)放在如何優(yōu)化得到高超聲速飛行器在各種常規(guī)約束條件下到達(dá)指定點(diǎn)的軌跡上，卻很少考慮飛行器在實(shí)際任務(wù)中必須面對(duì)的經(jīng)過(guò)特定任務(wù)區(qū)域并順利避開(kāi)敵方攔截或勿入?yún)^(qū)域的場(chǎng)景。對(duì)于繞飛區(qū)這一導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的挑戰(zhàn)，大都采用改變傾側(cè)角符號(hào)的方法單獨(dú)規(guī)劃?rùn)M向軌跡。張科南等[11]基于一定的傾側(cè)角變化規(guī)律優(yōu)化得到了高超聲速滑翔飛行器規(guī)避攔截區(qū)的再入軌跡，但計(jì)算效率和魯棒性均不高。Shen等[12]所述方法能夠快速計(jì)算出一條滿(mǎn)足各種過(guò)程約束和狀態(tài)約束的三維再入軌跡，但其橫向軌跡設(shè)計(jì)部分僅通過(guò)一次改變傾側(cè)角的符號(hào)進(jìn)行控制，不太適用于大范圍橫向機(jī)動(dòng)情況。也有學(xué)者對(duì)Gauss偽譜方法進(jìn)行改進(jìn)，以適用于此類(lèi)考慮測(cè)控區(qū)和繞飛區(qū)的復(fù)雜多約束問(wèn)題。Darby等[13]提出了一種多重區(qū)間配置法對(duì)連續(xù)時(shí)間非線性?xún)?yōu)化問(wèn)題進(jìn)行研究，但未針對(duì)具體問(wèn)題。Wang等[14]采用多段Gauss偽譜法通過(guò)將航路點(diǎn)和繞飛區(qū)分別設(shè)置為固定LG點(diǎn)和虛擬LG點(diǎn)的方法對(duì)此類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行研究，但設(shè)定LG點(diǎn)的方式無(wú)法使軌跡得到全局優(yōu)化。Jorris等[15]提出了一種實(shí)時(shí)自主優(yōu)化方法使得軌跡在滿(mǎn)足航路點(diǎn)和繞飛區(qū)等復(fù)雜多約束的同時(shí)再入時(shí)間最短，但未考慮測(cè)控區(qū)以及軌跡平滑性這樣的實(shí)際問(wèn)題。因此，在如此多約束條件下進(jìn)行軌跡的優(yōu)化設(shè)計(jì)是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，需針對(duì)軌跡優(yōu)化問(wèn)題的特點(diǎn)，采用合適的優(yōu)化策略和方法。

考慮到滑翔飛行方式可以規(guī)避攔截和進(jìn)行防御，而飛行器再入初期不滿(mǎn)足滑翔條件，通常將再入軌跡分為初始下降段和準(zhǔn)平衡滑翔段分別規(guī)劃。本文在此基礎(chǔ)上，考慮到實(shí)際任務(wù)中所必須面對(duì)的經(jīng)過(guò)特定任務(wù)區(qū)域并順利避開(kāi)敵方攔截或勿入?yún)^(qū)域的場(chǎng)景，對(duì)高超聲速滑翔飛行器軌跡優(yōu)化的主要約束條件進(jìn)行了分析并給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后對(duì)Gauss偽譜方法在求解復(fù)雜多約束條件下軌跡優(yōu)化問(wèn)題時(shí)存在的主要難點(diǎn)進(jìn)行了分析，提出了具體的軌跡分段優(yōu)化策略和方法，較好地解決了這一問(wèn)題。為了便于控制系統(tǒng)操控，保證優(yōu)化效率，同時(shí)為了避免約束條件太多而減小可行域，在性能指標(biāo)中引入彈道傾角和航向角相關(guān)指標(biāo)的加權(quán)和代替控制角速率等相關(guān)過(guò)程約束。最后通過(guò)對(duì)比，分析了本文優(yōu)化方法的快速性和工程實(shí)用性。

1 問(wèn)題描述和預(yù)備知識(shí)

1.1 問(wèn)題描述

高超聲速飛行器再入段由再入點(diǎn)到滑翔段終端點(diǎn)，軌跡規(guī)劃過(guò)程需要考慮動(dòng)力學(xué)方程約束，過(guò)程約束，終端約束等常規(guī)約束，還要考慮更符合實(shí)際任務(wù)的測(cè)控區(qū)約束和繞飛區(qū)約束。

1) 模型約束

(1)動(dòng)力學(xué)方程約束

高超聲速飛行器在高速大氣層內(nèi)無(wú)動(dòng)力返回，由于高升阻比飛行器氣動(dòng)力和地球重力分別約為科氏慣性力和地球自轉(zhuǎn)引起的慣性離心力的100倍和1000倍[16]，因此可以假設(shè)地球?yàn)閳A球不旋轉(zhuǎn)模型，高超聲速飛行器無(wú)量綱三自由度運(yùn)動(dòng)方程[17]為：

(1a)

(1b)

(1c)

(1d)

(1e)

(1f)

無(wú)量綱升力L、阻力D分別為：

(2)

式中：Sref為飛行器氣動(dòng)參考面積；CL,CD分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù)，由飛行器的攻角α和Ma決定；ρ為大氣密度。

(2)過(guò)程約束

為保證再入飛行器在結(jié)構(gòu)和熱防護(hù)上的可靠性，再入過(guò)程要求嚴(yán)格滿(mǎn)足駐點(diǎn)熱流密度、動(dòng)壓和法向過(guò)載約束[18]，即:

(3a)

(3b)

(3c)

(3)控制約束

以飛行攻角α和傾側(cè)角υ為控制變量，為了滿(mǎn)足飛行器控制能力要求，有如下約束條件[18]：

(4)

式中：μ1,μ2為攻角取值范圍的上、下限；κ為傾側(cè)角取值范圍的上限。

(4)終端約束

為保證在一定的落角(終端彈道傾角)和速度下將飛行器引導(dǎo)至指定終端目標(biāo)位置，通常要加上如下終端約束[19]：

(5)

式中：tf為終端時(shí)刻。

以上是高超聲速飛行器軌跡優(yōu)化常見(jiàn)的約束條件，本文考慮到工程上的實(shí)際需要，在常規(guī)約束基礎(chǔ)上還要考慮測(cè)控區(qū)約束和繞飛區(qū)約束。測(cè)控區(qū)和繞飛區(qū)約束描述如下：

Θ(λ,φ;λc,φc,Rc)d(λc,φc),Γ)-Rc<0

(6)

Ξ(λ,φ;λr,φr,Rr)d(λr,φr),Γ)-Rr≥0

(7)

2) 性能指標(biāo)

在高超聲速飛行器再入軌跡優(yōu)化的研究中，多數(shù)文獻(xiàn)僅僅考慮某個(gè)單一的性能指標(biāo)。例如文獻(xiàn)[20]，為了實(shí)現(xiàn)快速打擊，要求再入飛行時(shí)間最短，所以將再入過(guò)程的時(shí)間作為優(yōu)化目標(biāo)：

J1=tf-t0

(8)

式中：t0為再入初始時(shí)刻。

為了兼顧到再入軌跡的平滑性，常常將彈道傾角速率的平方的積分作為性能指標(biāo)[21]：

(9)

再者，為了便于控制系統(tǒng)操控，使飛行器平穩(wěn)飛行，也有學(xué)者采用航向角速率的平方的積分作為性能指標(biāo)[22]：

(10)

本文將綜合考慮所設(shè)計(jì)軌跡的高效性和工程實(shí)用性，選擇式(8)，式(9)，式(10)所示性能指標(biāo)的加權(quán)和作為優(yōu)化目標(biāo)，通過(guò)調(diào)整權(quán)系數(shù)，能夠在時(shí)間最優(yōu)、控制量最優(yōu)和軌跡平滑性最優(yōu)之間進(jìn)行權(quán)衡，以規(guī)劃出易于實(shí)現(xiàn)的軌跡。最終的性能指標(biāo)式為：

J=w1J1+w2J2+w3J3

(11)

式中：w1,w2,w3為權(quán)重系數(shù)，用于調(diào)節(jié)優(yōu)化指標(biāo)中飛行器飛行時(shí)間以及彈道和控制量平滑性最優(yōu)之間的權(quán)重。

注1. 對(duì)于性能指標(biāo)的分析：從物理機(jī)理上，采用Gauss偽譜法將再入時(shí)間(tf-t0)作為目標(biāo)函數(shù)，即要求再入時(shí)間最短，同時(shí)在性能指標(biāo)中引入彈道傾角和航向角相關(guān)指標(biāo)代替相關(guān)過(guò)程約束使縱向軌跡和橫向軌跡平滑，由于減少了約束條件數(shù)量，計(jì)算效率進(jìn)一步提高；從控制機(jī)理上，w1,w2,w3分別為性能指標(biāo)J第1、2、3項(xiàng)的權(quán)，當(dāng)權(quán)越大，懲罰越大，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的函數(shù)值越小，即對(duì)應(yīng)項(xiàng)越優(yōu)。對(duì)于線性系統(tǒng)，權(quán)的選取可借鑒LQR方法中加權(quán)矩陣的選取[23-25]；而對(duì)于非線性系統(tǒng)，目前更多依賴(lài)于工程實(shí)際。為了方便后續(xù)制導(dǎo)工作，相對(duì)于軌跡平滑性，再入時(shí)間是次要的，因此w2、w3都要較w1取大一些。

令x,u分別表示系統(tǒng)(1)的狀態(tài)和輸入，即：

x=[x1,x2,x3,x4,x5,x6]T=[r,λ,φ,V,θ,ψ]T；u=[u1,u2]T=[α,υ]T；再令f(x,u)為狀態(tài)方程(1a)～(1f)的右端函數(shù)。

則本文所要研究的多約束問(wèn)題可描述為：

在滿(mǎn)足動(dòng)力學(xué)方程約束(1a)～(1f)，過(guò)程約束(3a)～(3c)，控制約束(4)，終端約束(5)以及測(cè)控區(qū)約束(6)和繞飛區(qū)約束(7)的情況下，尋找合適的狀態(tài)軌跡和控制輸入，以及初末時(shí)刻(若未給定)，使得性能指標(biāo)(11)最小，即：

(12)

式中：W=6,M=2；Ωζ(x,u)≤0為由過(guò)程約束(3a)～(3c)、控制約束(4)確定的q個(gè)不等式約束；Λ(x(tf))≤0為由終端狀態(tài)約束(5)確定的等式及不等式約束。

上述多約束軌跡優(yōu)化問(wèn)題本質(zhì)上是最優(yōu)控制問(wèn)題，工程上普遍使用GPM來(lái)求解最優(yōu)控制問(wèn)題的數(shù)值解[26]。但是，由于測(cè)控區(qū)約束為局部性約束，而GPM僅對(duì)具有過(guò)程約束的最優(yōu)控制問(wèn)題有效。因此，測(cè)控區(qū)甚至是多個(gè)測(cè)控區(qū)約束的存在加大了求解軌跡優(yōu)化問(wèn)題的難度，本文將著重解決該問(wèn)題。

1.2 預(yù)備知識(shí)

Gauss偽譜法以Legendre多項(xiàng)式的根為離散點(diǎn)，將連續(xù)最優(yōu)控制問(wèn)題的狀態(tài)變量和控制變量離散化，并以離散點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)采用全區(qū)間Lagrange插值多項(xiàng)式來(lái)近似狀態(tài)變量和控制變量，從而將軌跡優(yōu)化的最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解[27]。

在不考慮測(cè)控區(qū)和繞飛區(qū)的情況下，問(wèn)題可以直接采用GPM求解。對(duì)于GPM的一般步驟，本文作如下歸納：

1) 對(duì)時(shí)間變量t作變換，將時(shí)間區(qū)間轉(zhuǎn)換到[-1,1]。

(13)

2)確定離散時(shí)刻點(diǎn)。

取N階Legendre多項(xiàng)式的N個(gè)根τk∈(-1,1),k=1,2,…,N，再令τ0=-1,τN+1=1，則τ0,τk,τN+1構(gòu)成彈道的N+2個(gè)離散點(diǎn)。

3)約束條件及性能指標(biāo)的離散化。

根據(jù)上述時(shí)間變換和配點(diǎn)選取，構(gòu)造系統(tǒng)狀態(tài)x和輸入u關(guān)于其估計(jì)值X,U的近似表達(dá)式：

(14)

令Xk=X(τk),Uk=U(τk)；J=w1J1+w2J2+w3J3φ(t0,tf)+η(x(t),u(t),t)dt，其中，則微分方程約束，等式/不等式約束以及目標(biāo)函數(shù)經(jīng)離散化，可轉(zhuǎn)換為下述代數(shù)約束[28-29]：

(15)

Ωζ(Xk,Uk)≤0

(16)

Λ(X(tf))≤0

(17)

(18)

經(jīng)過(guò)對(duì)時(shí)間、非線性函數(shù)、微分方程等離散化后，最優(yōu)控制問(wèn)題(12)(不考慮測(cè)控區(qū)和繞飛區(qū)約束)就轉(zhuǎn)化為如下離散非線性規(guī)劃問(wèn)題：

求離散節(jié)點(diǎn)上的狀態(tài)X(τi)(i=0,…,N)和控制變量U(τi)(i=1,…,N),使得性能指標(biāo)(18)最小，并滿(mǎn)足動(dòng)力學(xué)方程約束(15)，過(guò)程約束等不等式約束(16)以及終端狀態(tài)約束(17)。

2 軌跡優(yōu)化策略

目前許多研究采用Gauss偽譜法解決高超聲速飛行器軌跡的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，但在面對(duì)本文提出的多約束任務(wù)場(chǎng)景時(shí)，考慮到測(cè)控區(qū)約束的局部性特點(diǎn)，無(wú)法直接求解。

2.1 多約束分段優(yōu)化方法

假設(shè)1. 飛行任務(wù)中有l(wèi)個(gè)繞飛區(qū)，n個(gè)測(cè)控區(qū)。飛行器自東向西跨經(jīng)度飛行且測(cè)控區(qū)中心軸處在不同的經(jīng)度上。同時(shí)假設(shè)所有測(cè)控區(qū)均在準(zhǔn)平衡滑翔段。假設(shè)1具有一般性，對(duì)測(cè)控區(qū)位置的假定是方便對(duì)測(cè)控區(qū)自東向西進(jìn)行編號(hào)。若部分測(cè)控區(qū)的中心軸處于同一經(jīng)度，則以該經(jīng)度對(duì)軌跡進(jìn)行分段，然后按照緯度對(duì)處于相同經(jīng)度的測(cè)控區(qū)編號(hào)。不妨假設(shè)，經(jīng)過(guò)編號(hào)后的測(cè)控區(qū)按照自東向西的方向依次為測(cè)控區(qū)1、測(cè)控區(qū)2, ……，測(cè)控區(qū)n。

對(duì)于繞飛區(qū)約束和測(cè)控區(qū)約束，將問(wèn)題簡(jiǎn)化，只考慮其橫向剖面，化三維約束為繞飛圓約束和測(cè)控圓約束進(jìn)行求解。則規(guī)避繞飛區(qū)，進(jìn)入測(cè)控區(qū)兩個(gè)約束條件可分別嚴(yán)格描述為：

(19)

(20)

式中：下標(biāo)ri和cj分別表示第i個(gè)繞飛區(qū)和第j個(gè)測(cè)控區(qū)。

注2. 本文分段點(diǎn)個(gè)數(shù)取決于測(cè)控區(qū)個(gè)數(shù)，自然地，測(cè)控區(qū)越多，分段數(shù)越多，對(duì)數(shù)值計(jì)算要求越高，但計(jì)算時(shí)間可接受，并不會(huì)帶來(lái)明顯的增長(zhǎng)。

由式(19)可知，繞飛區(qū)約束是一個(gè)全局性約束條件，即：對(duì)于軌跡上所有點(diǎn)(λ,φ),都滿(mǎn)足Ξ(λ,φ;λri,φri,Rri)≥0。因此，可以直接將其設(shè)置為過(guò)程約束。則規(guī)避第i個(gè)繞飛區(qū)的約束為Ξi(λ,φ;λri,φri,Rri)≥0。

由此可見(jiàn)，繞飛區(qū)約束作為全局性約束條件不會(huì)給求解帶來(lái)本質(zhì)上的困難。由式(20)可知，測(cè)控區(qū)約束僅僅是對(duì)軌跡的局部性約束，此時(shí)不能將其作為過(guò)程約束來(lái)看待，這給軌跡優(yōu)化問(wèn)題帶來(lái)了本質(zhì)困難。針對(duì)該棘手問(wèn)題，本文將改進(jìn)傳統(tǒng)Gauss偽譜法，以適用于再入飛行任務(wù)含測(cè)控區(qū)的軌跡優(yōu)化問(wèn)題。具體來(lái)說(shuō)，就是依據(jù)n個(gè)測(cè)控區(qū)將準(zhǔn)平衡滑翔段分成n+1段，這樣連同初始下降段，相當(dāng)于將整個(gè)軌跡分割成n+2段(如圖1所示)，然后每一段軌跡通過(guò)Gauss偽譜法來(lái)求解。為方便，自東向西依次稱(chēng)每一小段軌跡為第1段、第2段，……，第n+2段。

將飛行軌跡按上述方式進(jìn)行分段后，最主要的問(wèn)題是分段點(diǎn)如何選取。分段點(diǎn)選取首先要考慮飛行器在每一段上的飛行要求和約束，還要兼顧到Gauss偽譜法的適用性。下面給出分段點(diǎn)的選取依據(jù)。

分段點(diǎn)1為初始下降段與準(zhǔn)平衡滑翔段的交界點(diǎn)。該點(diǎn)可以通過(guò)平衡滑翔條件以及最大熱流密度約束(再入初期動(dòng)壓和過(guò)載一般較小，可以滿(mǎn)足約束，因此不考慮)來(lái)決定，即滿(mǎn)足條件[29]：

(21)

分段點(diǎn)2～(n+1)根據(jù)測(cè)控區(qū)約束選取，將第j個(gè)測(cè)控區(qū)約束設(shè)置為第j+1段軌跡的終端約束。根據(jù)測(cè)控區(qū)位置及大小，動(dòng)態(tài)設(shè)置軌跡上點(diǎn)Aj為分段點(diǎn)。設(shè)Aj點(diǎn)所在經(jīng)緯度坐標(biāo)為(λAj,φAj)，若Aj點(diǎn)位于測(cè)控區(qū)內(nèi)部，即：進(jìn)入第j個(gè)測(cè)控區(qū)的約束為Θj(λAj,φAj;λcj,φcj,Rcj)<0，則軌跡成功經(jīng)過(guò)測(cè)控區(qū)域，符合任務(wù)要求。

令*(p)表示第p段彈道對(duì)應(yīng)參數(shù)，p∈{1,2,…,n+2}。

在每段軌跡上選擇合適數(shù)量的離散點(diǎn)將狀態(tài)變量和控制變量進(jìn)行離散化，將整個(gè)軌跡分段離散化后，將所有的離散點(diǎn)狀態(tài)變量、控制變量作為優(yōu)化參數(shù)同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，最終通過(guò)插值獲得對(duì)應(yīng)的最優(yōu)控制及最優(yōu)軌跡，第p段彈道優(yōu)化問(wèn)題描述如下:

當(dāng)然，為確保狀態(tài)量和控制量的連續(xù)性，在軌跡優(yōu)化過(guò)程中各段軌跡在分段點(diǎn)處需要滿(mǎn)足如下連接條件：

(22)

2.2 優(yōu)化流程

本文采用GPM作為每階段優(yōu)化的基本方法。根據(jù)上述優(yōu)化策略，為充分利用再入軌跡不同階段特性,將再入軌跡分為初始下降段和滑翔段分別優(yōu)化，同時(shí)根據(jù)測(cè)控區(qū)約束條件將滑翔段分段，將一般最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)換為多段最優(yōu)控制問(wèn)題，以求得滿(mǎn)足多約束條件且具有一定精度的最優(yōu)軌跡。圖2描述了本文提出的分段優(yōu)化策略的基本流程。

3 仿真結(jié)果及分析

在MATLAB中進(jìn)行仿真，仿真的目的是檢驗(yàn)任意給定測(cè)控區(qū)和繞飛區(qū)的情況下，所設(shè)計(jì)的方法是否能夠快速得到優(yōu)化軌跡使飛行器從再入點(diǎn)快速平滑地過(guò)渡到終端點(diǎn)，且成功進(jìn)入測(cè)控區(qū)并規(guī)避所設(shè)繞飛區(qū)；同時(shí)就優(yōu)化效果與已有研究進(jìn)行對(duì)比，檢驗(yàn)本文所設(shè)計(jì)的改進(jìn)方法的高效性和實(shí)用性。

3.1 算例

以通用航空器CAV為對(duì)象，再入飛行器氣動(dòng)特性參數(shù)采用通用航空器CAV的相關(guān)參數(shù)[30]，其最大升阻比為3.4，氣動(dòng)參考面積為0.8 m2，質(zhì)量為900 kg，最大升阻比攻角為12°。

根據(jù)實(shí)際要求，仿真參數(shù)設(shè)置如下：

假設(shè)飛行器要進(jìn)入1個(gè)測(cè)控區(qū)并繞過(guò)3個(gè)繞飛區(qū)，即，n=1,p=3。

給定測(cè)控區(qū)1中心位于(136.11°E，44.74°N),半徑為100 km；繞飛區(qū)1中心位于(140.03°E，35.53°N)，半徑為600 km；繞飛區(qū)2中心位于(123.91°E，53.98°N)，半徑為500 km；繞飛區(qū)3中心位于(116.37°E，39.690°N)，半徑為1000 km。

性能指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)取為w1=0.2,w2=0.4,w3=0.4。

圖3～6為采用本文提出的改進(jìn)Gauss偽譜法對(duì)算例進(jìn)行的有效性驗(yàn)證曲線。由圖3可知，再入過(guò)程中熱流密度、法向過(guò)載以及動(dòng)壓都嚴(yán)格低于最大峰值，滿(mǎn)足常規(guī)過(guò)程約束。圖4為高度、速度關(guān)于時(shí)間變化的曲線，從圖中可以看出，曲線平滑且滿(mǎn)足終端狀態(tài)約束等條件。圖5表明控制變量在要求范圍內(nèi)變化，且變化較為平緩。但根據(jù)實(shí)際工程需要，由于考慮攻角幅度限制，導(dǎo)致出現(xiàn)了兩次較長(zhǎng)時(shí)間的攻角飽和。

步增加，α先上升維持飽和值30°使得V先下降以滿(mǎn)足測(cè)控/繞飛區(qū)約束以及終端高度等約束，后下降以滿(mǎn)足終端速度等約束，同時(shí)υ需配合α呈先上升后下降的趨勢(shì)以滿(mǎn)足測(cè)控區(qū)約束等多約束條件。

圖6為軌跡的橫側(cè)向和三維軌跡圖，目的是便于觀察軌跡的橫側(cè)向走向，圖6(a)、圖6(b)表明軌跡成功進(jìn)入測(cè)控區(qū)并且有效規(guī)避了繞飛區(qū)，最后到達(dá)終端點(diǎn)，且在分段點(diǎn)處狀態(tài)量和控制量平滑銜接。

為驗(yàn)證測(cè)控區(qū)/繞飛區(qū)數(shù)目對(duì)模型維數(shù)的影響，在上述算例的基礎(chǔ)上增加兩個(gè)測(cè)控區(qū)，中心分別位于(130.11°E，40.74°N)、(126.04°E，32.83°N),半徑都為100 km，分別記為測(cè)控區(qū)2和測(cè)控區(qū)3，統(tǒng)計(jì)計(jì)算時(shí)間，如表1、表2、表3。

表1 測(cè)控區(qū)個(gè)數(shù)對(duì)計(jì)算時(shí)間的影響Table 1 Influence of the number of monitoring zones on the calculation time

表2 繞飛區(qū)個(gè)數(shù)對(duì)計(jì)算時(shí)間的影響Table 2 Influence of the number of no-fly zones on the calculation time

表3 繞飛區(qū)分布/大小對(duì)計(jì)算時(shí)間的影響Table 3 Influence of the distribution of no-fly zones around the calculation time

從表3中可以看出：1)測(cè)控區(qū)個(gè)數(shù)的增加會(huì)延長(zhǎng)計(jì)算時(shí)間t；2)繞飛區(qū)個(gè)數(shù)對(duì)計(jì)算時(shí)間有影響，但不顯著，繞飛區(qū)的分布及大小對(duì)計(jì)算時(shí)間的影響更大。

這說(shuō)明由于本文分段點(diǎn)個(gè)數(shù)取決于測(cè)控區(qū)個(gè)數(shù)、自然地、測(cè)控區(qū)越多，分段數(shù)越多，對(duì)數(shù)值計(jì)算要求越高，但計(jì)算時(shí)間可接受，并不會(huì)帶來(lái)明顯的增長(zhǎng)；而繞飛區(qū)只是作為過(guò)程約束，繞飛區(qū)的數(shù)目確實(shí)對(duì)模型的維數(shù)造成了影響，但計(jì)算時(shí)間更大程度上會(huì)受到繞飛區(qū)分布及其大小的影響，若分布過(guò)于緊密或者繞飛區(qū)較大，軌跡曲度可能發(fā)生較大變化，對(duì)在線規(guī)劃勢(shì)必會(huì)造成影響。

文獻(xiàn)[27]考慮到快速打擊和軌跡平滑性，引入再入時(shí)間和彈道傾角相關(guān)指標(biāo)的加權(quán)和作為目標(biāo)函數(shù)。本文在此基礎(chǔ)上考慮到軌跡快速優(yōu)化要求，力求控制量變化平緩，同時(shí)為了避免約束條件增多減小可行域，在目標(biāo)函數(shù)中引入航向角相關(guān)指標(biāo)代替在過(guò)程約束中增加控制角速率約束，取再入時(shí)間、彈道傾角和航向角相關(guān)指標(biāo)三項(xiàng)指標(biāo)加權(quán)和作為目標(biāo)函數(shù)。圖7至圖8為采用文獻(xiàn)[27]中性能指標(biāo)與本文改進(jìn)性能指標(biāo)下對(duì)原算例(n=1,p=3)進(jìn)行的優(yōu)化對(duì)比曲線。圖7表明，兩種情況下常規(guī)過(guò)程約束都能被控制在峰值之內(nèi)，但改進(jìn)方法使得熱流率、法向過(guò)載和動(dòng)壓在再入過(guò)程中明顯低于未改進(jìn)方法，從而減小了飛行器承受能力，提高了飛行器性能和使用壽命。圖8表明改進(jìn)方法下的控制變量變化曲線較未改進(jìn)方法平滑，波動(dòng)明顯更小，從而便于控制系統(tǒng)操控，極大地提高了計(jì)算效率。表4為采用兩種優(yōu)化方法所需計(jì)算時(shí)間的對(duì)比表，改進(jìn)方法計(jì)算效率較未改進(jìn)方法大大提高，更加滿(mǎn)足再入飛行任務(wù)快速規(guī)劃的需求。

計(jì)算方法計(jì)算時(shí)間/s改進(jìn)38.974302未改進(jìn)453.015268

4 結(jié) 論

本文針對(duì)高超聲速飛行器再入過(guò)程中面臨多個(gè)測(cè)控區(qū)和繞飛區(qū)的再入軌跡設(shè)計(jì)問(wèn)題，分析了采用傳統(tǒng)Gauss偽譜法設(shè)計(jì)時(shí)存在的主要問(wèn)題，引入了分段優(yōu)化的軌跡設(shè)計(jì)思路，并提出了具體的軌跡分段策略。以再入時(shí)間、彈道傾角以及航向角相關(guān)指標(biāo)的加權(quán)和最小為性能指標(biāo)設(shè)計(jì)了考慮各種約束條件下的最優(yōu)軌跡。仿真結(jié)果表明本文所設(shè)計(jì)的改進(jìn)方法能夠快速有效的用于解決任意給定測(cè)控區(qū)和繞飛區(qū)約束的軌跡優(yōu)化問(wèn)題。