許禮光

摘要

數(shù)學抽象是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，它使得數(shù)學成為高度概括、準確表達、結(jié)論可一般化的系統(tǒng)。根據(jù)數(shù)學抽象的內(nèi)涵與要求，基于現(xiàn)實發(fā)展抽象，重視抽象過程設(shè)計，合理采取抽象方法，讓學生經(jīng)歷能在情境中抽象出概念、命題、方法和體系的抽象過程，從而提升學生的數(shù)學抽象能力。

關(guān)鍵詞

數(shù)學抽象 抽象方法 抽象過程

數(shù)學抽象能力是舍去現(xiàn)實世界中事物的一切物理屬性，得到數(shù)學研究對象的能力。數(shù)學抽象包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中，抽象出數(shù)學概念以及概念間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學符號或者數(shù)學術(shù)語予以表征。

數(shù)學抽象是學生形成理性思維的基礎(chǔ)，它是數(shù)學本質(zhì)特征的反映，使得數(shù)學成為高度概括、準確表達、結(jié)論可一般化的系統(tǒng)。在抽象能力形成的過程中，可以使學生加深對數(shù)學概念、命題、方法和體系的理解，可以使學生有效地理解和掌握數(shù)學的本質(zhì)，可以更好地促進學生養(yǎng)成運用數(shù)學抽象思考并解決問題的習慣，積累數(shù)學抽象的經(jīng)驗。

一、基于現(xiàn)實發(fā)展抽象

史寧中教授認為：數(shù)學抽象是從許多事物中舍去個別的、非本質(zhì)屬性，得到共同的、本質(zhì)屬性的思維過程，是形成概念的必要手段。這種基于現(xiàn)實的抽象，是從感性具體上升到理性具體的思維過程。

例如，“溫度計”是家庭必備工具，學生非常熟悉?！皽囟扔嫛币浴傲愣取睘榻?，零上與零下的“氣溫”從小到大排列，為此我們可設(shè)想：將“溫度計”看作“直線”，這個直線具有如下數(shù)學特征：有原點，有統(tǒng)一的單位長度、有數(shù)的增大方向，這樣就可將這個“溫度計”看成“數(shù)軸”了，可以得到數(shù)軸上的點可表示正數(shù)、0、負數(shù)。借助生活中冷暖體驗的經(jīng)驗，從而可聯(lián)系到“數(shù)的大小比較”，得到比較有理數(shù)大小的“數(shù)軸”規(guī)則。

“有理數(shù)的加法法則”是學生進入初中學習的第一個運算法則，我們可以借助現(xiàn)實情境，設(shè)計系列問題，讓學生感受引入負數(shù)后有理數(shù)是如何進行加法運算的。

我們首先作出這樣的規(guī)定：在足球比賽中贏球為“正”，輸球為“負”，這樣主場與客場兩場比賽的結(jié)果可用數(shù)學式子表示出來。例如，主場比賽贏2個球，客場比賽輸1個球，那么這一輪比賽結(jié)果為凈勝1個球。根據(jù)學生已有的經(jīng)驗，上述結(jié)果可這樣表示：（+2）+（-1）= +1。接著提出下列問題供學生思考：

1.依照上面的表示，請說出每輪比賽出現(xiàn)的不同結(jié)果情形，并用數(shù)學式子表示;

2.通過對所列算式的觀察，嘗試歸納出兩個有理數(shù)相加的所有情形，并總結(jié)有理數(shù)的加法法則;

3.“互為相反數(shù)的兩數(shù)和為零”與“法則中異號兩數(shù)相加的情形”有何聯(lián)系？

4.兩個有理數(shù)相加與小學學過的兩個數(shù)相加有何聯(lián)系與區(qū)別？

這里的設(shè)計，既關(guān)注學生對有理數(shù)加法運算法則的理解，又讓學生深刻體會到“負數(shù)”的意義和作用。

二、重視抽象過程設(shè)計

數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想。在數(shù)學抽象過程中，通過對一類問題情境的觀察，發(fā)現(xiàn)研究對象的“屬性”;通過對“屬性”的分析，找出簡約化的本質(zhì)特征，并高度概括;用數(shù)學的語言表示出“屬性”，使其適合具有“屬性”的所有對象;再通過建立聯(lián)系，納入學生原有的認知系統(tǒng)。數(shù)學抽象活動的順利進行，關(guān)鍵在于設(shè)計合理的問題與任務(wù)，讓學生在概念、命題、方法和體系的形成過程中，經(jīng)歷數(shù)學抽象的過程，這是在知識形成過程中有效積累活動經(jīng)驗的基本策略。

“估算”是數(shù)學與生活聯(lián)系極為緊密的應(yīng)用，因為生活中經(jīng)常遇到的是估算而不是精確計算?！肮浪恪鄙婕袄斫鈹?shù)的大小、修正調(diào)整數(shù)字等能力，這些能力均包含在數(shù)學抽象的基本特征中。由于估算一般都源自實際問題，因此，我們需關(guān)注設(shè)置的情境要有現(xiàn)實意義。

例如，我們可以通過對學生熟悉的A4紙的長與寬的估計、度量、折疊等活動，感受數(shù)（長度）的大?。ㄩL短）及倍數(shù)關(guān)系，同時感受無理數(shù)就在身邊?？稍O(shè)計如下的活動：

活動1：觀察一張A4紙的兩個邊長，估計A4紙的長與寬之比;

活動2：度量A4紙的長與寬，求出它們的比值，并與你的估計值進行比較;

活動3：將A4紙按下列圖示的方式折疊，說出你的發(fā)現(xiàn);

活動4：將A4紙對折，取其一半，求其長與寬的比并與A4紙的長與寬的比進行比較，說出你得到的結(jié)論。

在上述操作的過程中，首先通過觀察，估計A4紙的長與寬的大小關(guān)系;接著通過度量獲得長、寬比的近似值;然后通過折疊，得出“折出的正方形對角線與A4紙的長邊重合”，獲得A4紙的長、寬的比為[2]∶1。有了這樣的經(jīng)驗后，再將A4紙對折“取其一半”，通過觀察及之前的折疊方式，發(fā)現(xiàn)仍然與A4紙有同樣的性質(zhì)，再通過A4紙的長寬之比計算半張紙的長寬比，進行理性的思考和證實發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，這樣的再操作利于學生積累抽象活動的經(jīng)驗。

類似地，在研究三角形時，我們一般遵循“定義、性質(zhì)、判定”的思路，通過“合情發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，猜想性質(zhì)逆命題的正確性并演繹證明”的方法，研究三角形邊的關(guān)系、角的關(guān)系，以及外角、中線、角平分線、高線的各自關(guān)系。上述三角形的研究經(jīng)驗可以上升為一般幾何圖形的研究經(jīng)驗，我們可將這個方法遷移到四邊形研究中，這樣學生就會自然地提出四邊形到平行四邊形的研究問題，自己規(guī)劃研究方案并實施。通過這樣的方法學習了平行四邊形的知識系統(tǒng)，這種經(jīng)驗可以引領(lǐng)學生繼續(xù)構(gòu)建矩形、菱形、正方形的知識系統(tǒng)，并最終形成“平行四邊形——特殊的平行四邊形”的知識結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，完成平行四邊形相關(guān)知識的系統(tǒng)抽象。

三、合理采取抽象方法

數(shù)學抽象首先是發(fā)現(xiàn)屬性，其次是特征概括，接著是數(shù)學表示?！鞍l(fā)現(xiàn)屬性”要求學生通過觀察、類比、聯(lián)想和結(jié)構(gòu)分析，從中找出“屬性”，并建構(gòu)出符合“屬性”的模型;“特征概括”要求學生能把模型一般化，通過類比、歸納和聯(lián)想找出一般化后的對象具備的共同特征，可以用式子、圖形、表格、程序等表示;“數(shù)學表示”要求學生表達準確、簡約。

例如，在分式概念教學時，先出示一組具體生活背景的實例。

如果某市綠地面積為520萬㎡，人口總數(shù)為30萬人，那么該市人均擁有綠地[523]㎡。

如果某市綠地面積為a萬㎡，人口總數(shù)為b萬人，那么該市人均擁有綠地[ab]㎡。

我們發(fā)現(xiàn)，如果其中的數(shù)量僅是小學學過的兩個整數(shù)，那么其和、差、積都是整數(shù)，而商不一定是整數(shù);如果其中的數(shù)量是兩個字母（或一個字母與一個整數(shù)），那么其和、差、積都是整式，而商不是整式，這個“商”的分子、分母都是“整式”，這有點像分數(shù)的“除法運算”，用類似分數(shù)的式子將這個“商”表示出來，如式子[ab];接著，讓學生用類似的方法表示現(xiàn)實世界中其他一些關(guān)于兩個整式相除但結(jié)果不是整式的數(shù)量關(guān)系，得到若干個式子。

如果長方形玻璃的面積為3㎡，寬是n m，那么它的長是[3n]m。

如果兩塊面積為m公頃、n公頃的棉田分別產(chǎn)棉花a kg、b kg，那么這兩塊棉田平均每公頃產(chǎn)棉花[a+bm+n] kg。

觀察這些類似分數(shù)的式子[ab]、[2a]、[a+bm+n]等，找出它們的共同特征：分子、分母都是“整式”，有點像分數(shù)的“除法運算”。根據(jù)這個特征，類比分數(shù)的定義，命名這類兩個整式“商”的式子為分式，并給出“形如[AB]（A、B是整式，B中含有字母）的式子”的定義，通過辨析分式與分數(shù)的關(guān)系，討論分式有意義的條件;類比分數(shù)的學習經(jīng)驗，構(gòu)建分式的研究方案：類比分數(shù)的基本性質(zhì)研究分式的基本性質(zhì)，類比分數(shù)的通分研究分式的通分，類比分數(shù)的約分研究分式的約分，類比分數(shù)的運算研究分式的運算，等等。這樣，學生從熟悉的“分數(shù)”出發(fā)，完成了對“分式”的抽象，同時還明確了分式進一步學習的方向。

在“分式”的學習中，有分式概念的抽象，分式基本性質(zhì)的抽象，通分與約分方法的抽象，分式的運算法則的抽象等。其中包含了概念的抽象、規(guī)則的抽象、方法的抽象，也包括建立分式知識系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)抽象。因此我們在教學時，要以某一種抽象方法為主線，將相關(guān)抽象方法整合在一起，使各種數(shù)學抽象活動有序開展。如分式的起始教學時，我們可以系統(tǒng)結(jié)構(gòu)抽象為線索，以分式概念抽象為重點，把分式概念抽象整合到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)抽象的主線中。因此，需要關(guān)注類比分數(shù)，需要關(guān)注從整式的運算出發(fā)，通過把分數(shù)的分子、分母分別用字母表示出來，實現(xiàn)一般化抽象，從而分離出“整式除法運算”這一特征，發(fā)現(xiàn)像分數(shù)“除法運算”的式子，通過一般化的概括得到分式的概念，在得到分式的概念后，類比分數(shù)提出分式要研究的內(nèi)容，如性質(zhì)、運算等，從而初步完成分式整體研究方案的規(guī)劃。在后續(xù)學習中，則分別針對基本性質(zhì)和各種運算進行規(guī)則的抽象。

根據(jù)數(shù)學抽象的要求，系統(tǒng)有序地設(shè)計抽象步驟，合理設(shè)計和有效開展抽象活動，可以使學生充分經(jīng)歷數(shù)學抽象的過程，從而積累數(shù)學活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學抽象能力。

（作者單位：江蘇鳳凰科學技術(shù)出版社基礎(chǔ)教育分社）

【參考文獻】

[1]林崇德.21世紀學生發(fā)展核心素養(yǎng)研究[M].北京：北京師范大學出版社，2016.

[2]史寧中.數(shù)學基本思想18講[M].北京：北京師范大學出版社，2016.

[3]董林偉.在數(shù)學實驗中發(fā)展學生的數(shù)感[J].中國數(shù)學教育，2015（11）.