王 軍，張潤(rùn)彤+，朱曉敏

1.北京交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100044

2.北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044

1 引言

多屬性決策是現(xiàn)代決策科學(xué)的一個(gè)重要分支。由于決策問題的復(fù)雜性，如何在復(fù)雜和不確定性環(huán)境下表示屬性值，是需要重點(diǎn)考慮的問題。Zadeh[1]提出的模糊集是一種描述不確定現(xiàn)象的有效工具。隨后，學(xué)者Atanassov[2]對(duì)模糊集理論進(jìn)行了擴(kuò)展，提出了直覺模糊集理論。由于直覺模糊集同時(shí)具備隸屬度和非隸屬度兩個(gè)維度，因而在描述不確定信息和現(xiàn)象時(shí)比經(jīng)典模糊集更有效。由于直覺模糊集的這一特點(diǎn)，在過去的幾十年里直覺模糊集被廣泛應(yīng)用在疾病診斷[3]、模式識(shí)別[4]、聚類分析[5]以及多屬性決策問題中[6-7]。直覺模糊集需要滿足的約束條件是隸屬度和非隸屬度之和小于或等于1。這樣的約束條件使得直覺模糊集的應(yīng)用受到了很大的約束，因而限制了其使用范圍。因此，學(xué)者Yager[8]對(duì)直覺模糊集理論進(jìn)行了擴(kuò)充，提出了畢達(dá)哥拉斯模糊集理論。

畢達(dá)哥拉斯模糊集的約束條件是隸屬度和非隸屬的平方和不大于1。由此可見，畢達(dá)哥拉斯模糊集比直覺模糊集所能描述的范圍更廣。此后，許多學(xué)者將研究重點(diǎn)放在基于畢達(dá)哥拉斯模糊集的多屬性決策問題上。例如，文獻(xiàn)[9]提出了畢達(dá)哥拉斯模糊軟集的概念，并將這一模糊集應(yīng)用到多屬性決策問題中。為了消除專家過高或者過低決策值給決策結(jié)果帶來負(fù)面的影響，文獻(xiàn)[10-11]提出了一些畢達(dá)哥拉斯模糊冪加權(quán)平均算子，并基于這些算子提出了一種解決多屬性決策問題的算法。文獻(xiàn)[12-13]考慮畢達(dá)哥拉斯模糊集中隸屬度和非隸屬度之間的交叉關(guān)系，提出了幾類畢達(dá)哥拉斯模糊交叉集成算子。為了捕獲畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系，Liang等[14]提出了一些畢達(dá)哥拉斯模糊Bonferroni平均算子。Garg[15]提出了一種解決區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊多屬性決策問題的線性回歸方法。文獻(xiàn)[16]提出了一系列廣義畢達(dá)哥拉斯模糊Bonferroni平均算子。Li等[17]提出了一系列畢達(dá)哥拉斯模糊冪Muirhead平均算子。受到猶豫模糊集的啟發(fā)，Garg[18]提出了猶豫畢達(dá)哥拉斯模糊集，并將其應(yīng)用在多屬性決策問題中。Xing等[19]基于Frank范數(shù)提出了一系列的畢達(dá)哥拉斯Choquet積分算子。Tang和Wei[20]研究了畢達(dá)哥拉斯二元語言集及其集結(jié)算子，并提出了一種新的多屬性決策方法。為了處理畢達(dá)哥拉斯隸屬度和非隸屬之間的交叉關(guān)系，并且能夠捕獲多個(gè)畢達(dá)哥拉斯模數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系，Xu等[21]提出了同一系列畢達(dá)哥拉斯模糊交叉Muirhead平均算子。

然而，畢達(dá)哥拉斯模糊集在描述不確定性和模糊性時(shí)仍存在著局限。例如當(dāng)某位專家分別用0.7和0.8代表其決策意見的隸屬度和非隸屬度時(shí)，由于0.72+0.82=1.13＞1，因此專家的決策意見（0.7，0.8）并不能用畢達(dá)哥拉斯模糊集表示。為解決這類問題，學(xué)者Yager[22]提出了廣義正交模糊集。廣義正交模糊集的約束條件是隸屬度和非隸屬度的q次方之和小于或者等于1(q≥1)。隨后文獻(xiàn)[23]提出了一系列廣義正交模糊加權(quán)算術(shù)平均和加權(quán)幾何平均算子。文獻(xiàn)[24]提出了一簇廣義正交模糊Bonferroni平均算子。Wei等[25]提出了一系列廣義正交Heronian平均算子。然而現(xiàn)有的廣義正交模糊集結(jié)算子只能考慮兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系。為了捕獲多個(gè)輸入變量之間的相關(guān)關(guān)系，本文利用Maclaurin對(duì)稱平均算子[26]集結(jié)廣義正交模糊信息，提出一系列廣義正交模糊Maclaurin對(duì)稱平均算子，并將這些算子應(yīng)用在多屬性決策問題中。

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 廣義正交模糊集

定義1[22]設(shè)X為一個(gè)非空一般集合，則定義在X上的廣義正交模糊集A的表達(dá)式為：

其中，uA(x)和vA(x)分別表述元素x屬于集合X的隸屬度和非隸屬度，并且滿足 0≤uA(x)≤1，0≤vA(x)≤1以及 0≤uA(x)q+vA(x)q≤1(q≥1)。為了方便，記α=(u,v)為一個(gè)廣義正交模糊數(shù)。顯然，廣義正交模糊數(shù)的隸屬度空間比畢達(dá)哥拉斯和直覺模糊的隸屬度空間都大，如圖1所示。

Fig.1 Space of membership degree ranges of different fuzzy sets圖1 各模糊集的隸屬度空間范圍

定義2[23]設(shè)α1=(u1,v1)和α2=(u2,v2)為兩個(gè)廣義正交模糊數(shù)，并且λ為任意正數(shù)，則廣義正交模糊數(shù)的運(yùn)算法則為：

定義3[23]設(shè)α=(u,v)為一個(gè)廣義正交模糊數(shù)，則α的得分函數(shù)定義為S(α)=uq-vq，α的精確函數(shù)定義為H(α)=uq+vq。對(duì)于任意兩個(gè)廣義正交模糊數(shù)α1=(u1,v1)和α2=(u2,v2)，則有：

（1）若S(α1)＞S(α2)，則α1＞α2。

（2）若S(α1)=S(α2)，則：

若H(α1)＞H(α2)，則α1＞α2；

若H(α1)=H(α2)，則α1=α2。

2.2 Maclaurin對(duì)稱平均算子

Maclaurin對(duì)稱平均算子是一種有效的信息集成算子，最初被廣泛應(yīng)用在實(shí)數(shù)領(lǐng)域。近幾年來，Maclaurin對(duì)稱平均算子在模糊信息集成領(lǐng)域也得到了廣泛的應(yīng)用。Maclaurin對(duì)稱平均算子的優(yōu)勢(shì)是能夠反映多個(gè)輸入變量之間的相關(guān)關(guān)系。

定義4[26]設(shè)aj(j=1,2,…,n)為一系列非負(fù)實(shí)數(shù)，并且k=1,2,…,n，若：

則稱MSM(k)為Maclaurin對(duì)稱平均（Maclaurin symmetric mean，MSM）算子，其中 (i1,i2,…,ik)遍歷了(1,2,…,n)的所有k元組合，是二項(xiàng)式系數(shù)。

另外可以證明MSM算子滿足冪等性、單調(diào)性及有界性[26]。

3 廣義正交模糊集結(jié)算子

利用MSM算子集成廣義正交模糊信息，提出了一系列廣義正交模糊Maclaurin對(duì)稱平均算子。

3.1 廣義正交模糊Maclaurin對(duì)稱平均算子

定義5設(shè)αi=(ui,vi)(i=1,2,…,n)為一組廣義正交模糊數(shù)，并且k=1,2,…,n。若：

則稱q-ROFMSM(k)為廣義正交模糊Maclaurin對(duì)稱平均（q-rung orthopair fuzzy Maclaurin symmetric mean，q-ROFMSM）算子，其中(i1,i2,…,ik)遍歷了(1,2,…,n)的所有k元組合，Ckn是二項(xiàng)式系數(shù)。

定義5給出了MSM算子在廣義正交模糊環(huán)境下的數(shù)學(xué)表達(dá)式。通過定義5可以看到，MSM在廣義正交模糊環(huán)境下的數(shù)學(xué)表達(dá)形式與在實(shí)數(shù)環(huán)境下的數(shù)學(xué)表達(dá)形式是類似的。需要指出的是，在實(shí)數(shù)環(huán)境下的MSM算子遵循實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，在廣義正交模糊環(huán)境下的MSM算子需要遵循廣義正交模糊集的運(yùn)算法則（即定義2）。根據(jù)定義2和定義5可以得到如下定理。

定理1設(shè)αi=(ui,vi)(i=1,2,…,n)為一組廣義正交模糊數(shù)，并且k=1,2,…,n，則利用q-ROFMSM算子集結(jié)后的結(jié)果仍然是廣義正交模糊數(shù)，且：

證明首先證明等式（4）的正確性，再證明集結(jié)結(jié)果仍然為廣義正交模糊數(shù)。根據(jù)定義2，可以得到：

故算子的集結(jié)結(jié)果也是一個(gè)廣義正交模糊數(shù)。□

此外q-ROFMSM算子具有如下性質(zhì)。

性質(zhì)1（冪等性） 設(shè)αi=(ui,vi)(i=1,2,…,n)為一組廣義正交模糊數(shù)，若任意αi滿足αi=α=(u,v)，則有：

證明由于αi=α=(u,v)對(duì)于所有i都成立，根據(jù)定理1可得：

即等式成立，q-ROFMSM算子具有冪等性。

性質(zhì)2（單調(diào)性） 令αi=(ui,vi)和βi=(si,ti)(i=1,2,…,n)為兩組廣義正交模糊數(shù)，若ui≤si，vi≥ti對(duì)于任意i都成立，則有：

由于ui≤si對(duì)于所有i都成立，則有：

即u≤s。同理可得v≤t。根據(jù)定義3，兩個(gè)廣義正交模糊數(shù)(u,v)和(s,t)之間的大小關(guān)系是(u,v)≤(s,t)，即：

性質(zhì)3（有界性） 設(shè)αi=(ui,vi)(i=1,2,…,n)為一組廣義正交模糊數(shù)，則有：

其中：

此時(shí)q-ROFMSM算子退化為廣義正交模糊平均算子[23]。

情形2當(dāng)k=2時(shí)，則有：

此時(shí)q-ROFMSM算子退化為廣義正交模糊Bonferroni平均算子[24]。

情形3當(dāng)k=3時(shí)，則有：

此時(shí)q-ROFMSM算子退化為廣義正交模糊廣義Bonferroni平均算子。

情形4當(dāng)k=n時(shí)，則有：

此時(shí)q-ROFMSM算子退化為廣義正交模糊幾何算子[23]。

情形5當(dāng)q=1時(shí)，則有：

此時(shí)q-ROFMSM算子退化為直覺模糊Maclaurin對(duì)稱平均算子[27]。

情形6當(dāng)q=2時(shí)，則有：

此時(shí)q-ROFMSM算子退化為畢達(dá)哥拉斯模糊Maclaurin對(duì)稱平均算子[28]。

3.2 廣義正交模糊加權(quán)Maclaurin對(duì)稱平均算子

考慮到在實(shí)際的決策問題中，輸入變量往往具有不同的重要程度，定義廣義正交模糊加權(quán)Maclaurin對(duì)稱平均（q-rung orthopair fuzzy weighted Maclaurin symmetric mean，q-ROFWMSM）算子。

則稱q-ROFWMSM(k)為q-ROFWMSM算子，其中(i1,i2,…,ik)遍歷了(1,2,…,n)的所有k元組合，Ckn是二項(xiàng)式系數(shù)。

定理2令αi=(ui,vi)(i=1,2,…,n)為一組廣義正交模糊數(shù)，并且k=1,2,…,n。則利用q-ROFWMSM算子集結(jié)的結(jié)果仍為廣義正交模糊數(shù)，并且：

定理2的證明過程與定理1的證明過程類似。此外q-ROFWMSM算子具有如下性質(zhì)。

性質(zhì)1（單調(diào)性） 令αi=(ui,vi)和βi=(si,ti)(i=1,2,…,n)為兩組廣義正交模糊數(shù)，若ui≤si，vi≥ti對(duì)于任意i都成立，則有：

性質(zhì)2（有界性） 設(shè)αi=(ui,vi)(i=1,2,…,n)為一組廣義正交模糊數(shù)，則有：

其中：

上述兩個(gè)性質(zhì)的證明過程與q-ROFMSM算子性質(zhì)的證明過程類似，這里不再贅述。

4 基于廣義正交模糊Maclaurin對(duì)稱平均算子的多屬性決策方法

步驟1標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣。在實(shí)際的多屬性決策問題中，屬性往往包含兩種類型，即效益型屬性和成本型屬性。因此需要根據(jù)以下公式對(duì)原決策矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。

其中，I1和I2分別表示效益型屬性和成本型屬性。

步驟2利用廣義正交模糊加權(quán)Maclaurin對(duì)稱平均（q-ROFWMSM）算子集結(jié)專家意見，即：

進(jìn)而得到每個(gè)選項(xiàng)的綜合屬性值。

步驟3根據(jù)定義計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)的綜合屬性值的得分函數(shù)并將候選項(xiàng)x={x1,x2,…,xm}降序排列。

步驟4根據(jù)排序結(jié)果選擇最優(yōu)方案。

5 應(yīng)用實(shí)例

為提高企業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)，某公司決定開展一項(xiàng)新的業(yè)務(wù)[29]。經(jīng)過初步的調(diào)研，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)層決定從5個(gè)可能方案中選擇一個(gè)最優(yōu)的方案。這5個(gè)可能的方案記作{x1,x2,x3,x4,x5}。為了選擇最優(yōu)選項(xiàng)，該企業(yè)組織專家對(duì)5個(gè)備選方案進(jìn)行嚴(yán)格的評(píng)審。對(duì)所有備選方案的評(píng)審主要包括4個(gè)方面，即競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)（G1）、發(fā)展?jié)摿Γ℅2）、環(huán)境友好性（G3）以及社會(huì)影響力（G4）。屬性的權(quán)值向量為w=(0.2,0.1,0.3,0.4)T。專家利用直覺模糊數(shù)對(duì)備選方案的屬性進(jìn)行評(píng)價(jià)，進(jìn)而得到一個(gè)如表1中的直覺模糊決策矩陣。

Table 1 Intuitionistic fuzzy decision matrix表1 直覺模糊決策矩陣

5.1 決策過程

步驟1由于所有的屬性均為效應(yīng)型屬性，因此決策矩陣不需要標(biāo)準(zhǔn)化。

步驟2利用廣義正交模糊加權(quán)Maclaurin對(duì)稱平均算子集結(jié)決策矩陣（令k=2,q=3），可以得到候選方案的綜合屬性值。即：

步驟3計(jì)算綜合值的得分函數(shù)，可以得到：

方案的排序結(jié)果為x5?x1?x4?x2?x3。

步驟4根據(jù)排序結(jié)果可知最優(yōu)方案為x5。

5.2 參數(shù)對(duì)排序結(jié)果和最優(yōu)選項(xiàng)的影響

廣義正交模糊加權(quán)Maclaurin對(duì)稱平均算子中有兩個(gè)重要的參數(shù)k和q。顯然參數(shù)k和q在算子的集結(jié)結(jié)果和排序結(jié)果中扮演著重要角色。賦予參數(shù)不同值，則可以得到不同的得分函數(shù)和排序結(jié)果。在廣義正交模糊加權(quán)Maclaurin對(duì)稱平均算子中賦予參數(shù)k不同的值時(shí)，其得分函數(shù)和排序結(jié)果如表2所示。為了不失一般性，令q=3。

從表2中可以看出，廣義正交模糊加權(quán)Maclaurin對(duì)稱平均算子中的參數(shù)k取不同值時(shí)，得分函數(shù)及排序結(jié)果均不同。當(dāng)k=1,2,3時(shí)，最優(yōu)方案均為x5。當(dāng)k=4時(shí)，最優(yōu)方案為x1。另外，隨著k值的增大，方案的得分函數(shù)不斷變小。即得分函數(shù)隨k值單調(diào)遞減。因此參數(shù)k的值可以視為是決策者對(duì)決策方案的樂觀或者悲觀的程度。即當(dāng)決策者對(duì)決策方案比較悲觀時(shí)，可以盡可能地給廣義正交模糊加權(quán)Maclaurin對(duì)稱平均算子中的參數(shù)k賦予一個(gè)較大的值；反之當(dāng)決策者對(duì)決策方案比較樂觀時(shí)，盡可能給參數(shù)k賦較小值。

此外參數(shù)q的取值對(duì)結(jié)果的影響很大。參數(shù)q本質(zhì)上指的是決策者評(píng)價(jià)結(jié)果的信息范圍。給廣義正交模糊加權(quán)Maclaurin對(duì)稱平均算子中的參數(shù)q賦予不同的值，則得分函數(shù)和排序結(jié)果如圖2所示。為了不失一般性，令k=2。

Fig.2 Decision results by q-ROFWMSM operator with respect toq(k=2)圖2 q-ROFWMSM算子隨q變化的決策結(jié)果(k=2)

從圖2中可以看出，隨著q的增大，即決策者信息范圍越大，方案的得分函數(shù)也隨著增大，而且?guī)砹瞬煌呐判蚪Y(jié)果。因此類似的參數(shù)q不僅可以是決策信息范圍的體現(xiàn)，也體現(xiàn)決策者對(duì)決策方案的偏好程度。若決策者對(duì)于決策方案存在較強(qiáng)的偏好關(guān)系，則可以賦予q一個(gè)較大的值；反之，若決策者對(duì)于決策方案的偏好程度較小，則會(huì)賦予q一個(gè)較小的值。

5.3 比較分析

為了驗(yàn)證該方法的優(yōu)點(diǎn)，將本文提出的多屬性決策方法與現(xiàn)有的方法進(jìn)行對(duì)比。這些方法包括Liu和Wang[23]提出的基于廣義正交模糊加權(quán)平均算子的多屬性決策方法，文獻(xiàn)[24]提出的基于廣義正交Bonferroni平均算子多屬性決策方法以及Wei等[25]提出的基于廣義正交模糊Heronian平均算子的多屬性決策方法。利用這些方法解決上述問題的得分函數(shù)值和排序結(jié)果如表3所示。

Table 2 Results with respect to different values ofkin q-ROFWMSM operator(q=3)表2 q-ROFWMSM算子中k取不同值的結(jié)果(q=3)

Table 3 Score function and ranking result by using different methods表3 利用不同的方法得到的得分函數(shù)和排序結(jié)果

從表3中可知，不同的決策方法所得到的得分函數(shù)值和方案排序的結(jié)果不相同。Liu和Wang[23]提出的基于廣義正交加權(quán)平均算子的方法不能捕獲變量之間的相關(guān)關(guān)系。即Liu和Wang[23]的方法認(rèn)為變量之間是不相關(guān)的。然而在上述多屬性決策問題中，屬性之間具有相關(guān)性。例如企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力(G1)和社會(huì)影響力(G4)之間是存在相關(guān)關(guān)系的。本文提出的方法是基于廣義正交Maclaurin對(duì)稱平均算子的多屬性決策方法。該方法的優(yōu)勢(shì)在于能夠捕獲輸入屬性之間的相關(guān)關(guān)系。另外Liu和Wang[23]的方法是新提出的這種方法的特殊情況。因此本文提出的方法比Liu和Wang[23]的方法更強(qiáng)大，更靈活。文獻(xiàn)[24-25]中的方法也能夠考慮變量之間的相關(guān)關(guān)系，但是這兩種方法只能考慮兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系。在實(shí)際的多屬性決策問題中，輸入變量之間往往存在著復(fù)雜的相關(guān)關(guān)系，因此在選擇最優(yōu)方案時(shí)不僅要捕獲兩個(gè)屬性之間的相關(guān)關(guān)系，而且需要考慮多個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系。而本文提出的多屬性決策方法可以考慮多個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系。而且如3.1節(jié)中所示，文獻(xiàn)[24]中的方法其實(shí)是新提出的這種方法的特殊情況，因此相比于文獻(xiàn)[23-25]提出的方法，本文提出的方法具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

6 結(jié)束語

本文在Maclaurin對(duì)稱平均算子的基礎(chǔ)上提出了一簇廣義正交模糊Maclaurin對(duì)稱平均算子。同時(shí)研究了這些算子的性質(zhì)和特例。新提出的這些算子能夠反映多個(gè)輸入變量之間的相關(guān)關(guān)系，因而比現(xiàn)在的廣義正交模糊集結(jié)算子更具有優(yōu)勢(shì)。另外基于這些算子提出了一種新的解決模糊多屬性決策問題的方法。最后將該方法應(yīng)用到實(shí)際問題中以驗(yàn)證該方法的有效性。實(shí)驗(yàn)以及比較分析表明新提出的多屬性決策方法能夠有效地解決多屬性決策問題，并且比現(xiàn)有的方法更具有優(yōu)勢(shì)。下一步將繼續(xù)研究廣義正交模糊集的其他集結(jié)算子。