吳 夢,陳 沖,王旭輝,錢毅加
四邊形上一種線性雙有理映射構造方法
吳 夢,陳 沖,王旭輝,錢毅加
(合肥工業(yè)大學數(shù)學學院,安徽 合肥 230009)
作為一種特殊的有理映射,雙有理映射可應用于圖像變形、等幾何分析中區(qū)域參數(shù)化中。針對文獻[1]通過幾何方法構造四邊形上的雙有理映射,需要先確定權值再構造的問題,提出一種基于動直線的方法,可直接構造四邊形上的雙有理映射。此外,通過選擇不同的參數(shù),可以得到四邊形上不同的雙有理映射。驗證可知,該方法滿足文獻[1]提出的權值比例關系,并通過實例說明了其有效性。
雙有理映射;動直線;權值
雙有理映射是一種特殊的有理映射,其映射與逆映射均為有理的。具體到二元有理映射情形,給定二元有理映射(,),若其滿足:
雙有理映射具有形式簡單便于計算等特性,且在計算機圖形學和幾何設計中發(fā)揮著重要的作用[2],同時也在圖像變形和圖像修復上有著廣泛的應用[3],HUDSON[4]基于Cremona變換討論了二維有理映射的數(shù)學理論,但具體應用時需要考慮雙有理映射的構造問題,這也是十分新穎的問題。近年來,文獻[1]針對四邊形情形,通過事先對四邊形的頂點賦予適當?shù)臋嘀?,提出了一種四邊形上的雙有理映射的構造方法,同時FLOATER[5]又從重心的角度出發(fā),重新解釋了在四邊形上的雙有理映射,并且給出了其逆映射的一般形式。文獻[6]通過建立凸六面體的重心坐標,找到了滿足特殊條件的權值的構造方法,給出了在凸六面體上的三線性映射為雙有理映射。
動直線是由COX等[7]提出的,是一種解決曲面表示與計算的代數(shù)工具,在曲線曲面隱式化、坐標參數(shù)化以及奇點計算等方面有著廣泛的應用[8]。
本文從動直線出發(fā),不需要事先通過對頂點賦權值來構造四邊形上的雙有理映射,從而直接給出四邊形上的一種雙有理映射。
則定義在該四邊形上的雙線性映射為
一般情況下,該映射不是雙有理映射。然而,文獻[1]將頂點賦上適當?shù)臋嘀?i>w,通過計算,發(fā)現(xiàn)了權值需要滿足的關系式,即當權值滿足比例關系