翁桂英, 林偉華

（1.仰恩大學數(shù)學系,福建泉州362014；2.閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,福建漳州363000；3.福建師范大學數(shù)學與計算機學院,福建福州350007）

設F=F（x，y）是 n 維流形M 上的芬斯勒度量，若在任何一點存在局部坐標系（xi）使得測地系數(shù)G=, 其中H=H（x，y）是TM ｛0｝上三次正齊次的光滑標量函數(shù)，則稱芬斯勒度量F=F（x，y）為局部對偶平坦，并稱此坐標系為恰當坐標系.芬斯勒幾何中局部對偶平坦的概念最近得到比較深入的研究, 文獻[3]研究了局部對偶平坦在信息幾何中的應用, 文獻[4]研究了對偶平坦的Kropina度量的標量旗曲率及迷向S-曲率的特征,文獻[5]研究Randers 度量為局部對偶平坦的條件，文獻[6]研究了局部對偶平坦且共形平坦的Kropina 度量.沈忠民[1]證明了開集URn上的芬斯勒度量F=F（x，y）為局部對偶平坦的充要條件為其滿足偏微分方程：.夏巧玲[7]研究了 （α， β）-度量為局部對偶平坦的充要條件.

芬斯勒幾何的共形相關在某種意義上是保角相關[2].給定流形M 上的芬斯勒度量F 和，若存在 M上的一個標量函數(shù) c（x），使得，則 F，稱為共形相關.特別如果F 共形于閔可夫斯基度量，則稱F 為共形平坦.目前對偶平坦的 （α，β）-度量的共形相關性大多局限于特殊的 （α，β）-度量，本文利用文獻[7]中刻畫對偶平坦的 （α，β）-度量滿足的方程對共形相關性的結果推廣到一般的對偶平坦的（α，β）-度量，得到了下面定理.

本文不特別說明均采用愛因斯坦求和約定.

1 預備知識

n 維流形 M 上（α， β）-度量有如下形式

在（α，β）-度量中，為便于計算，引入如下記號

芬斯勒幾何的共形性質是幾何學家研究的熱門問題,Weyl 定理證明了一個芬斯勒度量的共形性質和射影性質唯一地決定了這個度量的結構.對于流形M 上的芬斯勒度量F，，若滿足，其中 c（x）為 M 上標量函數(shù)，則稱F，共形相關.此時稱標量函數(shù) c（x）為共形因子.

并且有

為證明結論，引入以下引理.

引理1[2]（α，β）-度量為局部閔可夫斯基當且僅當α 為平坦的，且bi│j=0.

為后文引理敘述需要引入以下記號

其中 k1，k2，k3為常數(shù)如式(11)定義，是標量函數(shù)，為 M 上 1-形式，θi:=aijθj.

引理 3[7]設維流形 Mn（n3）上 （α，β）-度量，假設條件同引理 2，若滿足

則F 是局部對偶平坦當且僅當

其中 k1，k2，k3及 θ 定義同引理 2.

其中 k1，k2，k3及,θ 定義同引理 2.

引理 5 若 φα2=σβ，其中 α， β 定義如前， φ 為 M 上函數(shù)， σ:=σi（x）yi:=σ0為 M 上 1-形式，則φ=0，σ=0.

證明 對 M 上任意點，若 φ≠0，則 φα2=φαijyiyj為二次型，矩陣（φαij）是可逆， σβ=σibjyiyj也為二次型，其矩陣（σibj）秩為 1，矛盾，故 φ=0；從而 σibjyiyj=0，由 yi，yj的任意性，向量（bj）≠0，則列向量（σi）=0，從而 σ=0.

2 定理的證明

定理1 的證明 1)必要性.F 共形平坦，與局部閔可夫斯基度量共形相關，由引理1 有，又由式(8)(9)，

從而由引理2，

(25)式由引理5，

(26)式與 bi縮并得

由引理5

(31)式與 bi縮并得，

由(32)(34)式可得 c0=0，從而，c（x）為常值函數(shù)，所以F 為局部閔可夫斯基度量.

2) 充分性顯然.

(37)式由引理5，

由引理5，

由(39)(41)式 c0=0，從而 c（x）為常數(shù).

2) 充分性顯然.