陜西省西安建筑科技大學(xué)附屬中學(xué)(710055) 劉志勇

本刊2018年第12 期(下)第17 頁刊文《突出基本結(jié)構(gòu)落實(shí)核心素養(yǎng)—一道平面幾何試題的教學(xué)和反思》，就一道平面幾何試題的教學(xué)進(jìn)行了研究，引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜的圖形中分離出基本幾何結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)造與問題相關(guān)的方程模型進(jìn)行求解，進(jìn)而落實(shí)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，下面筆者將對(duì)該文做一些補(bǔ)充.

一、原題

如圖1，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，若BD=3，CD=2，則AD=____.

圖1

二、補(bǔ)充思路

思路一如圖2，由AD是△ABC的高想到作另外兩條高，利用”三角形三條高交于一點(diǎn)”.

圖2

1.由勾股定理，得BG2-BD2=CG2-CD2，即2x2-32=2y2-22，即x2-y2=，再由BE2+EC2=BC2得x2+(x+聯(lián)立 ① ②，解得x2=5 或(舍)，所 以x2=5.所 以GD=再由可得AG=BC=5.所以AD=AG+GD=5+1=6.

2.設(shè)GD=m，由△BDG∽△AFG可得即即由△AEG可得即即②，①②得：即解得m=1 或-6 (舍)，所以m=1.再由可得AG=BC=5.所以AD=AG+GD=5+m=5+1=6.

思路二如圖3，由∠BAC=45°想到圓周角，于是作△ABC的外接圓，圓心為O.

1.如圖3，可推出DE=2，EF=1.再可推出△ABF∽△CAE，于是即解得AD=6或-1(舍)，所以AD=6.

圖3

2.如圖4，作OE⊥BC于E，OF⊥AD于F，連接AO.可推出DF=EO=BE=OF√=ED=半徑AO=BO=在Rt△AOF中，由勾股定理，得AF所以AD=AF+DF==6.

圖4

思路三如圖5，由于AD將∠BAC=45°分為∠BAD和∠CAD，這兩個(gè)角的和為45°，它們的2 倍為90°，于是想到將這兩個(gè)角分別2 倍，也就想到軸對(duì)稱.

圖5

分別作AD關(guān)于AC和AB的對(duì)稱圖形AE,AF，F(xiàn)B與EC交于點(diǎn)G，可得正方形AEGF.設(shè)AD=x，則BG=x-3，CG=x-2，在Rt△BCG中，由勾股定理，得(x-3)2+(x-2)2=52，即x2-5x-6=0，解得x=6 或-1 (舍)，所以x=6，即AD=6.

思路四如圖6，由∠BAC=45°想到tan∠BAC=tan 45°=1，想到直線y=x.

圖6

將△ABC放到平面直角坐標(biāo)系中，使A在原點(diǎn)，AB在x軸正半軸上，點(diǎn)C在第一象限.顯然直線AC的解析式為y=x.設(shè)直線AD的解析式為y=kx(k /=0)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(m,m)，由AD⊥BC，則可設(shè)直線BC的解析式為y=(x-m)+m，聯(lián) 立可求出D點(diǎn)坐標(biāo)為作CE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F.再由△BDF∽△BCE可得DF=m，即又因?yàn)樗约唇獾胟=或-3(舍)，所以k=所以tan∠DAB=k=所以推出AD=6.

思路五如圖7，受上一個(gè)思路的啟發(fā)，去掉坐標(biāo)系的背景，用三角函數(shù)解決問題.由CE=AE，可設(shè)AE=CE=5m，由DF//CE，CD=2，BD=3，可設(shè)EF=2n，BF=3n，推出DF=3m.因?yàn)椤螪AF=∠BDF，所以tan∠DAF=tan∠BDF，所以即即2-3=0，解得或-3(舍)，所以所以tan∠DAF=tan∠BDF=又因?yàn)閠an∠DAF=所以所以AD=6.

圖7

思路六如圖8，可以看出∠α+∠β=45°，而tan∠α=tan∠β=因此想到如果能找到tan∠α和tan∠β滿足的關(guān)系式，就能求出AD的值.

圖8

1.構(gòu)造圖形，如圖9，∠α+∠β=45°，則有tan∠β=所以tan∠α+所以tan∠α+tan∠β+tan∠α×tan∠β=即：若∠α+∠β=45°，則tan∠α+tan∠β+tan∠α ×tan∠β=1.代入tan∠α和tan∠β的值，可得即AD2-5AD-6=0，解得AD=6 或-1(舍)，所以AD=6.

圖9

2.構(gòu)造圖形，如圖10，∠α+∠β=45°，設(shè)FG=EG=a，HF=b，則EF=由△EF√H∽△KFE可得可得KF所以所以tan∠α+tan∠β+tan∠α×tan(∠β=同上1 可得，AD=6.

圖10