江蘇省南京市第二十九中學(xué)初中(210000) 孫莉

美國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”．這就是說(shuō)解題教學(xué)應(yīng)當(dāng)是題目為載體、為了幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)而進(jìn)行的教學(xué)．“解題教學(xué)”一直是一個(gè)經(jīng)久不衰的話(huà)題，“解題教學(xué)”中的每個(gè)字都有其特殊的意義．這里的“題”不是信手拈來(lái)的，是加以甄選的，可往往教師、學(xué)生都會(huì)覺(jué)得能夠談的上“解”的都是難題，才配得上“解題教學(xué)”，那么什么樣的題才是好題呢?

目前解題課異化為習(xí)題課的狀態(tài)迫切需要改變，不能再充斥著對(duì)某一題型的歸類(lèi)、講解、訓(xùn)練，需要加入高位的基本問(wèn)題．這里的高不是難度高，而是立意高、數(shù)學(xué)味道足，即通過(guò)教一些蘊(yùn)含了解決問(wèn)題基本思想和策略的題目來(lái)讓學(xué)生逐步理解知識(shí)本身并掌握基本方法，一定不能停留在對(duì)技巧型問(wèn)題的多次處理上．無(wú)疑，尺規(guī)基本作圖是符合以上標(biāo)準(zhǔn)的．而傳統(tǒng)教學(xué)中對(duì)尺規(guī)基本作圖的教學(xué)有一定的誤區(qū)，更多地是告知學(xué)生，將其進(jìn)行“復(fù)制、拷貝”，孰能生巧，尤其在初中的起始階段，這大大的挫傷了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，也與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程課標(biāo)(2011 版)》(文中將簡(jiǎn)稱(chēng)為《課標(biāo)》)的要求不符，與尺規(guī)作圖的本質(zhì)相違背．《課標(biāo)》中提出“在基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理”的要求，對(duì)于尺規(guī)作圖，學(xué)生不僅要知道作圖的步驟，而且要知道實(shí)施這些步驟地理由，也就是說(shuō)要先“明理”，再以“理”生“法”，這是教師進(jìn)行尺規(guī)作圖教學(xué)時(shí)尤其基本作圖的教學(xué)中必須思考的．

有人說(shuō)“學(xué)習(xí)的最初是模仿”，這話(huà)不無(wú)道理，可是小學(xué)六年的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的積累，已經(jīng)給學(xué)生打下足夠的基礎(chǔ)，他們無(wú)需再模仿，他們可以通過(guò)類(lèi)比、遷移進(jìn)行思辨和再創(chuàng)造，對(duì)于尺規(guī)基本作圖應(yīng)“知其然，亦須知其所以然”．所以筆者在“解題教學(xué)”意識(shí)指導(dǎo)下對(duì)基本作圖“作一個(gè)角等于已知角”的教學(xué)作出了新嘗試，現(xiàn)與同行交流．

圖1

1 教材內(nèi)容分析

蘇科版教材在回顧了“用量角器畫(huà)一個(gè)角等于已知角”的基礎(chǔ)上，分析圖中點(diǎn)D的位置，意在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、探索、交流、歸納出用直尺和圓規(guī)完成該基本作圖的作法步驟，以摒棄傳統(tǒng)教學(xué)中的“復(fù)制、拷貝”的灌輸模式，其他教材多數(shù)在全等三角形學(xué)習(xí)完后再進(jìn)行介紹．前者延續(xù)線(xiàn)段的學(xué)習(xí)模式再加以知識(shí)的遷移，安排在這里也不可厚非，但作法探究完后無(wú)法給學(xué)生解釋為什么兩角相等，使得尺規(guī)作圖缺乏了理論支撐;后者符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，重在“理”，因?yàn)榛咀鲌D二的作圖依據(jù)即是三角形全等，但又會(huì)思維固化，這兩種呈現(xiàn)方式都有各自的道理，但無(wú)論是哪一種呈現(xiàn)方式，都應(yīng)該做到有理有據(jù)，學(xué)生自然生成最為理想．

2 學(xué)情分析

1．學(xué)生在小學(xué)里已經(jīng)會(huì)用直尺作線(xiàn)，圓規(guī)作圓，但在課堂實(shí)踐中筆者發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生對(duì)直尺的作用有些模糊，認(rèn)為僅用直尺就可以畫(huà)一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段了，這是對(duì)直尺的錯(cuò)誤理解，這里要強(qiáng)調(diào)是沒(méi)有刻度的直尺．并且對(duì)“作”和“畫(huà)”之間的區(qū)別模糊不清．

2．課堂實(shí)踐中亦發(fā)現(xiàn)有不少學(xué)生會(huì)操作，但只知其然，不知所以然，也是就是不“明理”．

3．這個(gè)年齡段的學(xué)生習(xí)慣于用小學(xué)里的直觀代替推理，對(duì)幾何語(yǔ)言的運(yùn)用，即文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)化以及對(duì)探索、歸納、推理的必要性認(rèn)識(shí)不足．學(xué)生的認(rèn)識(shí)過(guò)程應(yīng)基于操作，又高于操作，即可以從事抽象、概括活動(dòng)，歸納數(shù)學(xué)對(duì)象的特征，發(fā)展有條理的思考和表達(dá)．

3 教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1 弄清題意，解題前提

問(wèn)題用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角．

已知：∠AOB，如圖1.

圖2

求作：∠AOB，使∠A′O′B′=∠AOB．

設(shè)計(jì)意圖教學(xué)過(guò)程中筆者并沒(méi)有帶著學(xué)生先去回顧復(fù)習(xí)“用量角器畫(huà)一個(gè)角等于已知角”，因?yàn)檫@已經(jīng)是固有的經(jīng)驗(yàn)在學(xué)生腦海里，所以直接跳過(guò)，更多是“放”，放出時(shí)間給予學(xué)生充分的思考，但如果教學(xué)過(guò)程中學(xué)生對(duì)此很陌生，教師可以適時(shí)介入，喚醒舊知，解題表如下：

3.2 擬定計(jì)劃，關(guān)鍵環(huán)節(jié)

追問(wèn)1 直尺可以做什么? 圓規(guī)呢? 它們合起來(lái)又能做什么呢?

追問(wèn)2 你曾經(jīng)畫(huà)過(guò)一個(gè)角等于已知角嗎? 怎么畫(huà)的?

追問(wèn)3 作∠A′O′B′關(guān)鍵是確定什么?

追問(wèn)4 確定射線(xiàn)O′B′的關(guān)鍵又是什么呢? ?

追問(wèn)5 點(diǎn)D′有什么特征呢?

追問(wèn)6 如何理解角相等?

圖3

圖4

設(shè)計(jì)意圖追問(wèn)1 中，意在讓學(xué)生明確的是我們手上的工具有什么用處，讓學(xué)生有的放矢．追問(wèn)2 中，筆者特意用“畫(huà)”而不是“作”，意在喚醒學(xué)生用量角器畫(huà)一個(gè)角等于已知角．讓學(xué)生經(jīng)歷觀察圖形(假設(shè)圖形已作出)作一個(gè)角的關(guān)鍵是確定公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)，而確定射線(xiàn)的關(guān)鍵是端點(diǎn)與射線(xiàn)上除端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，因此作∠A′O′B′=∠AOB可轉(zhuǎn)化為確定射線(xiàn)O′A′及射線(xiàn)O′B′上的一個(gè)點(diǎn)D′．所謂角相等就是度數(shù)相同，但不能使用量角器．幾何直觀就是張口相同、完全重合，不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D′的內(nèi)部表征：①射線(xiàn)OB上有一個(gè)點(diǎn)D是與之對(duì)應(yīng)，則OD=O′D′，不難想到以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧分別與OA、OB相交于點(diǎn)C、D，附帶產(chǎn)生了點(diǎn)D與點(diǎn)C又有什么關(guān)系呢? ②點(diǎn)C、D之間的距離亦是確定的，與C′D′的長(zhǎng)度相同．根據(jù) ①以O(shè)′為圓心，OD為半徑作弧，根據(jù) ②以C′為圓心CD為半徑作弧交前弧與點(diǎn)D′．這一系列的問(wèn)題其實(shí)就是由已知展開(kāi)最近聯(lián)想得可知、未知展開(kāi)最近聯(lián)想得需知的過(guò)程，即運(yùn)用思維策略進(jìn)行內(nèi)部表征，解題表進(jìn)一步豐富，如下：

3.3 實(shí)現(xiàn)計(jì)劃，操作過(guò)程

請(qǐng)學(xué)生自行完整的作圖過(guò)程并口述作法，這里不再贅述．

由于學(xué)生現(xiàn)階段并未學(xué)習(xí)全等，所以教師不急于去證明為什么如此作法兩個(gè)角就是相等的，但這個(gè)問(wèn)題又不能“視而不見(jiàn)”，僅僅用直觀代替推理是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，這里提及的“重合”即為全等，待學(xué)生認(rèn)知水平提高了可再溫故而知新．

3.4 回顧反思，必要環(huán)節(jié)

提出以下問(wèn)題幫助學(xué)生反思：

問(wèn)題1 整個(gè)作圖過(guò)程用到了哪些思想方法?

設(shè)計(jì)意圖整個(gè)作圖體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，有問(wèn)題的，有方法的．看似是作一個(gè)角等于已知角，核心問(wèn)題還是尋找關(guān)鍵點(diǎn)，弧的出現(xiàn)具有突破性的意義，它如同解方程中的未知數(shù)“x”，讓未知數(shù)參與“戰(zhàn)斗”．

問(wèn)題2 你還有其他方法嗎?

設(shè)計(jì)意圖在教學(xué)過(guò)程中，有學(xué)生提到過(guò)點(diǎn)D作OA的垂線(xiàn)，認(rèn)為D′到射線(xiàn)O′A′的距離是相等的，還有學(xué)生想到推平行線(xiàn)，但由于沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)如何用尺規(guī)作垂直、平行，只能作罷，但這樣的念頭是十分可貴的，有助于激發(fā)學(xué)生的興趣、尋找知識(shí)內(nèi)部的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)與應(yīng)用意識(shí)．

4 感悟

4.1 重視解題“套路”的歸納

正如孔凡哲教授所言“從某種意義上說(shuō)，解決問(wèn)題就是一種模型化的過(guò)程”．學(xué)生對(duì)一些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型要熟練掌握，解題時(shí)才能把從題目條件讀取出來(lái)的信息和腦海中已有模型自如對(duì)接，實(shí)現(xiàn)快速解題．因此，在教學(xué)中應(yīng)重視解題“套路”的歸納．正如文中的尺規(guī)基本作圖，常規(guī)的“套路”為：先生成預(yù)設(shè)，把目標(biāo)轉(zhuǎn)化，把圖轉(zhuǎn)化成找關(guān)鍵點(diǎn)，再進(jìn)一步尋找關(guān)鍵點(diǎn)的內(nèi)部表征．依靠常見(jiàn)的解題“套路”能較快明確解題方向，找到解題思路．

4.2 重視解題的“溫故知新”

解題可以是系列劇，不同的時(shí)間段學(xué)生有著不同的認(rèn)知水平，解題的方法、感悟都有所不同，所以在教學(xué)中應(yīng)重視解題的“溫故而知新”．該基本作圖在初三復(fù)習(xí)時(shí)要求學(xué)生完成，作法一定是百花齊放，可以利用全等、軸對(duì)稱(chēng)、平行四邊形、相似、圓等等知識(shí)加以完成.這有助于幫組學(xué)生由一個(gè)點(diǎn)打通各個(gè)知識(shí)板塊之間的關(guān)聯(lián)，這是一節(jié)課，又不止一節(jié)課．

4.3 重視教學(xué)資源整合的思考

章建躍博士在不同場(chǎng)合闡述了整體教學(xué)的觀點(diǎn)，他主張站在系統(tǒng)的高度，在教學(xué)中將數(shù)學(xué)知識(shí)、研究方法等對(duì)象置于整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，用聯(lián)系的結(jié)構(gòu)化的觀點(diǎn)教學(xué)，給予數(shù)學(xué)知識(shí)間的演進(jìn)和內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生形成整體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，最后達(dá)成知識(shí)與方法和能力的有機(jī)統(tǒng)一．筆者認(rèn)為基本作圖的教學(xué)是可以進(jìn)行整合的，這完全是基于學(xué)生整體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的，不管是哪個(gè)版本的教材，五個(gè)基本作圖都相對(duì)分散，給師生都有一種零碎感，并且不利于學(xué)生知識(shí)體系的形成、發(fā)散思維的培養(yǎng)．先期的作圖可以不限制工具，在學(xué)習(xí)完全等三角形、軸對(duì)稱(chēng)之后集中安排尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)．

“解題教學(xué)”意識(shí)指導(dǎo)下的尺規(guī)基本作圖的教學(xué)使學(xué)生對(duì)尺規(guī)基本作圖“知其然知其所以然”，不再是“模仿者”，而是“創(chuàng)造者”，展露了圖形的鮮活和靈動(dòng)，提高了學(xué)生空間想像能力、解題能力，更有助于提高邏輯推理能力，增添了數(shù)學(xué)的秀色，讓課堂不在是教師一言堂，而是真正成為師生的共同樂(lè)園．