廣東省廣東廣雅中學(xué)(510160)楊志明

有關(guān)橢圓的內(nèi)接平行四邊形問題屢見不鮮,例如呂中偉等在文[1]通過如下三個(gè)引理：

引理1橢圓的平行弦的中點(diǎn)的軌跡是過橢圓中心的一條線段.

引理2設(shè)AB 是橢圓的弦.弦AB 所在直線的斜率k 存在且k /0,M 為弦AB 的中心,直線OM 的斜率為k′,則

引理3設(shè)A、B 為橢圓上的兩點(diǎn),OA⊥OB,則

得到了如下4 個(gè)定理：

定理1平行四邊形內(nèi)接于橢圓的充要條件是平行四邊形的對(duì)稱中心與橢圓的對(duì)稱中心重合.

定理2橢圓不存在四邊所在直線都有斜率的內(nèi)接矩形.

定理3橢圓的內(nèi)接菱形有一個(gè)公共的內(nèi)切圓.

定理4橢圓內(nèi)接平行四邊形面積的最大值為2ab,這樣的平行四邊形有無數(shù)個(gè),其中恰好一個(gè)為菱形、一個(gè)為矩形.

我校2019 屆高三10月月考題的第20 題如下：

圖1

(1)求橢圓E 的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過E 的左焦點(diǎn)F1作直線l1與E 交于A,B 兩點(diǎn),過右焦點(diǎn)F2作直線l2與E 交于C,D 兩點(diǎn),且l1//l2,以A,B,C,D 為頂點(diǎn)的四邊形的面積S,求S 的最大值.

由此想到2018年廣東省省際名校(茂名市)高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)的第20 題：

(1)求E 的方程；

(2)過E 的左焦點(diǎn)F1作直線l1與E 交于A,B 兩點(diǎn),過右焦點(diǎn)F2作直線l2與E 交于C,D 兩點(diǎn),且l1//l2,以A,B,C,D 為頂點(diǎn)的四邊形的面積求l1與l2的方程.

可見,這兩道題的第2 問均是有關(guān)過橢圓焦點(diǎn)的內(nèi)接平行四邊形的面積與周長問題,這引起了筆者的興趣.有關(guān)橢圓的內(nèi)接平行四邊形的面積與周長問題已經(jīng)解決,詳見文[1-7].有約束條件的橢圓的內(nèi)接平行四邊形的面積與周長問題茲待解決.

問題1過橢圓的左焦點(diǎn)F1作直線l1與E 交于A,B 兩點(diǎn),過右焦點(diǎn)F2作直線l2與E 交于C,D 兩點(diǎn),且l1//l2,以A,B,C,D 為頂點(diǎn)的四邊形的面積S,求S 的最大值.

解設(shè)l2: x=my + c,代入得(b2m2+a2)y2+ 2b2cmy - b4=0,Δ =(2b2cm)2+4b4(b2m2+a2)＞0 恒成立.設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),則

設(shè)l1的方程為x=my -c,則AB 與CD 之間的距離為由對(duì)稱性可知,四邊形為平行四邊形,所以令則m2=t2-1,所以

(i)若c ≤b 時(shí),g′(t)≥0,g(t)是上的單調(diào)遞增函數(shù),

當(dāng)且僅當(dāng)t=1,m=0 時(shí)等號(hào)成立.

(ii)若c ＞b 時(shí),令g′(t)=0,t =當(dāng)1 ≤t ≤時(shí),g′(t)＜0,當(dāng)時(shí),g′(t)＞0,

綜上可知,當(dāng)c ≤b 時(shí),以A,B,C,D 為頂點(diǎn)的四邊形的面積S 的最大值為當(dāng)c ＞b 時(shí),以A,B,C,D 為頂點(diǎn)的四邊形的面積S 的最大值為2ab.

問題2過橢圓E :的左焦點(diǎn)F1作直線l1與E 交于A,B 兩點(diǎn),過右焦點(diǎn)F2作直線l2與E 交于C,D 兩點(diǎn),且l1//l2,以A,B,C,D 為頂點(diǎn)的四邊形的面積S,求四邊形ABCD 的周長的取值范圍.

解當(dāng)CD 垂直x 軸時(shí),令x=c 得,此時(shí),四邊形ABCD 的周長是當(dāng)CD 不垂直x 軸時(shí),可設(shè)l2: x=my +c,代入得(b2m2+a2)y2+2b2cmy -b4=0,恒成立.設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),則A(-x1,-y1),則

故由柯西不等式知,四邊形ABCD 的周長為