鄒 紅，盧朝輝，余志武

(中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長沙 410075)

我國高速鐵路雙線預(yù)應(yīng)力混凝土橋梁大量采用簡支箱梁結(jié)構(gòu)。梁體變形會改變橋上軌道結(jié)構(gòu)的幾何形狀甚至影響軌道平順性和行車安全，因此，預(yù)應(yīng)力混凝土梁的后期上拱變形是橋梁服役性能演化中需要關(guān)注的重要內(nèi)容之一[1]。與有砟軌道可以通過道砟調(diào)節(jié)軌道高程不同，無砟軌道只能通過扣件調(diào)節(jié)使軌道恢復(fù)其正常的幾何形狀，但扣件的可調(diào)量又比較有限，因此文獻(xiàn)[2]對高速鐵路預(yù)應(yīng)力箱梁上拱變形提出了限值。

國內(nèi)外學(xué)者對預(yù)應(yīng)力箱梁徐變上拱做了大量研究。文獻(xiàn)[3]采用徐變系數(shù)B3模型，結(jié)合混凝土材料的時變特性，對高速公路不同跨徑預(yù)應(yīng)力簡支箱梁跨中上拱度提出預(yù)測模型。文獻(xiàn)[4]基于國內(nèi)外現(xiàn)有設(shè)計規(guī)范的徐變系數(shù)模型，采用數(shù)值分析方法對大跨度預(yù)應(yīng)力混凝土橋梁不同截面以及不同時刻的上拱變形進(jìn)行計算，同時，文中混凝土梁足尺試驗研究表明：適當(dāng)延后預(yù)應(yīng)力張拉和鋪軌時間可有效控制無砟軌道預(yù)應(yīng)力混凝土梁的后期徐變變形。文獻(xiàn)[5]提出了上拱徐變控制措施。文獻(xiàn)[6]以HSC(C50)和HPC(C50)試驗梁為研究對象，分析梁體上下緣應(yīng)力差、鋼筋配筋率及環(huán)境等因素對收縮徐變及上拱變化的影響。

上述研究均為徐變系數(shù)模式中參數(shù)為確定性變量條件下所開展的預(yù)應(yīng)力混凝土梁上拱度分析，忽略了徐變系數(shù)模型中諸如環(huán)境濕度、混凝土強(qiáng)度等參數(shù)不確定性的影響。文獻(xiàn)[7]將混凝土強(qiáng)度、水灰比、環(huán)境濕度等參數(shù)視為隨機(jī)變量，基于蒙特卡洛方法，開展試驗梁上拱時變可靠度研究。文獻(xiàn)[8]將徐變計算模型中的加載齡期、構(gòu)件理論厚度、混凝土彈性模量等參數(shù)視為隨機(jī)變量，利用大型通用軟件ANSYS中的PDS模塊對某公路橋跨中上拱時變可靠度進(jìn)行研究。

但是，基于蒙特卡洛方法的可靠度計算較為耗時，國內(nèi)外針對服役中高速鐵路預(yù)應(yīng)力簡支箱梁上拱可靠性分析的研究則鮮有報道。因此，選擇一種計算相對簡便、計算結(jié)果精度又能滿足要求的高速鐵路箱梁上拱變形可靠度計算方法顯得尤為重要。

本文基于PSC箱梁分別在一期恒載、二期恒載與有效預(yù)應(yīng)力作用下的上拱變形計算式，建立考慮徐變效應(yīng)的預(yù)應(yīng)力混凝土(PSC)箱梁跨中截面上拱變形功能函數(shù)，利用該函數(shù)開展基于矩法的某客運(yùn)專線32 m PSC箱梁跨中上拱變形時變可靠度研究：利用基于二維減維積分的7點(diǎn)估計方法計算不同服役時刻t的功能函數(shù)的前三階矩；采用三階矩可靠度公式求出任意時刻t的可靠度指標(biāo)及相應(yīng)失效概率。

1 考慮徐變效應(yīng)的箱梁上拱變形時變功能函數(shù)的建立

文獻(xiàn)[6]認(rèn)為：梁體截面上下緣應(yīng)力差越大則此截面后期上拱度越大，根據(jù)高速鐵路箱梁預(yù)應(yīng)力筋布置特點(diǎn)，本文選取上下緣應(yīng)力水平差最大的跨中截面為研究對象?？紤]到梁體混凝土材料的時變特性和不同施工階段的受力特點(diǎn)，將跨中截面上拱時變可靠度極限狀態(tài)函數(shù)(功能函數(shù))表示為

G(t)=[Δ]-f(t)

(1)

式中：[Δ]為橋梁上拱變形限值；f(t)為箱梁不同服役時刻t外界荷載使梁體跨中產(chǎn)生的上拱變形總和。由于考慮徐變效應(yīng)的梁體上拱變形僅與恒載有關(guān)，因此，本文針對梁體變形的討論僅限于恒載作用的上拱變形[9]fg(包括一期恒載撓曲變形fg1、二期恒載撓曲變形fg2)和預(yù)應(yīng)力張拉產(chǎn)生的上拱變形fp。

1.1 考慮徐變效應(yīng)的梁體自重?fù)锨冃?/h3>

對于無砟軌道PSC箱梁，一期恒載指梁體自重；二期恒載包括鋼軌、扣件、軌道板、砂漿層、底座板等永久荷載。

將一期恒載和二期恒載視為集度分別為q1和q2的均布荷載，則產(chǎn)生的跨中撓曲變形為[9]

fg=fg1[1+φ(t,τ1)]+fg2[1+φ(t,τ2)]

(2)

式中：τ1為一期恒載加載時間；τ2為二期恒載加載時間；φ(t,τ1)和φ(t,τ2)分別為加載齡期τ1和τ2至計算齡期t(t≥τ2≥τ1)的徐變系數(shù)；fg1和fg1分別為一期恒載和二期恒載作用下簡支梁的撓度

(3)

式中：E為混凝土彈性模量；I為PSC箱梁截面慣性矩；l為計算跨徑。

1.2 考慮徐變效應(yīng)的預(yù)應(yīng)力張拉上拱變形

考慮到預(yù)應(yīng)力損失的影響，計算張拉力產(chǎn)生的撓度時，計算荷載取控制張拉應(yīng)力與最終有效預(yù)應(yīng)力的平均值[9]

(4)

式中：fpe和fpi分別為初張拉力Npe和終張拉力Npi作用引起的瞬時彈性上拱變形值；式中的負(fù)號表示梁體上拱，與自重作用下的撓曲變形方向相反；τ0為預(yù)應(yīng)力筋終張拉時間(t≥τ0)。

文獻(xiàn)[10]認(rèn)為：初張拉力Npe和終張拉力Npi引起的上拱變形fpe和fpi為

(5)

式中：ep為預(yù)應(yīng)力筋合力點(diǎn)到截面重心的距離。

將式(2)～式(5)代入式(1)，可得到高速鐵路PSC箱梁跨中截面上拱時變可靠度極限狀態(tài)函數(shù)

(6)

1.3 徐變系數(shù)計算模型的選取

目前，國內(nèi)外研究人員進(jìn)行混凝土結(jié)構(gòu)上拱變形分析時所采用的徐變系數(shù)計算模型并不統(tǒng)一。文獻(xiàn)[3]通過將文獻(xiàn)[11]與文獻(xiàn)[12]徐變系數(shù)模型進(jìn)行對比分析，選取B3模型對高速公路橋梁結(jié)構(gòu)后期上拱變形開展研究。文獻(xiàn)[13]以C60預(yù)應(yīng)力混凝土梁試件為研究對象，基于實驗室標(biāo)準(zhǔn)徐變試驗得到的徐變系數(shù)實測數(shù)據(jù)，對文獻(xiàn)[14-15]常用的徐變系數(shù)模型進(jìn)行對比分析研究。本文將上述文獻(xiàn)所采用的徐變系數(shù)計算模型預(yù)測值與文獻(xiàn)[13]的徐變試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，如圖1所示。

圖1 徐變系數(shù)計算模型預(yù)測值與徐變試驗數(shù)據(jù)對比分析

從圖1可以看出：對比分析所采用的4個徐變系數(shù)模型的預(yù)測值均與實測值出現(xiàn)了不同程度的偏差，其中文獻(xiàn)[12]模型的預(yù)測值遠(yuǎn)大于試驗值，而文獻(xiàn)[11]模型的預(yù)測值遠(yuǎn)小于實測值，與實測值誤差最小的是文獻(xiàn)[14]模型的預(yù)測值。文獻(xiàn)[16]采用不同徐變系數(shù)模型對在役鐵路預(yù)應(yīng)力混凝土橋梁的上拱變形進(jìn)行分析計算，并與實測值進(jìn)行對比研究，得到了類似的結(jié)論。因此，本文擬選取文獻(xiàn)[14]中的徐變系數(shù)模型，該模型計算表達(dá)式為

(7)

式中：RH為環(huán)境年平均相對濕度；RH0=100%；h為構(gòu)件理論厚度，h=2A/u，A為構(gòu)件面積，u為與大氣接觸的周邊長度；h0=100 mm；fcm為28 d齡期混凝土立方體抗壓強(qiáng)度平均值；fcm0=10 MPa；t和τ分別為混凝土計算齡期和混凝土加載齡期，t≥τ；(t-τ)為持荷時間；t1=1 d。

2 梁體上拱變形可靠度分析的三階矩方法

2.1 點(diǎn)估計方法計算功能函數(shù)前三階矩的基本思想

根據(jù)文獻(xiàn)[17]，功能函數(shù)G(X)的k階原點(diǎn)矩可以表示為

(8)

式中：fX(x)為隨機(jī)向量X的聯(lián)合概率密度函數(shù)；T-1(u)為逆正態(tài)轉(zhuǎn)換；φ(u)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

令L(u)={G[T-1(u)]}，采用二維減維積分方法，L(u)可以表示為[18]

(9)

L0=L(0,…,0,…,0)

(10)

(11)

(12)

式中：L1為n個一維函數(shù)總和；L2為[n(n-1)]/2個二維函數(shù)的總和；ui、uj分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的隨機(jī)變量。

將式(9)～式(12)代入式(8)，可得

(13)

其中

(14)

(15)

(16)

利用Gauss-Hermite積分公式，一維函數(shù)積分式(15)可近似表示為

(17)

式中：uir為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布空間中第i個變量的第r個估計點(diǎn)(高斯估計點(diǎn))；Pr為與uir對應(yīng)的權(quán)重值；m為估計點(diǎn)數(shù)。若采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布空間中的7點(diǎn)估計，其估計點(diǎn)值uir及權(quán)重Pr為

(18)

同理，二維函數(shù)積分式(14)可以近似表示為

(19)

式(9)～式(19)均為基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的計算式，由于功能函數(shù)一般表示為原始空間隨機(jī)變量的函數(shù)，基于逆正態(tài)變換，式(10)～式(12)、式(16)可分別轉(zhuǎn)化為原始空間的計算式。

L0=Gμ(μ1,…,μi,…,μn)

(20)

(21)

(22)

(23)

式中：Gi(μ1，…，xi,…,μn)為將G(X)中參數(shù)xi視為隨機(jī)變量、其余變量取對應(yīng)分布均值時的一維函數(shù)；Gi,j(μ1，…，xi,…,xj,…,μn)為將G(X)中參數(shù)xi、xj視為隨機(jī)變量而其余變量取對應(yīng)分布均值時的二維函數(shù)。將式(20)～式(23)分別代入式(17)和式(19)，可得

(24)

(25)

式中：T-1(uir)、T-1(uir1)和T-1(ujr2)分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間高斯估計點(diǎn)uir、uir1和ujr2通過逆正態(tài)變換得到的對應(yīng)原始狀態(tài)空間的值；Pr、Pr1和Pr2為相應(yīng)的權(quán)重。

利用式(23)～式(25)和式(13)，可計算得到功能函數(shù)G(X)的前三階原點(diǎn)矩，即μ1G、μ2G和μ3G。根據(jù)原點(diǎn)矩和中心矩的定義，可得到功能函數(shù)G(X)的前三階中心矩為

μG=μ1G

(26)

(27)

(28)

式中：μG、σG和α3G分別為功能函數(shù)G(X)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和偏度。

2.2 梁體上拱變形時變功能函數(shù)前三階矩的計算

對于式(6)所示考慮徐變效應(yīng)的箱梁上拱變形時變功能函數(shù)，式(24)、式(25)和式(23)可表示為

(29)

(30)

(31)

2.3 三階矩可靠度指標(biāo)及失效概率計算

得到功能函數(shù)的前三階中心矩后，根據(jù)文獻(xiàn)[19]，可通過采用三階矩可靠度指標(biāo)和相應(yīng)失效概率計算公式進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度計算分析。

(32)

(33)

式中：β3M為三階矩可靠度指標(biāo)；Pf為失效概率；Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)。

3 算例

某客運(yùn)專線橋梁采用單箱單室箱形預(yù)應(yīng)力混凝土簡支梁，設(shè)計使用壽命為100年，橋面上鋪設(shè)CRTSⅡ型板式無砟軌道板，跨中、梁端結(jié)構(gòu)尺寸及預(yù)應(yīng)力配筋情況如圖2所示[20]。該梁的計算跨度l為31.5 m，梁慣性矩I為9.1 m4，預(yù)應(yīng)力偏心距ep為1.458 m，理論厚度h為406 mm；梁體采用現(xiàn)澆C50混凝土；預(yù)應(yīng)力鋼絞線為1×7-15.2-1860[21]，預(yù)應(yīng)力筋數(shù)量見表1；錨具體系采用自錨式拉桿體系。梁體施工中預(yù)應(yīng)力鋼絞線張拉采用應(yīng)力、應(yīng)變雙重控制，預(yù)應(yīng)力束的控制應(yīng)力初張拉時為0.56fptk，終張拉時為0.725fptk，fptk為φ15.2鋼絲抗拉強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值。環(huán)境類別與作用等級：一般大氣條件下無防護(hù)措施的地面結(jié)構(gòu)，環(huán)境類別為碳化環(huán)境，作用等級為T2。終張拉時間為τ0=14 d，落梁時間為τ1=30 d，鋪軌運(yùn)營時間為τ2=270 d[9]。

表1 預(yù)應(yīng)力筋數(shù)量

圖2 箱梁橫斷面(單位：mm)

3.1 隨機(jī)變量及其7點(diǎn)逆正態(tài)轉(zhuǎn)換值

本文用到的隨機(jī)變量見表2。初張拉預(yù)應(yīng)力Npe及終張拉預(yù)應(yīng)力Npi均視為隨機(jī)變量，本文按照PSC箱梁預(yù)應(yīng)力筋初張拉與終張拉的鋼束數(shù)目，均值分別擬定為11.728×103kN、36.060×103kN，根據(jù)文獻(xiàn)[22]研究成果，變異系數(shù)均取為0.04，且服從正態(tài)分布。文獻(xiàn)[23]對橋梁的長期監(jiān)測數(shù)據(jù)表明：環(huán)境相對濕度服從均值為67.3%、變異系數(shù)為0.19的正態(tài)分布。為了得到不同標(biāo)號混凝土的彈性模量與軸心抗壓強(qiáng)度的歷時變化模型，文獻(xiàn)[24]對不同齡期和不同設(shè)計強(qiáng)度混凝土的早期軸心抗壓強(qiáng)度和彈性模量等概率分布開展大量試驗研究，數(shù)據(jù)結(jié)果統(tǒng)計表明C50混凝土早齡期軸心抗壓強(qiáng)度和彈性模量隨機(jī)過程的概率分布模型均不拒絕對數(shù)正態(tài)分布，其中彈性模量服從均值為32.13 MPa、變異系數(shù)為0.192的對數(shù)正態(tài)分布，軸心抗壓強(qiáng)度服從均值為44.93 MPa、變異系數(shù)為0.221的對數(shù)正態(tài)分布。文獻(xiàn)[25]對高速鐵路箱梁結(jié)構(gòu)的承載力進(jìn)行可靠性分析時，分別假定一期恒載與二期恒載服從均值為218.3 kN/m和128.4 kN/m、變異系數(shù)為0.021 4和0.068 1的正態(tài)分布。

表2 隨機(jī)變量分布類型

根據(jù)表2隨機(jī)變量的分布特征，基于式(18)采用逆正態(tài)變換求出相應(yīng)原始空間估計值，見表3。

表3 高斯點(diǎn)對應(yīng)的各隨機(jī)變量原始空間值

3.2 PSC箱梁跨中上拱變形時變可靠度計算

表計算結(jié)果 mm

表計算結(jié)果 (i

表6 功能函數(shù)前三階矩及可靠度指標(biāo) (t=τ0=14 d)

采用50萬次蒙特卡洛模擬所得的可靠度指標(biāo)也示于表6中。通過表6對比分析可知，本文方法大幅縮減了計算次數(shù)，同時與蒙特卡洛可靠度指標(biāo)只相差0.001，滿足精度要求。

同理，當(dāng)t∈(τ0，t]時，重復(fù)上述計算過程，可以得到PSC箱梁跨中上拱變形的時變可靠度，計算結(jié)果如圖3所示。

圖3表明：箱梁跨中截面上拱變形時變可靠度變化區(qū)間為[1.217，2.665]；當(dāng)預(yù)應(yīng)力張拉完畢后，瞬間會有一個彈性上拱，并且此時由于徐變系數(shù)的發(fā)展，在預(yù)應(yīng)力條件下，上拱變形會繼續(xù)增加，因此在一期恒載加載(落梁)前，其上拱變形可靠度呈現(xiàn)下降趨勢；落梁后，梁體自身重力產(chǎn)生的撓曲向下，與上拱方向相反，此時上拱變形可靠度會出現(xiàn)如圖3所示的向上的突變點(diǎn)；類似地，二期恒載加載(鋪軌)之后再次產(chǎn)生了向上的突變點(diǎn)；隨后由于徐變系數(shù)的發(fā)展變形趨于平穩(wěn)，上拱變形可靠度也緩慢增長，最終梁體甚至可能出現(xiàn)整體向下?lián)锨臓顟B(tài)。

圖3 PSC箱梁跨中上拱變形時變可靠度

另外，從PSC箱梁跨中上拱變形極限狀態(tài)函數(shù)式(6)可以得知：若減小預(yù)應(yīng)力筋合力點(diǎn)至截面重心軸的距離(ep)，將降低梁體跨中截面上下緣應(yīng)力水平差，從而能夠改善箱梁跨中截面徐變上拱變形可靠度水平，這與文獻(xiàn)[6]基于確定性參數(shù)條件下的上拱變形分析得到的結(jié)論類似。目前，高速鐵路箱梁采用全預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計，工程設(shè)計人員采用了較高的有效預(yù)應(yīng)力設(shè)計值，以達(dá)到梁體結(jié)構(gòu)不開裂的目的，通過式(6)可知有效預(yù)應(yīng)力越大，上拱變形可靠度越低，這也是易造成上拱變形可靠度整體水平較低的原因之一。

上拱超限會嚴(yán)重影響列車豎向加速度以及斯佩林指數(shù)[7]，而目前我國相關(guān)設(shè)計規(guī)范并未明確規(guī)定上拱變形的最低可靠度水平，為了最大程度地滿足高速列車運(yùn)行的平穩(wěn)與舒適性要求，建議工程設(shè)計人員采取降低預(yù)應(yīng)力偏心距等措施來進(jìn)一步提高箱梁上拱可靠度。

4 結(jié)論

(1)本文建立了考慮徐變效應(yīng)的PSC箱梁跨中截面上拱變形極限狀態(tài)函數(shù)，利用此極限狀態(tài)函數(shù)，發(fā)展了基于三階矩法的箱梁跨中上拱變形時變可靠度分析方法：采用基于二維減維積分的7點(diǎn)估計方法計算極限狀態(tài)函數(shù)的前三階中心矩(均值、方差、偏度)，并采用三階矩可靠度公式計算其可靠度指標(biāo)及失效概率。

(2)多種徐變系數(shù)模型計算結(jié)果與實測結(jié)果比較分析表明：《JTG 3362—2008 公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范》中的徐變系數(shù)模型與實測結(jié)果最吻合，計算結(jié)果更符合實際工程。

(3)與蒙特卡洛方法的對比分析表明：本文求解可靠度的方法能夠大幅減少計算次數(shù)，同時也能夠保證計算結(jié)果的精度，可方便應(yīng)用于高速鐵路橋梁結(jié)構(gòu)徐變上拱變形時變可靠度分析。

(4)時變可靠度分析結(jié)果表明：預(yù)應(yīng)力張拉之后上拱可靠度呈現(xiàn)出下降趨勢；一期恒載與二期恒載加載后上拱變形可靠度一直處于上升階段，由于后期徐變系數(shù)發(fā)展得更緩慢，因此二期恒載加載后可靠度上升趨勢更平緩。由于目前我國設(shè)計規(guī)范對上拱變形可靠度最低水平未做明確規(guī)定，同時為了最大程度地滿足列車運(yùn)行平穩(wěn)與舒適性要求，建議工程設(shè)計人員采取降低預(yù)應(yīng)力偏心距等措施，來整體提高PSC箱梁跨中上拱變形可靠度值。

本文未考慮高頻列車荷載反復(fù)作用對徐變上拱變形的影響，因此計算結(jié)果存在一定的局限性，有待今后進(jìn)一步深化研究和改進(jìn)。