易 強，王 平，趙才友，盛 曦，盧 俊

(1.西南交通大學高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，四川成都 610031；2.西南交通大學土木工程學院，四川成都 610031)

鐵路軌道結(jié)構(gòu)直線段通常設(shè)計為相同的基本單元沿線路縱向規(guī)則排列，對于有砟軌道，基本單元由一個扣件間距內(nèi)鋼軌、扣件系統(tǒng)、軌枕、道床以及下部基礎(chǔ)組成，因此鐵路軌道結(jié)構(gòu)可視為周期結(jié)構(gòu)。近代固體物理學研究表明周期結(jié)構(gòu)具有重要的物理特性，即彈性波帶隙特性。彈性波在周期結(jié)構(gòu)中傳播時會產(chǎn)生一系列特殊的物理特性，周期結(jié)構(gòu)具有能夠抑制彈性波傳播的頻率范圍，這些頻率范圍稱為帶隙[1]。另一方面，結(jié)構(gòu)振動噪聲產(chǎn)生的本質(zhì)原因通?？蓺w結(jié)為結(jié)構(gòu)中彈性波傳播效應以及結(jié)構(gòu)彈性波與周圍介質(zhì)的相互耦合作用[2]，因此分析研究彈性波在軌道結(jié)構(gòu)中的傳播特性對于軌道結(jié)構(gòu)振動噪聲控制具有重要的意義。固體物理領(lǐng)域提出的聲子晶體概念為周期結(jié)構(gòu)中彈性波的研究工作提供了新的研究思路，聲子晶體是一類由特殊設(shè)計的人工結(jié)構(gòu)單元周期排列構(gòu)成的新材料或新結(jié)構(gòu)[3]，屬于人工周期結(jié)構(gòu)范疇。因此可以從軌道結(jié)構(gòu)周期特征出發(fā)，基于聲子晶體基本理論和基本方法研究彈性波在軌道結(jié)構(gòu)中的傳播特性。

目前針對人工周期結(jié)構(gòu)的研究已取得較多成果，最初的研究主要關(guān)注實際工程中廣泛應用的結(jié)構(gòu)，如周期性梁桿結(jié)構(gòu)和板殼結(jié)構(gòu)。文獻[4]研究周期性梁、板結(jié)構(gòu)的振動特性，提出傳遞矩陣法、空間諧波法等計算方法，并首次給出無限周期梁板結(jié)構(gòu)的彈性波帶隙特性。文獻[5]研究周期性Timoshenko梁中壓縮波、扭轉(zhuǎn)波、彎曲波的耦合振動特性。文獻[6]提出聲子晶體概念后，聲子晶體具有的帶隙特性得到廣泛關(guān)注。國內(nèi)外學者針對帶隙產(chǎn)生機制、帶隙計算方法以及聲子晶體的應用等方面開展大量研究工作[2]。國防科技大學溫熙森教授團隊將聲子晶體帶隙原理引入典型機械結(jié)構(gòu)減振降噪設(shè)計中，開展彈性波在周期性結(jié)構(gòu)中傳播特性及控制的研究。文獻[7]采用平面波展開法研究彎曲波在局域共振梁結(jié)構(gòu)中的傳播特性，實現(xiàn)寬頻帶隙設(shè)計。文獻[8]針對薄板結(jié)構(gòu)分別通過理論和試驗測試驗證聲子晶體帶隙在控制低頻振動方面的能力。文獻[9-10]將聲子晶體理論引入充液管路系統(tǒng)設(shè)計中，利用帶隙特性實現(xiàn)充液管路的減振設(shè)計。

對于鐵路軌道結(jié)構(gòu)，也有大量學者從周期特征出發(fā)開展相應的研究工作。文獻[11]針對周期彈性點支撐軌道結(jié)構(gòu)提出廣義狀態(tài)矩陣以求解其導納函數(shù)，并進行試驗驗證。文獻[12]將軌道結(jié)構(gòu)劃分為周期尺寸為10 mm的單元，并將鋼軌截面通過有限單元描述，以得到50～5 000 Hz范圍內(nèi)的軌道振動特性。文獻[13]針對連續(xù)彈性支撐梁模型、周期離散點支撐梁模型以及考慮鋼軌截面變形的連續(xù)支撐模型分別進行計算分析，結(jié)果表明橫向振動特性與鋼軌截面變形密切相關(guān)，采用考慮截面變形的軌道模型能夠有效預測橫向振動，而垂向振動則需考慮軌道結(jié)構(gòu)周期性。文獻[14]分析周期性軌道結(jié)構(gòu)的振動響應特性，并指出在較寬且明顯的衰減域內(nèi)鋼軌噪聲輻射較小，且pinned-pinned振動可以在周期性支撐的鋼軌中自由傳播。文獻[15]采用多梁模型模擬鋼軌截面，運用格林公式和疊加原理計算有限長離散支撐鋼軌橫向振動，得到較準確的結(jié)果。文獻[16-17]利用2.5維有限元法計算移動荷載下周期性軌道結(jié)構(gòu)的動力響應以及振動傳播常數(shù)隨頻率的變化曲線。文獻[18]在計算周期性軌道結(jié)構(gòu)垂向?qū)Ъ{以及振動衰減率特性時，在pinned-pinned共振頻率附近發(fā)現(xiàn)了振動傳播的阻帶(帶隙)，但并未對這一特征進行深入分析。

有砟鐵路軌道是典型的無限周期結(jié)構(gòu)，目前，周期性軌道結(jié)構(gòu)動力響應方面的研究已取得了大量成果，但有關(guān)彈性波在軌道結(jié)構(gòu)中傳播特性的研究尚待深入。本文結(jié)合聲子晶體基本理論研究彈性波在普通有砟軌道結(jié)構(gòu)中的傳播特性，并利用功率流方法分析周期性軌道結(jié)構(gòu)中的能量傳播問題。

1 有砟軌道結(jié)構(gòu)彈性波帶隙特性

以有砟軌道結(jié)構(gòu)為例，軌道結(jié)構(gòu)的彈性主要由扣件系統(tǒng)以及道床提供，如圖1(a)所示。此時將軌道結(jié)構(gòu)簡化為由鋼軌、扣件、軌枕、道床組成的無限周期結(jié)構(gòu)，并建立雙層彈性點支承軌道結(jié)構(gòu)動力學模型，如圖1(b)所示。

圖1 有砟軌道主要組成及其計算模型

當彈性介質(zhì)受到外力作用時，并非彈性介質(zhì)中所有部分都立刻產(chǎn)生位移、應力和應變，而是外力作用開始之后，在作用處產(chǎn)生變形，使該點處質(zhì)點產(chǎn)生振動并通過質(zhì)點之間的相互作用在介質(zhì)內(nèi)由近及遠向外傳播，這種振動狀態(tài)在彈性介質(zhì)中的傳播過程，稱為彈性波。對于均勻、連續(xù)、線性介質(zhì)中彈性波的傳播，其波動方程可表示為[19]

(1)

式中：u為位移分量；ρ為介質(zhì)密度；C11和C44為彈性模量元；p=x，y，z。

研究彈性波在周期結(jié)構(gòu)中傳播時，基于Bloch定理，對于任意一個給定的Bloch波數(shù)k，可以求出一系列對應的本征值和相應的本征矢，每一個本征值和本征矢都對應一個頻率和相應的運動狀態(tài)。波數(shù)k取遍整個不可約Brillouin區(qū)，得到本征頻率隨波數(shù)k的變化曲線，稱為頻散曲線，也叫作能帶結(jié)構(gòu)圖，其包含了彈性波傳播的相位關(guān)系及幅值衰減關(guān)系。

根據(jù)Bloch定理，周期結(jié)構(gòu)中的彈性波在每個周期的響應與相鄰周期相關(guān)[2]。

um+1(x,t)=e-iklum(x,t)

(2)

軌道結(jié)構(gòu)中鋼軌采用Timoshenko梁進行描述，因此鋼軌自由波動方程可表示為[19]

(3)

式中：G為鋼軌剪切模量；A為鋼軌橫截面積；κ為剪切因子；E為鋼軌彈性模量；I為鋼軌截面慣性矩；ρ為鋼軌密度；v為鋼軌垂向位移；φ為鋼軌彎曲轉(zhuǎn)角；u為鋼軌縱向位移。其自由波解為[19]

(4)

式中：V為垂向位移振幅；Vψ為轉(zhuǎn)角振幅；U為縱向位移振幅；kn為自由梁中波數(shù)。轉(zhuǎn)角位移比值關(guān)系為

(5)

此時，彎曲波中存在2對互為相反數(shù)的波數(shù)，縱波中存在1對互為相反數(shù)的波數(shù)，因此位移響應可寫為

(6)

鋼軌狀態(tài)向量可表示為

ψ=[qf]=[vφuQMN]

(7)

式中：q為位移向量，包括垂向位移v、彎曲轉(zhuǎn)角φ、縱向位移u；f為力向量，包括剪力Q、彎矩M、軸力N。

即可得到相鄰周期單元之間的傳遞矩陣為

T=Tl·Ts

(8)

式中：Tl為彈性波傳播距離為l時的狀態(tài)向量傳遞矩陣；Ts為扣件兩端鋼軌狀態(tài)向量傳遞矩陣

其中：kv、kl表示鋼軌下部支撐動態(tài)剛度。

En為狀態(tài)向量因子

結(jié)合Bloch定理可得周期性軌道結(jié)構(gòu)彈性波傳播特征方程為

|T-e-iklI|=0

(9)

式中：k為沿周期性軌道結(jié)構(gòu)傳播的特征波(包括彎曲波和縱波)的波數(shù)，也稱Bloch波數(shù)，實部表示彈性波相位改變，虛部表示彈性波阻尼，即波的傳播衰減系數(shù)。求解式(9)可得波數(shù)k與頻率f之間的關(guān)系，即頻散特性。由于周期單元之間通過垂向位移、彎曲轉(zhuǎn)角、縱向位移3個自由度耦合，因此通過求解上述特征方程，可得周期性軌道中三種特征波的頻散特性曲線。

1.1 軌道結(jié)構(gòu)頻散特性

軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)取值見表1。

表1 有砟軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖2 周期軌道結(jié)構(gòu)中彎曲波頻散曲線

圖3 周期軌道結(jié)構(gòu)中縱波頻散曲線

周期性軌道結(jié)構(gòu)中彎曲波頻散曲線如圖2所示，縱波頻散曲線如圖3所示，灰色區(qū)域為帶隙范圍。

由圖2和圖3可知，在不考慮阻尼情況下，彎曲波和縱波在周期性軌道結(jié)構(gòu)中的傳播存在明顯的通帶、禁帶特征。鋼軌中彎曲波由兩類特征波組成[20]：第一類彎曲波在全頻段內(nèi)波數(shù)虛部均不為0，即全頻段均為帶隙范圍，因此第一類彎曲波為近場波；第二類彎曲波則在0～1 500 Hz范圍內(nèi)存在3個帶隙，分別為0～129 Hz、182～262 Hz、1 080～1 125 Hz，因此鋼軌中彎曲波帶隙特性由第二類彎曲波決定。縱波在0～300 Hz范圍內(nèi)存在兩個帶隙，分別為0～24 Hz、44～80 Hz。在這些頻率范圍內(nèi)，軌道結(jié)構(gòu)中彈性波波數(shù)虛部均不為0，因此在傳播過程中快速衰減。

1.2 軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)對帶隙特性的影響

彈性波帶隙特性是周期性軌道結(jié)構(gòu)的固有屬性，軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)直接影響其帶隙特征。扣件、道床垂向剛度以及扣件間距對軌道結(jié)構(gòu)彎曲波帶隙的影響如圖4所示，不同顏色代表帶隙對彈性波傳播的衰減能力。由圖4可知，隨著扣件剛度增加，帶隙寬度逐漸增大；隨著道床剛度的增加，第一階帶隙寬度逐漸增大，第二階帶隙寬度逐漸減小，而第三階帶隙位置與寬度均保持不變；隨著扣件間距增加，第一階和第二階帶隙寬度略有減小，第三階帶隙逐漸向低頻移動但帶隙寬度保持不變。因此可以通過改變扣件剛度、道床剛度以及扣件間距等措施，控制軌道結(jié)構(gòu)中振動的傳播。

圖4 軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)對彎曲波帶隙的影響

周期性軌道結(jié)構(gòu)頻散關(guān)系表明彈性波在軌道結(jié)構(gòu)中的傳播具有帶隙特性，帶隙范圍內(nèi)彈性波的傳播受到抑制，彈性波在通帶范圍內(nèi)可自由傳播。彈性波在軌道結(jié)構(gòu)的傳播過程中必然會向外界傳播振動或輻射噪聲，對于鋼軌振動，可以設(shè)計軌道結(jié)構(gòu)帶隙，將其限制在局部位置，抑制振動的傳播，進一步通過阻尼耗能等措施實現(xiàn)振動的控制；由于鋼軌振動輻射的噪聲與振動衰減特性密切相關(guān)[18]，利用帶隙特性可實現(xiàn)振動的衰減，從而降低鋼軌噪聲。另一方面，由于彈性波在軌道結(jié)構(gòu)中的傳播過程實質(zhì)上是振動能量的傳遞過程，因此有必要從能量的角度出發(fā)，進一步深入分析周期軌道結(jié)構(gòu)中彈性波的傳播。

2 周期性軌道結(jié)構(gòu)動力響應

單一的力或位移傳遞率不能有效地評價結(jié)構(gòu)中的能量傳遞，功率流方法綜合了力和速度響應的大小及相位關(guān)系，給出了振動傳輸?shù)囊粋€絕對度量[21]。通過對功率流分析可以更加深入地研究彈性波能量在軌道結(jié)構(gòu)中的傳播，揭示振動傳輸機制。

功率流分析前需要得到軌道結(jié)構(gòu)的動力響應結(jié)果，因此首先計算周期性軌道結(jié)構(gòu)動力響應。由于軌道結(jié)構(gòu)具有明顯的周期性，彈性波在周期性軌道結(jié)構(gòu)中的傳播具有帶隙特征，且不同成分的彈性波具有不同的傳播性質(zhì)。因此根據(jù)周期結(jié)構(gòu)中彈性波的傳播特性，利用彈性波疊加原理，即可求得周期性軌道結(jié)構(gòu)在荷載作用下的動力響應。無限長自由梁在集中力荷載作用下的系統(tǒng)動力響應可表示為[22]

(10)

式中：F為外力荷載；xr為響應位置；x0為荷載激勵位置。

圖5 無限長周期支撐梁

在鋼軌上方作用外力F0時，如圖5所示，將周期支撐視為支反力作用于無限長鋼軌上，根據(jù)Bloch定理，支反力滿足周期條件[5]

(11)

式中：Fsr為激勵右側(cè)第s跨處支反力；Fsl為激勵左側(cè)第s跨處支反力；s為正整數(shù)；u為周期結(jié)構(gòu)中的傳播常數(shù)。傳播常數(shù)與Bloch波數(shù)之間的關(guān)系為[5]

u=-ikl

(12)

將式(11)代入式(10)，通過計算在所有支反力和外力作用下無限長梁的位移響應，利用彈性波疊加原理即可得到軌道結(jié)構(gòu)某一位置處的位移。因此，在受載跨內(nèi)xr處位移響應可表示為[23]

(13)

式中：0≤|xr|≤l且將坐標原點設(shè)置為0l扣件所在位置。

式(13)中的兩個無限級數(shù)由軌道結(jié)構(gòu)中自由跨支反力組成，由于滿足周期條件，可簡化為

(14)

對于周期性軌道結(jié)構(gòu)，將鋼軌簡化為Timoshenko梁，鋼軌彎曲波沿正負方向存在兩種不同的傳播常數(shù)±u1、±u2，因此每個支反力需要分為兩個部分，分別對應不同成分的彈性波。在扣件處支反力和鋼軌位移滿足以下平衡條件

-Fs/kv=v(xs)

(15)

式中：Fs為第s個支撐點作用力；kv為軌下等效動剛度；v為該支撐點處鋼軌位移。兩類彎曲波成分引起的扣件支反力可表示為

(16)

第s個支撐點處總反力為

(17)

將式(17)代入式(14)可得受載跨內(nèi)任意位置的鋼軌位移響應

(18)

此時響應函數(shù)中存在6個未知變量：F0l、F0r、F11l、F12l、F11r、F12r，需要6個平衡條件才能求解。選擇支撐位置為2r、1r、0r、0l、1l、2l處力和位移平衡條件，即可求得6個未知數(shù)，從而得到軌道結(jié)構(gòu)動力響應。以0r處平衡條件為例：將xr=l帶入式(18)并結(jié)合力和位移平衡條件(式(15))，可得到0r處平衡方程

(19)

同理可寫出其他位置處平衡方程，求解得到F0l、F0r、F11l、F12l、F11r、F12r并代入式(18)即可求得無限長周期軌道結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的動力響應。

以表1中有砟軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)為例，得到無限長周期軌道結(jié)構(gòu)在簡諧荷載(幅值為1 N)作用下鋼軌原點的導納函數(shù)，如圖6所示。由于振動的本質(zhì)為彈性波在結(jié)構(gòu)中的傳播，因此周期性軌道結(jié)構(gòu)固有頻率與其彈性波帶隙頻率一一對應。同時建立有限長軌道結(jié)構(gòu)模型(由160個元胞組成)，采用有限元方法計算得到扣件跨中位置處原點的導納函數(shù)，如圖7所示?？梢钥闯?，兩種方法基本能夠得到一致的結(jié)果。但對于有限長軌道結(jié)構(gòu)，當頻率處于通帶范圍內(nèi)時，由于此時彈性波傳播距離較遠，邊界處的反射將使計算結(jié)果不準確；帶隙范圍內(nèi)彈性波在較短距離內(nèi)衰減，采用有限長軌道結(jié)構(gòu)即可準確描述。

圖6 無限長周期性軌道結(jié)構(gòu)鋼軌導納函數(shù)

圖7 有限、無限長軌道結(jié)構(gòu)鋼軌導納函數(shù)對比

3 周期性軌道結(jié)構(gòu)功率流分析

若某點所受簡諧力為Feiωt，該點對應的速度響應為Veiωt，功率流計算公式為[21]

(20)

式中：下標i為節(jié)點編號。

將鋼軌考慮為Timoshenko梁時，鋼軌中彎曲波功率流可分為剪力和彎矩分別攜帶的功率流兩部分。當在鋼軌跨中位置以及1/4跨位置施加單位簡諧垂向激勵時，鋼軌剪力和彎矩響應如圖8、圖9所示。在跨中激勵時，鋼軌剪力保持不變，始終為輸入力幅值的一半，而彎矩則在軌道結(jié)構(gòu)固有頻率處出現(xiàn)極值。在1/4跨位置激勵時，鋼軌剪力和彎矩均在固有頻率處出現(xiàn)極值。

圖8 跨中位置施加激勵時產(chǎn)生的剪力和彎矩

圖9 1/4跨位置施加激勵時產(chǎn)生的剪力和彎矩

在鋼軌跨中位置施加單位簡諧激勵時，輸入軌道結(jié)構(gòu)功率流以及鋼軌傳播功率流如圖10所示。由計算結(jié)果可知，輸入軌道結(jié)構(gòu)中的功率流也存在帶隙特性，在禁帶范圍內(nèi)不能向軌道中輸入功率流，且在通帶范圍內(nèi)，輸入系統(tǒng)的功率流一半沿正向傳播，一半沿負方向傳播。當考慮軌道結(jié)構(gòu)阻尼后，通帶內(nèi)輸入的功率流變化不明顯，而帶隙范圍內(nèi)可向軌道結(jié)構(gòu)輸入功率流。

圖10 輸入軌道結(jié)構(gòu)功率流(灰色區(qū)域為帶隙范圍)

在不同位置處激勵時，軌道結(jié)構(gòu)輸入功率流隨頻率的變化曲線如圖11所示。由圖11可以看出，在第一帶隙、第一通帶和第二帶隙范圍內(nèi)，不同位置的激勵輸入軌道結(jié)構(gòu)的功率流大小基本相同；當頻率處于第二階通帶頻率范圍內(nèi)時(258～1 013 Hz)，靠近跨中位置輸入功率流較大；但在第三階通帶頻率范圍內(nèi)則靠近扣件位置輸入功率流較大。這是由不同頻率下軌道結(jié)構(gòu)的振動模態(tài)決定的，當作用在跨中位置時，可激勵產(chǎn)生pinned-pinned共振，此時輸入鋼軌和傳播的功率流達到最大。

圖11 不同位置激勵時輸入軌道結(jié)構(gòu)功率流(考慮阻尼情況)

當在扣件上方激勵時，輸入功率流、傳播功率流以及激勵位置處軌枕功率流如圖12所示。由圖12可知軌枕振動能量主要集中在300 Hz以內(nèi)。而在第二階帶隙范圍內(nèi)，軌枕功率流接近鋼軌功率流，此時軌枕發(fā)生共振，軌枕作為局域振子能夠吸收大量振動能量。彎曲波功率流在周期性軌道結(jié)構(gòu)中的傳播系數(shù)隨頻率的變化如圖13所示，其中傳輸系數(shù)的參考值為激勵位置處的鋼軌功率流。從圖13可以看出，彎曲波功率流在軌道結(jié)構(gòu)中的傳播呈明顯的帶隙特征，在帶隙頻率范圍內(nèi)彎曲波能量的傳播得到明顯的抑制。

圖12 鋼軌、軌枕功率流(扣件上方激勵)

圖13 彎曲波功率流沿鋼軌縱向傳播情況

在不同的軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)下，在鋼軌跨中激勵時輸入軌道結(jié)構(gòu)功率流如圖14所示。與軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)對帶隙的調(diào)控規(guī)律類似，當增加扣件剛度時，第一帶隙范圍內(nèi)功率流降低，且峰值向高頻移動，在第二帶隙范圍內(nèi)整體向高頻移動，增加扣件剛度導致第三帶隙拓寬；增加道床剛度則對第一帶隙范圍改變明顯，對第三帶隙沒有影響；改變扣件間距對第一和第二帶隙峰值略有影響，但主要影響第三帶隙的位置。因此，通過設(shè)計合理的軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)可對彈性波傳播進行調(diào)控，達到振動噪聲控制的目的。

圖14 軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)對功率流影響

4 結(jié)論

本文從軌道結(jié)構(gòu)周期特性出發(fā)，以有砟軌道結(jié)構(gòu)為例，結(jié)合聲子晶體基本理論，開展彈性波在周期性軌道結(jié)構(gòu)中傳播特性的研究。基于Bloch定理并結(jié)合傳遞矩陣法，得到周期性軌道結(jié)構(gòu)頻散曲線及其帶隙特征；基于彈性波疊加原理并結(jié)合周期特征求解無限長周期軌道結(jié)構(gòu)在簡諧荷載作用下的動力響應，利用功率流方法分析振動能量在軌道結(jié)構(gòu)中的傳播特性。得到以下結(jié)論：

(1)周期性軌道結(jié)構(gòu)具有明顯的帶隙特性，在0～1 500 Hz范圍內(nèi)，鋼軌彎曲波存在3個帶隙，縱波存在2個帶隙，帶隙范圍以內(nèi)彈性波的傳播受到抑制。

(2) 對于有限長軌道結(jié)構(gòu)，當頻率處于通帶范圍內(nèi)時，由于彈性波傳播較遠，在邊界處反射將造成計算結(jié)果不準確；帶隙范圍內(nèi)彈性波在較短距離內(nèi)衰減，采用有限長軌道結(jié)構(gòu)即可準確描述。

(3) 周期性軌道結(jié)構(gòu)中功率流傳播同樣存在通帶、禁帶特性。在禁帶頻率范圍內(nèi)，振源不能向軌道結(jié)構(gòu)輸入功率流；在通帶范圍內(nèi)能夠輸入功率流且輸入的功率流中一半正向傳播，一半負向傳播。

(4) 軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)對彈性波傳播特性產(chǎn)生明顯的影響，因此可以通過設(shè)計合理的軌道結(jié)構(gòu)來調(diào)控彈性波在軌道結(jié)構(gòu)中的傳播，為軌道結(jié)構(gòu)減振降噪設(shè)計提供參考。