杜 浩，楊 戈，劉海倫

（上海同科交通科技有限公司，上海 200092）

機(jī)場(chǎng)道面使用性能預(yù)測(cè)是道面養(yǎng)護(hù)決策優(yōu)化及中長(zhǎng)期養(yǎng)護(hù)計(jì)劃制定的基本依據(jù)，是道面管理系統(tǒng)的核心。合理的預(yù)測(cè)對(duì)提高道面維修養(yǎng)護(hù)水平和節(jié)省維修經(jīng)費(fèi)具有重要意義。由于中國(guó)機(jī)場(chǎng)道面現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)數(shù)據(jù)較少，道面性能影響因素復(fù)雜、變異性大，傳統(tǒng)道面性能預(yù)測(cè)方法難以適用。

目前道面使用性能預(yù)測(cè)的主要方法包括：以力學(xué)分析或回歸分析為基礎(chǔ)的確定型模型和以馬爾可夫?yàn)榇淼母怕市湍Ｐ蚚1]，近年來(lái)又出現(xiàn)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[2]和灰色預(yù)測(cè)[3]等新方法。在確定型模型和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中，前者無(wú)法反映路面使用性能復(fù)雜多變的特性，后者雖可以考慮多因素對(duì)道面使用性能的影響，但需要大量的訓(xùn)練樣本。灰色預(yù)測(cè)的優(yōu)點(diǎn)是無(wú)需考慮復(fù)雜因素的影響，直接從自身數(shù)據(jù)序列中尋找建模信息，能夠適用于樣本數(shù)量小、影響因素復(fù)雜的預(yù)測(cè)問(wèn)題，且短期預(yù)測(cè)精度較高，但不宜作長(zhǎng)期預(yù)測(cè)[4]。

馬爾可夫模型主要是針對(duì)道面使用性能變化受載荷、環(huán)境、材料等變異性影響具有不確定性而建立的，它通過(guò)概率分布的形式反映各隨機(jī)因素對(duì)道面性能的影響程度，利用狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率矩陣預(yù)測(cè)事件發(fā)生的狀態(tài)及其發(fā)展變化的趨勢(shì)，因而更符合實(shí)際情況，具有較大的應(yīng)用前景。其特點(diǎn)是建模簡(jiǎn)單適用于長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，具有無(wú)后效性、可變起點(diǎn)。但在歷史數(shù)據(jù)不足時(shí)，多采用回歸分析方法確定轉(zhuǎn)移概率矩陣[5]，這種方法雖能彌補(bǔ)樣本數(shù)據(jù)不足的缺點(diǎn)，卻對(duì)模型建立帶來(lái)較大誤差。

根據(jù)中國(guó)道面使用性能數(shù)據(jù)量貧乏、道面性能變化復(fù)雜的特點(diǎn)，針對(duì)馬爾可夫方法在道面使用性能預(yù)測(cè)中存在的問(wèn)題，提出基于灰色預(yù)測(cè)的馬爾可夫道面使用性能預(yù)測(cè)方法。該方法利用灰色預(yù)測(cè)模型所需信息少，具有克服樣本數(shù)據(jù)少且短期預(yù)測(cè)精度高的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)道面使用性能進(jìn)行短期預(yù)測(cè)，補(bǔ)充實(shí)測(cè)樣本信息。在此基礎(chǔ)上，采用最小二乘法替代回歸法建立馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率矩陣，并應(yīng)用馬爾可夫模型進(jìn)行道面使用性能的中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。

1 灰色預(yù)測(cè)模型

GM（1，1）模型[6]是指一階、一個(gè)變量的微分方程預(yù)測(cè)模型，是用于時(shí)間單序列的線性動(dòng)態(tài)模型。其建模過(guò)程如下：設(shè)已知原始數(shù)列為X(0)=（x(0)（1），x(0)（2），…，x(0)（n）），對(duì)X(0)進(jìn)行一次累加生成（1-AGO），得到新數(shù)列X(1)=（x(1)（1），x(1)（2），…，x(1)（n）），對(duì)一階生成數(shù)據(jù)序列建立預(yù)測(cè)模型為

其中：a、u 為待識(shí)別的灰色參數(shù)。對(duì)其進(jìn)行最小二乘估計(jì)，得到時(shí)間響應(yīng)式為

進(jìn)行累減還原后得到原始序列的預(yù)測(cè)值為

然后進(jìn)行精度檢驗(yàn)，采用絕對(duì)關(guān)聯(lián)度和相對(duì)誤差雙項(xiàng)指標(biāo)檢驗(yàn)灰色模型的精度。接受標(biāo)準(zhǔn)為相對(duì)誤差不超過(guò)2%，且絕對(duì)關(guān)聯(lián)度大于0.8。

2 馬爾可夫預(yù)測(cè)模型

馬爾可夫預(yù)測(cè)就是根據(jù)某些變量的現(xiàn)在狀態(tài)及其變化趨向，預(yù)測(cè)其在未來(lái)某一特定期間內(nèi)可能出現(xiàn)的狀態(tài)。假設(shè)系統(tǒng)所處的狀態(tài)有n 種，任意時(shí)刻系統(tǒng)處于各種狀態(tài)的概率分布記為

定義系統(tǒng)從狀態(tài)i 經(jīng)過(guò)一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j 的概率為一步轉(zhuǎn)移概率，則具有n 種狀態(tài)的系統(tǒng)轉(zhuǎn)移概率就構(gòu)成了系統(tǒng)轉(zhuǎn)移概率矩陣P，即

因此，事物t 時(shí)刻的狀態(tài)概率向量X（t）可由初始狀態(tài)的概率向量X（0）表示，則馬爾可夫預(yù)測(cè)模型為

馬爾卡夫預(yù)測(cè)方法的建模步驟主要有3 個(gè)：①選擇預(yù)測(cè)指標(biāo)，劃分指標(biāo)狀態(tài)空間；②獲得馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率矩陣；③應(yīng)用式（7）進(jìn)行狀態(tài)預(yù)測(cè)?？梢?jiàn)馬爾可夫預(yù)測(cè)的關(guān)鍵是如何獲取一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P。

2.1 狀態(tài)劃分

采用國(guó)際廣泛應(yīng)用的道面狀況指數(shù)（PCI，pavement condition index）作為道面使用性能的預(yù)測(cè)指標(biāo)。為了較好地反映機(jī)場(chǎng)道面使用性能的衰減過(guò)程，將PCI 離散為由優(yōu)、良、中、次、差5 個(gè)狀態(tài)組成的狀態(tài)空間，然后確定每個(gè)狀態(tài)對(duì)應(yīng)的區(qū)間及區(qū)間中值。并作如下假設(shè)：在日常維修養(yǎng)護(hù)條件下，道面使用性能由低水平狀態(tài)向高水平狀態(tài)轉(zhuǎn)移的情況不會(huì)發(fā)生。即當(dāng)i ＞j 時(shí)，pij=0；在一年時(shí)間內(nèi)其使用性能等級(jí)不會(huì)下降太快，可近似認(rèn)為道面使用性能衰減只發(fā)生在兩個(gè)等級(jí)之間。即當(dāng)j-1≥2 時(shí)，轉(zhuǎn)移矩陣可表示為

2.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的確定

確定馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣常用的方法有統(tǒng)計(jì)法和回歸分析法，統(tǒng)計(jì)法需要大量的樣本數(shù)據(jù)，所以缺乏可行性。而回歸分析法即應(yīng)用道面使用性能的經(jīng)驗(yàn)回歸方程獲取馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率矩陣[5]，具體如下：

1）將狀態(tài)空間中值向量c 代入回歸方程，反算使用年數(shù)ti，并將ti+1代入回歸方程求得一年后性能參數(shù)的期望值；

2）近似假定PCI 在使用年數(shù)上呈正態(tài)分布，以各性能參數(shù)的期望值為均值，以回歸方程的誤差標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)離差，在所有狀態(tài)上離散該分布，然后計(jì)算落在各狀態(tài)上的概率。

回歸法的缺點(diǎn)是：①要獲取道面使用性能的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，在沒(méi)有歷史數(shù)據(jù)的情況下只能移植或借鑒其他道面的回歸方程，與實(shí)際情況不符；②由回歸方程確定的正態(tài)分布參數(shù)并不一定具有無(wú)偏性，從而導(dǎo)致建模誤差較大。因此，在少量樣本數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上采用最小二乘法求解道面狀況轉(zhuǎn)移矩陣，最小二乘法求解方法為

其中：at=a0Pt，a0為預(yù)測(cè)基年道面使用性能的狀態(tài)分布概率向量；at為t 時(shí)刻的狀態(tài)分布概率向量；y（t）為t時(shí)刻的樣本值；（t）為t 時(shí)刻道面性能預(yù)測(cè)的期望值；c 為各狀態(tài)區(qū)間的中值向量。

為比較不同建模方法對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響，分別使用以上兩種方法得到的轉(zhuǎn)移概率矩陣進(jìn)行預(yù)測(cè)。為方便起見(jiàn)，將建立在回歸法基礎(chǔ)上的預(yù)測(cè)方法記為灰-馬（Ⅰ），將建立在最小二乘法基礎(chǔ)上的預(yù)測(cè)方法記為灰-馬（Ⅱ）。

2.3 預(yù)測(cè)值及精度檢驗(yàn)

確定系統(tǒng)的馬爾可夫轉(zhuǎn)移矩陣后，由馬爾可夫預(yù)測(cè)模型可確定系統(tǒng)未來(lái)某年的狀態(tài)分布向量，結(jié)合狀態(tài)分布區(qū)間的中值，計(jì)算PCI 預(yù)測(cè)指標(biāo)的期望值，以該期望值作為道面使用性能指標(biāo)的馬爾可夫預(yù)測(cè)值。決策者依據(jù)預(yù)測(cè)值判斷道面所處的狀態(tài)區(qū)間來(lái)制定相應(yīng)的維修措施，因此更關(guān)心誤差對(duì)判斷結(jié)果的影響。故采用絕對(duì)誤差描述模型精度，中遠(yuǎn)期預(yù)測(cè)誤差應(yīng)分別小于3 和5。

3 實(shí)例分析

由于中國(guó)尚未積累PCI 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，為介紹灰色-馬爾可夫模型在道面使用性能中的應(yīng)用方法，并驗(yàn)證模型的預(yù)測(cè)精度，采用文獻(xiàn)[7]中的一組PCI 數(shù)據(jù)作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)序列基年道面性能分布概率為a0=[0.92 0.08 0 0 0]。

3.1 灰色模型近期預(yù)測(cè)

假定只能獲取連續(xù)4年的PCI 數(shù)據(jù)，用X(0)=[94.2 92.3 90.2 87.9]作為原始建模序列。計(jì)算得到原始數(shù)據(jù)序列的預(yù)測(cè)模型為

對(duì)未來(lái)4年的PCI 進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)值為[85.8 83.8 81.7 79.8]。結(jié)果經(jīng)關(guān)聯(lián)度和相對(duì)誤差檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，前兩年的預(yù)測(cè)精度達(dá)到要求，而后兩年預(yù)測(cè)結(jié)果的相對(duì)誤差分別為2.1%和3.5%，不滿足精度要求。

3.2 馬爾可夫中遠(yuǎn)期預(yù)測(cè)

1）狀態(tài)區(qū)間確定

由PCI 的5 個(gè)狀態(tài)等級(jí)劃分方法確定其狀態(tài)區(qū)間及其中值向量如下

道面狀況調(diào)查每年進(jìn)行一次，以年為單位作為狀態(tài)轉(zhuǎn)移的基本周期。

2）轉(zhuǎn)移概率矩陣確定

方法一采用回歸法建立轉(zhuǎn)移概率矩陣，首先以灰色預(yù)測(cè)方法得到的道面使用性能時(shí)間響應(yīng)方程作為道面的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，按照回歸法確定轉(zhuǎn)移概率矩陣的步驟，計(jì)算得到轉(zhuǎn)移概率矩陣P1如下

方法二加入灰色預(yù)測(cè)值，補(bǔ)充樣本信息，以序列X(0)=[94.2 92.3 90.2 87.9 85.8 83.8]作為初始樣本。采用最小二乘方法，通過(guò)Matlab 優(yōu)化工具箱來(lái)處理轉(zhuǎn)移概率矩陣的求解問(wèn)題，得到馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率矩陣P2如下

獲得轉(zhuǎn)移概率矩陣后，應(yīng)用馬爾可夫模型實(shí)現(xiàn)道面使用性能中遠(yuǎn)期預(yù)測(cè)，結(jié)果如表1所示。

由以上結(jié)果得到對(duì)應(yīng)的道面性能衰減曲線和誤差變化曲線，如圖1和圖2所示。從圖1和圖2可以看出，灰-馬（II）模型的預(yù)測(cè)誤差明顯小于其他兩種預(yù)測(cè)方法，且中遠(yuǎn)期預(yù)測(cè)精度滿足要求，說(shuō)明該方法能較好地應(yīng)用于道面性能預(yù)測(cè)?；疑Ｐ碗m然短期預(yù)測(cè)精度較高，但隨著預(yù)測(cè)時(shí)刻變遠(yuǎn)，預(yù)測(cè)誤差越來(lái)越大，無(wú)法滿足中遠(yuǎn)期預(yù)測(cè)的要求。灰色-馬（I）預(yù)測(cè)模型精度明顯低于前兩種方法，無(wú)法滿足預(yù)測(cè)要求。其主要原因?yàn)椋孩儆苫疑A(yù)測(cè)結(jié)果可見(jiàn)，該模型并不能較好地?cái)M和原始數(shù)據(jù)，因此用灰色時(shí)間響應(yīng)方程代替道面性能的經(jīng)驗(yàn)回歸方程存在較大誤差；②轉(zhuǎn)移概率矩陣的建立方法不合理，由此建立的轉(zhuǎn)移矩陣誤差較大。從而導(dǎo)致灰-馬（I）比其他方法預(yù)測(cè)誤差大。可見(jiàn)不同的建模方法和預(yù)測(cè)方法對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響非常明顯。

表1 道面使用性能（PCI）實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值對(duì)比Tab.1 Comparison between measured and predicted PCI

圖1 道面使用性能衰變預(yù)測(cè)圖Fig.1 Predicted PCI decline

圖2 各類模型預(yù)測(cè)誤差圖Fig.2 Predicted error of several models

4 模型精度敏感性分析

對(duì)于實(shí)測(cè)歷史數(shù)量較少的小樣本預(yù)測(cè)問(wèn)題，初始樣本信息的微小變化，可能會(huì)對(duì)后期的預(yù)測(cè)結(jié)果造成顯著影響。因此在應(yīng)用灰-馬（Ⅱ）模型進(jìn)行PCI 預(yù)測(cè)時(shí)，應(yīng)充分認(rèn)識(shí)樣本數(shù)量和質(zhì)量對(duì)模型預(yù)測(cè)精度的影響。

4.1 分析方法

為反映樣本數(shù)量和樣本質(zhì)量對(duì)預(yù)測(cè)精度的影響，將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)序列稱為原樣本，將原樣本中前4 個(gè)數(shù)據(jù)與灰色預(yù)測(cè)得到的4 個(gè)數(shù)據(jù)組成的序列稱為新樣本。分別選取不同的初始樣本，建立馬爾可夫預(yù)測(cè)模型，比較模型的預(yù)測(cè)精度。具體方法如下：

1）分別選取原樣本中前4 個(gè)、6 個(gè)及8 個(gè)數(shù)據(jù)按最小二乘法建立轉(zhuǎn)移概率矩陣進(jìn)行馬爾可夫中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，比較3 種情況下模型的預(yù)測(cè)精度，分析在相同樣本質(zhì)量情況下，不同樣本數(shù)量對(duì)預(yù)測(cè)精度的影響；

2）選取新樣本中6 個(gè)和8 個(gè)數(shù)據(jù)作為建模初始數(shù)據(jù)，建立馬爾可夫模型進(jìn)行中遠(yuǎn)期預(yù)測(cè)，比較基于兩類樣本中6 個(gè)及8 個(gè)初始數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)模型的精度，分析引入灰色預(yù)測(cè)誤差前后，在樣本數(shù)量相同的前提下，不同樣本質(zhì)量對(duì)預(yù)測(cè)精度的影響；

3）根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，比較新樣本中6 個(gè)和8 個(gè)初始數(shù)據(jù)兩種情況下模型的預(yù)測(cè)精度，分析在不同樣本數(shù)據(jù)和樣本質(zhì)量情況下，樣本數(shù)量與樣本質(zhì)量對(duì)灰色-馬爾可夫模型預(yù)測(cè)精度的影響大小。

為直觀反映各因素的影響程度，采用絕對(duì)誤差及誤差標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)樣本數(shù)量和質(zhì)量與預(yù)測(cè)精度的關(guān)系進(jìn)行分析。誤差標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式[8]為

4.2 分析結(jié)果

按照模型應(yīng)用方法及精度分析要求得到不同樣本情況下模型的預(yù)測(cè)誤差隨時(shí)間變化的趨勢(shì)圖，如圖3和圖4所示。計(jì)算得到誤差標(biāo)準(zhǔn)差如表2所示。

圖3 樣本數(shù)量對(duì)預(yù)測(cè)精度影響圖Fig.3 Influence of sample size on prediction accuracy

圖4 樣本質(zhì)量對(duì)預(yù)測(cè)精度影響圖Fig.4 Influence of sample quality on prediction accuracy

表2 不同初始條件預(yù)測(cè)精度對(duì)比Tab.2 Prediction accuracy comparison of different initial conditions

由表2可以看出，在沒(méi)有引入灰色模型預(yù)測(cè)信息時(shí)，預(yù)測(cè)誤差標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值隨著樣本數(shù)量的增加而逐漸減小，即馬爾可夫模型預(yù)測(cè)精度隨樣本數(shù)量增加而有所提高，但精度提高幅度隨著初始樣本數(shù)量增加而減小。比較引入灰色預(yù)測(cè)信息前后模型的精度可發(fā)現(xiàn)，由于引入灰色預(yù)測(cè)信息的同時(shí)也引入了其預(yù)測(cè)誤差，因此在樣本數(shù)量相同時(shí)，采用新樣本建立的模型的精度要低于原樣本。

引入灰色預(yù)測(cè)信息后，預(yù)測(cè)精度隨樣本數(shù)量的增加而降低。主要原因是灰色模型由4 個(gè)樣本擴(kuò)充到6個(gè)樣本時(shí)，補(bǔ)充樣本滿足灰色預(yù)測(cè)精度要求。而擴(kuò)充到8 個(gè)樣本時(shí)，第7～8 個(gè)樣本的預(yù)測(cè)精度不滿足要求，樣本中引入了較大的誤差，導(dǎo)致模型預(yù)測(cè)精度難以滿足要求。同時(shí)在誤差允許范圍內(nèi)，通過(guò)灰色預(yù)測(cè)擴(kuò)充樣本信息后，馬爾可夫模型的預(yù)測(cè)精度明顯提高。且由圖3和圖4也可發(fā)現(xiàn)，樣本數(shù)量由4 個(gè)擴(kuò)充到6 個(gè)時(shí)，中遠(yuǎn)期預(yù)測(cè)精度均得到提高，但由4 個(gè)擴(kuò)充到8 個(gè)時(shí)精度反而降低且不滿足精度要求。

由此可見(jiàn)，在灰色預(yù)測(cè)精度允許范圍內(nèi)，雖然灰色-馬爾可夫方法的預(yù)測(cè)精度相比同數(shù)量原始樣本的馬爾可夫精度要低，但比沒(méi)有補(bǔ)充樣本信息時(shí)的預(yù)測(cè)精度有很大提高，可見(jiàn)灰色-馬爾可夫方法針對(duì)“小樣本、貧信息”預(yù)測(cè)問(wèn)題是可行的。但如果灰色預(yù)測(cè)引入過(guò)大誤差則對(duì)后期預(yù)測(cè)精度影響較大。

5 結(jié)語(yǔ)

1）分析中國(guó)機(jī)場(chǎng)道面使用性能預(yù)測(cè)中存在的問(wèn)題，引入灰色預(yù)測(cè)和馬爾可夫預(yù)測(cè)方法，建立了道面使用性能灰色-馬爾可夫預(yù)測(cè)模型和方法，基本思路是采用灰色預(yù)測(cè)模型進(jìn)行近期預(yù)測(cè)，利用灰色預(yù)測(cè)補(bǔ)充后的樣本數(shù)據(jù)，采用馬爾可夫預(yù)測(cè)模型進(jìn)行中遠(yuǎn)期預(yù)測(cè)，實(shí)例檢驗(yàn)表明該方法具有較強(qiáng)的科學(xué)性和實(shí)用性，可為中國(guó)機(jī)場(chǎng)道面性能預(yù)測(cè)的研究提供參考。

2）采用最小二乘法求解馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率矩陣，并通過(guò)Matlab 語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)。通過(guò)計(jì)算表明該方法是可行，而且比經(jīng)驗(yàn)回歸方程法更具科學(xué)性與有效性。

3）選取不同樣本信息對(duì)灰色-馬爾可夫預(yù)測(cè)模型的精度進(jìn)行分析，結(jié)果表明：除建模方法外，樣本數(shù)量對(duì)模型精度有一定影響，樣本數(shù)量越多精度越高。而樣本質(zhì)量對(duì)模型的預(yù)測(cè)精度影響更為明顯，灰色預(yù)測(cè)雖然擴(kuò)充了樣本信息，但也引入了部分錯(cuò)誤信息，因此，實(shí)際預(yù)測(cè)中可采用改進(jìn)措施提高灰色預(yù)測(cè)精度，抑制灰色預(yù)測(cè)誤差對(duì)后期預(yù)測(cè)的干擾。