陶立權(quán)，劉 程，王 偉，王 倩

（中國民航大學(xué)民用航空器適航審定技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300300）

故障檢測是控制領(lǐng)域的重要分支之一，基于觀測器的故障檢測是研究熱點(diǎn)[1]。據(jù)Isermann 等[2]和于春梅等[3]統(tǒng)計(jì)與分析，工程中超過50%的傳感器故障是采用基于觀測器的方法來解決的?；谟^測器的故障檢測方法主要包括基于殘差的故障檢測和基于故障估計(jì)的故障檢測[4]?；跉埐畹墓收蠙z測方法是將觀測器輸出與實(shí)際系統(tǒng)輸出比較，從而得到殘差信號(hào)，通過設(shè)定決策函數(shù)進(jìn)行故障檢測。這類方法主要缺點(diǎn)在于殘差受未知擾動(dòng)與模型誤差影響較大，因此漏檢和誤檢情況會(huì)相應(yīng)增加。而基于故障估計(jì)的故障檢測方法是直接對(duì)所重構(gòu)的故障進(jìn)行檢測，不僅能實(shí)現(xiàn)故障的檢測與隔離，還能提供故障的具體信息，但大部分方法的重構(gòu)故障精度也受未知擾動(dòng)與模型誤差等不確定性的影響。

Utkin[5]首次提出了滑模觀測器的概念，滑模觀測器以其特有的變結(jié)構(gòu)控制，使得系統(tǒng)對(duì)建模誤差、干擾等不確定性具有強(qiáng)魯棒性，且利用滑模特有的等效輸出誤差注入原理能實(shí)現(xiàn)故障的高精度估計(jì)，因此其在故障檢測領(lǐng)域受到了廣泛關(guān)注。Edwards 等[6-7]將滑模觀測器應(yīng)用于故障的重構(gòu)，但是并未考慮存在未知干擾的情況；Tan 等[8]提出了滑模觀測器的參數(shù)算法；夏潔等[9]針對(duì)未知有界干擾的線性系統(tǒng)提出了基于滑模觀測器的傳感器故障檢測方法；劉聰?shù)萚10]針對(duì)含有未知干擾的非線性系統(tǒng)結(jié)合自適應(yīng)理論提出了自適應(yīng)滑模觀測器的故障重構(gòu)方法；楚曉艷等[11]提出了對(duì)多個(gè)執(zhí)行器故障同時(shí)檢測的魯棒滑模故障檢測方法。

以含傳感器故障的系統(tǒng)為研究對(duì)象，考慮系統(tǒng)存在不確定性的情況，研究基于滑模觀測器的故障檢測方法。通過設(shè)計(jì)滑模觀測器，在產(chǎn)生殘差的同時(shí)也能實(shí)現(xiàn)故障的精確估計(jì)，并設(shè)計(jì)了決策函數(shù)以達(dá)到故障檢測的目的。與傳統(tǒng)故障檢測方法相比，針對(duì)故障檢測中的漏檢和誤檢問題，提出了在同一個(gè)觀測器中實(shí)現(xiàn)基于殘差和故障估計(jì)相結(jié)合的檢測方法，通過雙重故障檢測提高故障檢測準(zhǔn)確率，尤其是能夠有效檢測出一般方法難以處理的軟故障，使其在傳感器技術(shù)、電機(jī)、汽車、航空航天等領(lǐng)域有更廣的應(yīng)用。

1 概述

1.1 系統(tǒng)描述

考慮一類含傳感器故障的多輸入多輸出不確定系統(tǒng)，即

其中：x∈Rn，u∈Rm，y∈Rp分別為系統(tǒng)狀態(tài)、系統(tǒng)輸入、系統(tǒng)可測輸出；Aa∈Rn×n、Ba∈Rn×m；Ca∈Rp×n；Qa為干擾分布矩陣；f（t）為傳感器故障；ε（t）為不確定項(xiàng)。

假設(shè)1f（t）有界但界未知，ε（t）有界且界已知，即‖f（t）‖≤α，α 未知，‖ε（t）‖≤β，β 已知。

引用文獻(xiàn)[6]中的引理4.2，引入坐標(biāo)變換x→T1x，使得系統(tǒng)矩陣變成以下結(jié)構(gòu)

其中：A11∈R(n-p)×(n-p)；B1∈R(n-p)×m；T∈Rp×p為正交陣。

上述變換是下文設(shè)計(jì)滑模觀測器的基礎(chǔ)。

1.2 故障檢測原理

故障檢測原理如圖1所示。從圖1中可知，利用滑模觀測器產(chǎn)生殘差的同時(shí)，運(yùn)用等效輸出誤差注入原理實(shí)現(xiàn)了故障的高精度估計(jì)。設(shè)計(jì)殘差決策函數(shù)以達(dá)到第一重故障檢測的目的，并將所得的故障估計(jì)直接作為第二重檢測。設(shè)計(jì)雙重故障檢測可提高故障檢測準(zhǔn)確率，尤其是兩種故障檢測方法的結(jié)果不一致時(shí)，一種方法可作為另一種方法的補(bǔ)充，從而降低漏檢和誤檢情況。

圖1 故障檢測原理圖Fig.1 Schematic diagram of fault detection

2 滑模觀測器設(shè)計(jì)

對(duì)于系統(tǒng)（式（1）），滑模觀測器設(shè)計(jì)如下

定義輸出估計(jì)誤差ey=-y，狀態(tài)估計(jì)誤差e=-x。聯(lián)立式（1）和（3）得

令A(yù)0=Aa-GlaCa，式（4）可變?yōu)?/p>

在式（2）的坐標(biāo)系中，令

其中，L= [L00]，L0∈R(n-p)×(p-q)；V∈Rp×p為自定義的對(duì)稱正定矩陣。

假設(shè)2存在李雅普諾夫矩陣關(guān)系P =滿足A0TP + PA0＜0 且ρ≥，其中η 為一正標(biāo)量。

定理1若滿足假設(shè)2，系統(tǒng)的狀態(tài)誤差是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

證明：考慮李雅普諾夫函數(shù)v=eTPe，可得

由于PGna=CaTP0，PQa=CaTP0CaQa，則

由v 的定義與f 的范圍可得

故狀態(tài)估計(jì)誤差是二次穩(wěn)定的。

3 故障檢測

3.1 基于殘差的故障檢測

以輸出估計(jì)誤差ey為殘差，即r（t）= ey（t）=Ce（t）- f（t）。理想情況下傳感器無故障時(shí)，殘差為0；傳感器有故障時(shí)，殘差r（t）=-f（t）≠0。故基于殘差的故障檢測方法的判別依據(jù)是殘差是否偏離零值。但在實(shí)際情況下殘差受建模誤差、干擾、噪聲等不確定性影響，在傳感器無故障時(shí)不為0，需要建立合理的決策系統(tǒng)，使得決策函數(shù)J（r（t））對(duì)故障敏感，同時(shí)對(duì)系統(tǒng)不確定性具有強(qiáng)魯棒性，當(dāng)決策函數(shù)一旦超過所設(shè)定的閾值Jth1、Jth2，應(yīng)立即檢測出故障。其具體決策邏輯如下

從決策邏輯可知：故障檢測閾值過大，可能出現(xiàn)傳感器發(fā)生故障時(shí)，決策函數(shù)J（r（t））卻保持在閾值范圍內(nèi)的現(xiàn)象，無法檢測出故障，因而造成漏檢；故障檢測閾值過小，可能出現(xiàn)傳感器無故障時(shí)，決策函數(shù)卻保持在閾值范圍外的現(xiàn)象，檢測出故障，因而造成誤檢。故需要選擇合適的閾值使得漏檢率和誤檢率保持一個(gè)較低的水平。目前，閾值的大小通常是在系統(tǒng)無故障時(shí)，取殘差的最大值或根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取一定值，但殘差是一個(gè)隨機(jī)過程，無故障時(shí)殘差概率密度曲線與有故障時(shí)殘差概率密度曲線有重疊，這類閾值的確定方法很容易發(fā)生漏檢和誤檢情況[12]。這里根據(jù)殘差隨機(jī)特性，結(jié)合數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論，引入置信區(qū)間來確定閾值。

設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X 的樣本，期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2為μ 的點(diǎn)估計(jì)，α 為顯著性水平，（1-α）為置信度。故μ 的（1-α）置信區(qū)間應(yīng)滿足

則殘差的閾值為

3.2 基于故障估計(jì)的故障檢測

引入一坐標(biāo)變換x→T2x，使得式（2）變?yōu)?/p>

將式（4）做同樣的坐標(biāo)變換e→T2e，得

其中：A=T2AaT2-1；Gl=T2Gla；Gn=T2Gna；Q=T2Qa，C=CaT2-1。

令T2e=col（e1，e2）則將式（6）分塊得

當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)滑動(dòng)模態(tài)時(shí)，ey（t）=（t）= 0，則式（7）可化簡為

式中，veq為等效輸出誤差，取值如下

其中，δ 為一小的正標(biāo)量，其取值越小，抖振越大，但越逼近v。

將式（8）中消去e1（t）得

進(jìn)一步化簡得

忽略不確定性對(duì)故障重構(gòu)信號(hào)的影響，由式（9）可得故障重構(gòu)信號(hào)，即

經(jīng)過精確重構(gòu)的故障更能為故障檢測帶來依據(jù)。定義一個(gè)基于系統(tǒng)健康性能的閾值J，在不同的階段需設(shè)計(jì)不同的閾值。為了簡化計(jì)算，這里根據(jù)最小可判斷故障的大小，設(shè)閾值為一定值J1。根據(jù)重構(gòu)故障f（t）與J1的比較，以判斷故障的發(fā)生，即

3.3 漏檢和誤檢問題

在基于殘差的故障檢測方法中，當(dāng)殘差較小時(shí)，可能是系統(tǒng)發(fā)生了微小故障，也可能是系統(tǒng)不確定性引起的，容易造成誤檢，且由于滑模觀測器的作用，殘差會(huì)在有限的時(shí)間內(nèi)收斂到0，若在殘差最大值時(shí)恰好沒有檢測出來，后續(xù)的時(shí)間內(nèi)更難檢測出來，容易造成漏檢。在基于故障估計(jì)的檢測方法中，雖然所設(shè)計(jì)的滑模觀測器使得系統(tǒng)對(duì)不確定性有強(qiáng)魯棒性，但滑模固有的“抖振”現(xiàn)象容易造成漏檢和誤檢。此外，上述的兩種故障檢測方法都需要設(shè)定一定的閾值，閾值過大或過小都會(huì)影響系統(tǒng)對(duì)故障的靈敏度。

目前，漏檢和誤檢問題不能同時(shí)避免，實(shí)際故障檢測中只能對(duì)漏檢和誤檢折中選擇，沒有確定的標(biāo)準(zhǔn)[13]。為了減少漏檢和誤檢，對(duì)故障進(jìn)行雙重檢測，并應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想建立故障檢測邏輯。設(shè)事件A、事件B分別為基于殘差和基于故障估計(jì)的故障檢測方法中檢測出故障。為了降低漏檢率，可選擇故障檢測邏輯A∪B；為了降低虛警率，可選擇故障檢測邏輯A∩B。

基于以上的故障檢測邏輯，兩種方法若出現(xiàn)耦合現(xiàn)象將會(huì)對(duì)故障檢測準(zhǔn)確率產(chǎn)生一定的影響。對(duì)比基于殘差的故障檢測方法所得的殘差（rt）=e（yt）=Ce（t）-（ft）和基于故障估計(jì)的故障檢測方法所得故障估計(jì)為

可知兩種故障檢測準(zhǔn)確率都受同一個(gè)因素ey影響，故將殘差與故障估計(jì)擬合在一起后會(huì)出現(xiàn)耦合現(xiàn)象。雖然兩種方法不是獨(dú)立的，但是兩種方法設(shè)計(jì)的故障檢測閾值方法不同，取值不同，檢測效果也不同。因此，即使出現(xiàn)耦合現(xiàn)象，兩種方法也能夠達(dá)到互補(bǔ)作用，從而提高故障檢測的準(zhǔn)確率。

4 仿真實(shí)例

為驗(yàn)證基于滑模觀測器的傳感器故障檢測方法的可行性，以文獻(xiàn)[14]中“垂直起降（VTOL）”飛機(jī)模型開展故障檢測研究，系統(tǒng)輸入為總節(jié)距控制、縱向循環(huán)節(jié)距控制；系統(tǒng)狀態(tài)為水平速度、垂直速度、俯仰速率、俯仰角；系統(tǒng)輸出為水平速度、垂直速度、俯仰角。系統(tǒng)模型為

其中

取T = I3，將增益矩陣變?yōu)槎嗄繕?biāo)凸優(yōu)化求解問題后，得

當(dāng)傳感器無故障時(shí)，得到觀測器的輸出估計(jì)誤差，如圖2所示。

圖2 無故障時(shí)輸出估計(jì)誤差Fig.2 Estimation error without fault

從圖2可看出，在3 個(gè)傳感器都沒有發(fā)生故障時(shí)，設(shè)計(jì)的滑模觀測器能使得輸出估計(jì)誤差在有限的時(shí)間內(nèi)趨于0，且保持該狀態(tài)。趨于0 而不為0 是由于模型受擾動(dòng)影響，使得輸出估計(jì)誤差在超平面內(nèi)產(chǎn)生滑動(dòng)。而在0～4 s 的時(shí)候，各輸出估計(jì)誤差從不同的值趨于0 是由于系統(tǒng)初始狀態(tài)給出定值，但觀測器初始狀態(tài)為0，故初始條件下觀測器需經(jīng)一定的時(shí)間才能跟蹤狀態(tài)。

在基于殘差的故障檢測方法中，選擇合理的閾值是前提條件。這里選擇輸出估計(jì)誤差漸進(jìn)收斂以后的點(diǎn)作為樣本點(diǎn)?？紤]到實(shí)際應(yīng)用，對(duì)傳感器斜坡故障和階躍故障這兩種情形進(jìn)行仿真。每種故障均仿真20次[15]，置信度（1-α）=0.95。對(duì)每次仿真結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按3.1 節(jié)分析得到故障檢測的閾值如下：

1）傳感器發(fā)生斜坡故障

2）傳感器發(fā)生階躍故障

情形1傳感器斜坡故障

垂直速度傳感器故障信號(hào)為

得到圖3～圖4的仿真結(jié)果。

圖3 含斜坡故障時(shí)基于殘差的故障檢測Fig.3 Fault detection based on residual with slope fault

圖4 含斜坡故障時(shí)基于故障估計(jì)的故障檢測Fig.4 Fault detection based on fault estimation with slope fault

從圖3中可看出，在傳感器未發(fā)生故障時(shí)，殘差從一個(gè)較大的初值經(jīng)過有限的時(shí)間趨于0；而在傳感器發(fā)生斜坡故障后，殘差經(jīng)過小幅變化后以一定的斜率逐漸增大，大約在t=5.772 s 時(shí)殘差超過閾值，說明了此時(shí)檢測出故障。

從圖4中可看出，在傳感器未發(fā)生故障時(shí)，故障重構(gòu)信號(hào)也從一個(gè)較大的初值經(jīng)過有限的時(shí)間趨于0；而在傳感器發(fā)生斜坡故障后，故障重構(gòu)信號(hào)能跟蹤所注入的斜坡故障，大約在t=5.399 s 時(shí)故障重構(gòu)信號(hào)超過閾值，說明了此時(shí)檢測出故障。但是在趨于0的過程中出現(xiàn)了超過閾值的情況，產(chǎn)生了虛警，說明對(duì)于含初始狀態(tài)誤差的系統(tǒng)，基于故障估計(jì)的故障檢測方法需要一定的時(shí)間使得殘差處于滑平后才能進(jìn)行有效的故障檢測。

對(duì)比圖3和圖4可看出，對(duì)于斜坡故障，基于故障估計(jì)的故障檢測方法比基于殘差的故障檢測方法更早的實(shí)現(xiàn)了故障檢測。故前一種方法可彌補(bǔ)后一種方法對(duì)于斜坡故障處理較差的缺點(diǎn)，且若將兩種方法相結(jié)合進(jìn)行故障檢測，能夠有效的提高故障檢測率。

情形2傳感器階躍故障

垂直速度傳感器故障信號(hào)為

得到圖5～圖6的仿真結(jié)果。

圖5 含有階躍故障時(shí)基于殘差的故障檢測Fig.5 Fault detection based on residual with step fault

圖6 含有階躍故障時(shí)基于故障估計(jì)的故障檢測Fig.6 Fault detection based on fault estimation with step fault

從圖5可看出，在t=5 s 時(shí)基于殘差的故障檢測方法檢測出故障。而在圖6中，基于故障估計(jì)的檢測方法沒有檢測出故障，故兩種方法相結(jié)合可有效的降低漏檢率。同時(shí)，由于殘差的瞬時(shí)性和易受系統(tǒng)不確定性影響，出現(xiàn)誤檢情況，但是基于故障估計(jì)的檢測方法可以作為補(bǔ)充，故可降低虛警率。

另外，從圖6中可看出在t=5 s 時(shí)，垂直速率傳感器重檢信號(hào)出現(xiàn)了短暫的尖峰信號(hào)。這是由于垂直速度傳感器發(fā)生階躍故障時(shí)，等效輸出估計(jì)誤差veq突然變化，從而引起了重構(gòu)故障的突變，但可通過防脈沖干擾平均值數(shù)字濾波器濾除[9]。

綜上可知：針對(duì)傳統(tǒng)故障檢測中的漏檢和誤檢問題，所提出的基于滑模觀測的故障檢測方法能夠有效降低漏檢率和虛警率。同時(shí)，所運(yùn)用的故障檢測評(píng)價(jià)函數(shù)能夠準(zhǔn)確地檢測出故障，若不考慮延遲，可滿足故障檢測要求。

5 結(jié)語

在傳統(tǒng)滑模觀測器設(shè)計(jì)方法上，針對(duì)故障檢測中的漏檢和誤檢問題，提出了基于殘差和故障估計(jì)相結(jié)合的故障檢測方法。在一定的假設(shè)條件下，設(shè)計(jì)了滑模觀測器，采用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，證明了觀測器的穩(wěn)定性,并以四階飛機(jī)模型為例，開展了仿真研究。仿真結(jié)果表明，該方法可有效減少漏檢和誤檢情況。對(duì)于非線性模型的故障檢測研究是進(jìn)一步的研究方向。