姜付錦 郎 軍

(1. 湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學，湖北 武漢 430300; 2. 重慶市第十一中學校，重慶 400061)

1 提出問題

矩形軸向有界磁場隨時間變化時,在周圍產(chǎn)生的感生電場是怎樣分布的呢?目前普遍認為,感生電場線是橢圓或圓,[1]可是,這個結論是嚴格的還是近似的,精度有多高?為此,筆者計算了矩形有界磁場的感生電場,寫出了感生電場線的方程,最后運用Maple數(shù)值模擬出了渦旋電場線的分布,發(fā)現(xiàn)了其感生電場線不是標準的橢圓或圓．

2 研究方法

圖1

2.1 計算渦旋電場強度的方法[1-4]

(1)

(1)式是對邊界內、外的區(qū)域都統(tǒng)一成立的式子．

2.2 渦旋電場線方程的推導

(2)

(2)式是對邊界內、外區(qū)域都適用的電場線方程．這也表明,邊界內、外的電場線方程在形式上是可以統(tǒng)一的．原則上,電場線方程可由(2)式確定,但這個積分式太復雜,連Maple軟件都無法計算．

對整個渦旋電場,一般不能引入標量勢,但對于對邊界外的區(qū)域,由于渦旋電場強度的旋度處處為0(×E≡0),類似磁場在無電流分布的區(qū)域可以引入磁標勢一樣,我們也可以引入標量勢φ,可得E=-φ,即根據(jù)解析函數(shù)的實部函數(shù)和虛部函數(shù)對應曲線簇在空間處處正交的性質，若將φ作為解析函數(shù)的實部,通過構造一個解析函數(shù)而求虛部E,即得電場線方程．

設電場線方程為E(x,y)=C，由柯西——黎曼方程有

所以

(3)

E(x,y)=C可以表示邊界外部區(qū)域的電場線的方程．

對于磁場邊界以內的區(qū)域,雖然渦旋電場強度的旋度不為0,不能引入標量勢描述,但正如前述分析,由于邊界內、外的電場線方程是可以統(tǒng)一的,且用柯西——黎曼方程得到的電場線方程是未經(jīng)簡化的最一般的形式,因此E(x,y)=C也實際上可以表示邊界內部的電場線方程．

設磁場的邊界為-a≤x≤a,-b≤y≤b,則(1)式的積分變?yōu)?/p>

Ex(x,y)=

Ey(x,y)=

2.3 電場線方程的解析式

由于表達式過于復雜,為了研究問題的方便不妨設a=2,b=1,用Maple軟件計算得兩個方向上的分電場強度為

其中A1=ln(x2+y2+4x+2y+5),A2=ln(x2+y2+4x-2y+5),A3=ln(x2+y2-4x+2y+5),A4=ln(x2+y2-4x-2y+5).

得電場線方程為

上式中C為某一待定的常數(shù)．由此可見電場線方程異常復雜,不可能轉化為標準的圓和橢圓．根據(jù)得到的電場線方程,借助Maple計算,還可以發(fā)現(xiàn)在邊界外的區(qū)域有

即滿足拉普拉斯方程,通過對(1)式的分析表明,電場線方程式是對邊界內、外的區(qū)域都統(tǒng)一成立的．

3 數(shù)值模擬

根據(jù)電場線方程,用Maple軟件繪出了邊界內、外的渦旋電場線分布(圖2-圖5),與文獻[7]得到的結果一致．需要說明的是,從電場線方程的表達式可以看出,4條邊界是奇異點區(qū)域,導致Maple只能分別繪制邊界內、外的電場線．

3.1 正方形邊界(a=b=1,k=2π)

圖2及圖3外邊框中心處粗線的邊框表示正方形邊界,圖2是正方形邊界外部的感生電場線分布圖,圖3是正方形邊界內部的感生電場線分布圖,可以看出它們像圓,但是由解析式可知它們都不是圓．

圖2

圖3

3.2 長方形邊界(a=2,b=1,k=2π)

圖中虛線的邊框表示長方形邊界,圖4是長方形邊界外部的感生電場線分布圖,圖5是長方形內部的感生電場線分布圖,可以看出它們很像橢圓,但是由解析式可知它們都不是．

圖4 長方形邊界內部的感生電場分布

圖5 長方形邊界外部的感生電場分布

4 小結

通過以上的研究可以發(fā)現(xiàn),邊界內部與外部的電場線方程是可以統(tǒng)一的,對邊界外部由柯西——黎曼方程得出的電場線方程的解析式對邊界內部也適用．當磁場邊界為矩形時,渦旋電場線方程不是標準橢圓．若邊界是其它形狀的,運用本文中方法也可以研究,限于文章的篇幅本文不再贅述．