趙久奮，史紹琨，尤 浩，楊奇松

(火箭軍工程大學 作戰(zhàn)保障學院， 陜西 西安 710025)

為有效應對日臻完善的現(xiàn)代導彈防御體系，采取的突防策略之一是控制多枚導彈同時攻擊目標[1-2]，實現(xiàn)瞬時飽和攻擊；此外，控制多枚導彈以指定角度攻擊目標可以實現(xiàn)對目標全方位攻擊[3]，提高導彈打擊效果。因此，導彈的攻擊時間和攻擊角度協(xié)同控制對實現(xiàn)突防和充分發(fā)揮武器效能大有裨益[4]。

目前，關于導彈攻擊角度控制的文獻已有很多，對導彈攻擊角度和時間同時控制的文獻則相對較少。文獻[5]將建立的導彈運動模型線性化，利用最優(yōu)控制理論，推導了帶有攻擊時間和攻擊角度約束的制導律。文獻[6]通過在比例導引的基礎上增加兩項偏置項，得到了一種攻擊時間和攻擊角度控制的偏置比例導引律。文獻[7]設計了一種用于角度控制的制導律和一種用于時間控制的滑模制導律，通過制導律的切換實現(xiàn)對攻擊時間和攻擊角度的同時控制。文獻[8]采用模型預測靜態(tài)規(guī)劃方法，對用于攻擊時間和攻擊角度的控制量進行迭代更新，從而滿足導彈的攻擊時間和攻擊角度約束要求。然而上述制導控制方法均未考慮導彈視場角的限制，在末制導段，對導彈攻擊時間和攻擊角度的控制會使導彈產生大機動，大機動將產生較大的視場角，若不考慮視場角限制，容易導致視場角超過導引頭視場角范圍而丟失目標。

針對該問題，文獻[9]采用多項式函數(shù)推導得到了時間控制的導引指令，并以附加反饋項的形式引入一項用于視場角限制的導引指令，實現(xiàn)對導引頭視場角的限制和對攻擊時間的控制。文獻[10]設計了一種可用于攻擊角度控制的偏置比例導引律，并將導引律分階段設計，實現(xiàn)了對導引頭視場角的限制。但就考慮導引頭視場角限制下協(xié)同控制攻擊時間和攻擊角度的導引律還未見報道。

因此，本文設計了一種新型可用于控制導彈攻擊時間和攻擊角度的偏置比例導引律，并通過將導引律分階段設計，使其滿足導引頭視場角的限制。

1 問題描述

考慮二維平面內導彈攻擊靜止目標情況，彈目相對運動關系如圖1所示。

圖1 彈目相對運動關系Fig.1 Relative motion between missile and target

圖1中：OXY表示地面慣性坐標系；M和T分別表示導彈和目標；r表示彈目視線；q表示彈目視線角，規(guī)定由彈目視線r逆時針旋轉到水平基準線時為正；σ表示彈道傾角，規(guī)定導彈速度v位于水平基準線上方時彈道傾角為正；φ表示前置角，假設導彈飛行過程中攻角很小可忽略，則導引頭視場角近似等于導彈前置角；v表示導彈的速度，假設為常值；an表示導彈法向過載，即導引系統(tǒng)的控制輸入。則導引系統(tǒng)模型為：

(1)

(2)

(3)

式(3)中的tgo不能由彈載設備直接測得，需提供一種精準的tgo估計方法。

視場角限制下攻擊時間角度控制導引律可以描述為通過設計an，使

(4)

2 攻擊角度和攻擊時間控制導引律設計

本節(jié)針對平面內導彈攻擊靜止目標問題，設計了一種新型可用于攻擊角度和攻擊時間同時控制的偏置比例導引律。通過在傳統(tǒng)比例導引律的基礎上設計兩項偏置項，實現(xiàn)對攻擊角度和攻擊時間的控制，并利用Lyapunov理論證明該導引律下閉環(huán)導引系統(tǒng)的穩(wěn)定性。所設計的攻擊角度和攻擊時間控制的偏置比例導引律形式為：

(5)

式中，偏置項a1用于對攻擊角度的控制，偏置項a2用于調節(jié)導彈攻擊時間。

2.1 攻擊角度控制導引律設計

為使導彈在攻擊結束時刻tf以期望角度擊中目標，設計導引律結構如下：

(6)

式中，N≥3為比例系數(shù)，a1為偏置項用于攻擊角度的控制。

式(6)適用于導引系統(tǒng)模型式(1)。將式(6)代入式(1)第四式，得到：

(7)

將式(7)在(t,tf)內積分可得：

(8)

式中，下標f表示攻擊結束。當導彈擊中目標時，qf=σf。設σd為期望攻擊角度，令

σd=σf

(9)

假設a1在(t,tf)內的每一小段時間Δt內均為常值，導彈速度v恒定，則式(8)變?yōu)椋?/p>

(10)

式中，tgo=tf-t為當前時刻的剩余時間。

則攻擊角度控制導引律為：

(11)

為方便敘述，將式(11)導引律記為BPN-ACG。在此導引律中，q和σ可通過彈上設備敏感視線角和彈道傾角的變化率積分得到，而tgo不能由彈載設備直接測得[11-12]。由于對攻擊角度的控制會使彈道變得彎曲，傳統(tǒng)的剩余時間估計方法會產生較大誤差[13]。因此，采用文獻[14]中的剩余時間估計算法。

(12)

2.2 BPN-ACG下攻擊時間控制導引律設計

為使導彈在指定時間以指定角度攻擊目標，設計導引律為：

an=anσ+a2

(13)

式中：anσ為前文設計的BPN-ACG，用于使導彈在攻擊結束時間tf以指定角度σd攻擊目標；a2為將要設計的偏置項，用于調節(jié)攻擊時間，使導彈的攻擊結束時間tf為指定攻擊時間td。

將式(13)代入式(11)和式(1)，得到：

(14)

式(3)中的剩余時間tgo將采用BPN-ACG作用下的剩余時間估計式(12)。因為下文將視場角限制在一個小的范圍內，所以在小前置角假設下推導的式(12)適用于視場角限制下攻擊時間角度控制導引律。

對式(12)求導，并將式(14)和式(1)代入式(12)的求導式，化簡后有：

(15)

式中，P(r,v,q,φ,σd,N)為不顯含a2的函數(shù)。k1和k2的取值為：

P(r,v,q,φ,σd,N)=-1

(16)

對式(2)求導，得到：

(17)

對式(3)求導，并將式(15)～(17)代入式(3)的求導式，得到：

(18)

為使ξ(td)→0，φ(td)→0，考察式(14)和式(18)，設計偏置項a2為：

(19)

(20)

式中，δ1、δ2都為充分小的正數(shù)，且δ2>δ1，δ1、δ2的取值根據計算精度而定。

設計偏置項a2為式(19)的目的是：一方面實現(xiàn)時間控制，另一方面起到限制導彈視場角的作用。當不考慮落角約束時，式(19)將視場角限制在[-φmax,φmax]的范圍內，這一特點將在后文設計考慮視場角限制的導彈協(xié)同攻擊導引律時使用。

至此，得到一種新型攻擊角度和攻擊時間控制導引律：

(21)

式(21)不能用于對導彈視場角的限制，在實際應用中容易導致視場角超出導引頭視場角范圍而丟失目標。為方便敘述，記式(21)的導引律為BPN-ATCG。

2.3 穩(wěn)定性分析

為證明導引律BPN-ATCG能夠使r(td)→0，φ(td)→0，ξ(td)→0，構造Lyapunov函數(shù)：

(22)

結合式(18)、式(19)對式(22)求導，得到：

(23)

將式(19)代入式(18)得：

(24)

ξ=elnξ0-Ct

(25)

分析式(25)可知，通過調節(jié)c1和c2的數(shù)值進而調節(jié)C的大小，可使t=td時，ξ(td)→0。

考察r的動力學性能：

(26)

考察φ的動力學性能：

(27)

參考文獻[6]，式(27)中右側前兩項使φ在有限時間內收斂。隨著ξ→0，右側第三項趨于0，即逐漸轉為BPN-ACG。所以，在指定攻擊時刻td，有φ(td)→0。

3 考慮視場角限制時協(xié)同攻擊導引律設計

分析BPN-ATCG，假設式(21)中攻擊角度控制項為0時可以實現(xiàn)攻擊時間控制，并且將視場角限制在[-φmax,φmax]的范圍內。因此本節(jié)將BPN-ATCG中比例導引項和用于攻擊時間控制的偏置項a2一直作用于導彈，始終對攻擊時間進行控制；將用于攻擊角度控制的偏置項a1設計成三個階段b1、b2、b3，通過三階段導引指令的切換，實現(xiàn)對攻擊時間和攻擊角度控制的同時，將視場角限制在導引頭視場角范圍內。偏置項a1設計如圖2所示。

圖2 三階段偏置項示意圖Fig.2 Three stage bias terms profile

第一階段設計導引律an1=an，即導彈按導引律BPN-ATCG飛行。實時判斷視場角φ是否超出導引頭視場角范圍[-φmax,φmax]，若導引過程中視場角φ始終在導引頭視場角范圍[-φmax,φmax]內，則按導引律式(21)導引直至擊中目標；若導引過程中視場角φ在t1時刻達到導引頭視場角范圍邊值，則t=t1時轉為第二階段。

第二階段設計導引律使視場角φ始終在導引頭視場角范圍內，導引律形式為：

(28)

將式(28)代入式(1)并求導，得到：

(29)

當φ→±φmax時，式(29)右側第二項趨于0，該項控制φ∈[-φmax,φmax]。所以只需讓式(29)右側第一項收斂，即

(30)

求解得到：

b2>(1-N)v

(31)

當比例系數(shù)N=3時，可取b2=-1.5v。為保證導引指令連續(xù)，當t=t2時刻滿足b2(t2)=b3(t2)時進入第三階段。其中b3為第三階段的偏置項。

第三階段設計導引律為：

(32)

視場角限制下攻擊時間角度控制導引律的導引過程如圖3所示。

圖3 視場角限制下攻擊時間角度控制導引流程Fig.3 Impact time and angle control guidance process with field-of-view limit

4 仿真結果與分析

首先分析設計的BPN-TATCG以及提到的其他兩種導引律和文獻[15]中的導引律的導引效果。參數(shù)設置為：導彈初始位置為(-10 000 m,1000 m)，目標位于坐標原點(0 m,0 m)，導彈速度恒為300 m/s，初始彈道傾角為30°，指定攻擊角度和攻擊時間分別為-90°和43 s，視場角限制為[-45°,45°]，過載限制為8g(取g=9.81 m/s2)，c1=10,c2=2，δ1=0.01,δ2=0.02，仿真步長為0.01 s。分別用BPN-TATCG，BPN-ATCG，BPN-ACG以及文獻[15]中帶有導引頭視場角限制的攻擊時間控制導引律BPN-TCG四種導引律進行仿真，得到仿真結果如圖4所示。

(a) 彈道軌跡(a) Trajectory

(b) 導引指令(b) Guidance law

(c) 視場角(c) Field-of-view

(d) 終端落角(d) Terminal angle圖4 四種導引律作用下的仿真結果Fig.4 Simulation results of four guidance laws

從仿真結果可以看出，四種導引律均可以使導彈擊中目標，脫靶量都小于0.6 m。BPN-ACG滿足落角約束；BPN-TCG滿足時間約束；BPN-ATCG同時滿足攻擊時間和攻擊角度約束，但不滿足視場角約束；BPN-TATCG可以實現(xiàn)在滿足視場角約束下指定時間指定角度攻擊目標。

從圖4(a)中可以看出，BPN-ATCG作用下的彈道較高，高的彈道會導致大的視場角，這與圖4(c)中的結果是一致的。從圖4(b)中可以看出，在導引初期除BPN-ACG外的三種導引指令均超過過載限制，這與制導律中的參數(shù)c1和c2的取值有關。一般情況下，取一個較大的c1值，調節(jié)導引指令使其初期較大，末期較小。從圖4(c)中可以看出，相較于BPN-ATCG作用下的視場角超過導引頭視場角約束，在BPN-TATCG作用下的視場角到達導引頭視場角約束后，通過此時導引指令的切換使視場角始終不超過導引頭視場角約束，且收斂至0。從圖4(d)中可以看出，除導引律BPN-TCG外，其他三種導引律均滿足終端落角約束。

分析多枚導彈協(xié)同攻擊靜止目標的效果，期望多枚導彈在同一時刻以不同落角攻擊目標。設置目標位于坐標原點(0 m,0 m)，三枚導彈速度均為280 m/s，因三枚導彈在傳統(tǒng)比例導引作用下最長攻擊時間為32.3 s，故指定攻擊時間為37 s，三枚導彈的初始參數(shù)和期望落角如表1所示。

表1三枚導彈初始參數(shù)和期望落角

Tab.1 Initial parameters and expected angle of three missiles

導彈初始坐標/m初始彈道傾角/(°)期望落角/(°)M1(-8500,1000)35-90M2(-7000,4000)10-120M3(-5000,7000)-20-150

取g=9.81 m/s2，c1=10,c2=2，δ1=0.01,δ2=0.02，過載限制為8g，視場角限制為[-45°,45°]，仿真步長為0.01 s，則在BPN-TATCG作用下的仿真結果如圖5所示。

(a) 彈道軌跡(a) Trajectory

(b) 導引指令(b) Guidance law

(c) 視場角(c) Field-of-view

(d) 終端落角(d) Terminal angle

(e) 偏置項(e) Bias term圖5 三枚導彈協(xié)同攻擊目標仿真結果Fig.5 Simulation results of three missiles cooperative attack targets

從圖5(a)中可以看出，三枚導彈的攻擊時間誤差在0.01 s以內，落角誤差在0.06°以內，并且都可以擊中目標。從圖5(b)中可以看出，導彈M3在導引初期導引指令超過過載限制，這是由于M3要求的期望落角較大，為防止在導引末期產生較大過載，通過調節(jié)可調參數(shù)c1、c2造成的。從圖5(c)中可以看出，三枚導彈的視場角在達到導引頭視場角約束時，通過導引指令的切換，形成“觸底反彈”，從而保證視場角始終在導引頭視場角范圍內。視場角“觸底反彈”的時刻與圖5(e)中偏置項的首次切換時刻是一致的。從圖5(d)中可以看出，M2、M3導彈分別在導引末段和初段對攻擊角度的調節(jié)較大，與圖5(b)中M2、M3導彈分別在制導末段和初段導引指令變化較大對應。從圖5(e)中可以看出，三枚導彈的偏置項各經歷了三次切換，第一次切換使導引指令產生了跳變，第二次切換導引指令連續(xù)。

5 結論

本文對視場角限制下導彈協(xié)同攻擊導引律進行了研究。提出了一種新型攻擊時間和攻擊角度控制的導引律，將導引律分為三階段，設計視場角限制下的分段導引過程。仿真結果表明：設計的導引律滿足導引頭視場角約束，制導精度高，對攻擊角度和攻擊時間的控制能力強。針對不同位置的導彈，可以實現(xiàn)在滿足導引頭視場角約束下協(xié)同作戰(zhàn)，具有一定的實際應用價值。但就如何優(yōu)化過載分布以及如何減弱第一、第二階段切換時產生的導引指令跳變問題，仍值得進一步研究。