●鄭 良

(靈璧第一中學，安徽 靈璧 234200)

1 問題提出

安徽省宿州市高二年級上學期期末考試如期進行，其中理科第21題與第22題是學生得分的分水嶺.全年級學生的平均得分分別為3.03分與2.21分，均低于第1)小題的分值(滿分為4分).筆者對此思考：除了試題的位置(整卷的最后兩道題)與答題時間緊張等客觀因素外，學生在答題中還暴露出哪些問題，其根源是什么，如何應對…….

2 案例剖析

例1 如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥CD．將△ABD沿BD折起，折起后點A的位置為點P，得到幾何體P-BCD(如圖2所示)，且平面PBD⊥平面BCD.

1)證明：PB⊥平面PCD.

圖1 圖2

(安徽省宿州市13所重點中學2018學年第一學期高二期末質量檢測數學理科試題第21題)

命題組給出第2)小題的參考答案如下：

2)解法1 由第1)小題知CD⊥平面PBD，即∠CPD為直線PC和平面PBD所成角，則

得

又△ABD∽△DCB，從而

故AB=2.

圖3

設平面PDC的法向量為n1=(x1,y1,z1)，則

取n1=(1,0,-1);設平面PCE的法向量為n2=(x2,y2,z2),則

本題以圖形的折疊為背景，考查空間中直線與平面垂直的判定和性質定理、平面與平面垂直的性質、空間中直線與平面所成角、二面角的平面角等知識，考查學生的空間想象能力、運算求解能力以及數學運算、直觀想象和數學建模等數學素養(yǎng).

對于第1)小題，學生的主要錯誤有：

1)符號濫用.數學是一門語言，它擁有特定的符號及符號之間的關系、詞匯、文法與句法等.如少數學生滿篇把“平面”簡寫成“平”，把線面關系連接符號“?”寫成“∈”.根源在于學生沒有準確理解(直線與平面均為空間的點的集合)集合間的關系.

2)丟三落四.運用判定定理或性質定理時丟三落四,導致無法推出正確的結論.如學生“由BD⊥CD直接得到CD⊥PB”或“由PB⊥PD直接推出PB⊥平面PCD”等，學生識記不準源于教學缺乏結論的探究過程和必要的正反例思辨，學生不理解問題的來龍去脈，只能斷章取義.

3)無中生有.不少學生添加條件“AB=AD”強行建立空間直角坐標系，表明學生空間想象能力弱，綜合法認識不到位，只有“華山一條路”.先證后用是解題的基本規(guī)范，也是演繹推理的根基.

4)作繭自縛.部分學生在平面PBD內作PF⊥BD后利用“平面PBD⊥平面BCD”關系，無異于放棄高速公路不走，修建羊腸小道蜿蜒前行，說明學生視野狹窄，審題能力有待提高.

對于第2)小題，學生的主要錯誤有：

1)蒙混過關.從求解目標知需要求出AB或BD的長度(兩者相互依存)，多數學生嘗試將點P置于z軸(在平面PBD內過點P作PO⊥BD于點O，以O為原點、OB，OP所在直線分別為x軸、z軸建立空間直角坐標系)上，必須先確定AB的長度；若以命題組提供的答案的方式建立空間直角坐標系，可先建系再求AB的長度.多數學生沒有正確解讀條件而無法求出AB的長度，直接使用“AB=2”或用“由平面幾何知識易得AB=2”來敷衍(在訪談中得以確認)，這與數學嚴謹、求實的科學態(tài)度相悖.如何確定AB的長度(即刻畫BD⊥CD)？由題設知∠BAD=∠BDC=90°，∠ADB=∠DBC，這恰是“△ABD∽△DCB”的判定條件，水到渠成.

4)思維無序.學生思維無序，表述混亂;部分學生用綜合法求解，總體得分不高.表明學生“立體幾何平面化”的化歸與轉化思想和(兩次)有序“隔離”的方法仍有待提高.

圖4

2)解法2 如圖4，在平面PBD內，過點E作EH∥BP交PD于點H，則EH⊥平面PDC，且EH=DH=2λ，從而PH=2-2λ.在Rt△PDC中，過點H作HG⊥PC于點G，聯結EG，由三垂線定理可知∠EGH即為二面角D-PC-E的平面角.由△PHG∽△PDC，得

我第一次把我家后山和語文課本聯系起來是在我讀了杜牧的《山行》之后。我家就在岳麓山下，詩人寫的愛晚亭我也去過，但我看到的卻沒有他寫的這么美。自此以后，我常在學習之余爬山，或在陽光明媚的清晨，或在夕陽西下的傍晚，春夏秋冬，隨興而至，百看不厭。

圖5

1)求雙曲線C的標準方程；

2)求△F2DE面積的最大值.

(安徽省宿州市13所重點中學2018學年第一學期高二期末質量檢測數學理科試題第22題)

由點M(m,0)在∠F1PF2的平分線上，得

從而

于是

即

其判別式大于0.設D(x1,y1)，E(x2,y2)，則

因此

因為y0≥1，所以

y1+y2<0，y1y2>0，

得

y1<0,y2<0，

從而S△F2DE=S△F1F2E-S△F1F2D=

本題以直線與雙曲線的位置關系為背景，考查雙曲線的標準方程、直線與雙曲線的位置關系、韋達定理、弦長公式及二次函數的性質等知識，考查化歸與轉化思想和運算求解能力以及數學運算、數學抽象和數學建模等數學素養(yǎng).

對于第1)小題，學生的主要錯誤有：.

1)張冠李戴.誤用橢圓的定義或性質求解雙曲線的標準方程.

2)計算錯誤.利用定義法(正向運算)的學生基本無誤，而用待定系數法(逆向解方程組)的學生運算錯誤率較高.

3)功虧一簣.正確求出a，b，c后，總結時把雙曲線的標準方程寫成橢圓的方程.

對于第2)小題，學生的主要錯誤有：

3 教學思考

3.1 立足教材，適度拓展

教材是教師教學與學生學習的最重要的載體.歷次考試表明：試題越接近教材，學生考得越差.例1第1)小題推理證明的依據及第2)小題建系的標準在教材中交代得清清楚楚，第2)小題求角的計算公式在教材中講得明明白白；例2中圓錐曲線的第一定義在教材中反復強化，通過具體案例抽象概括出圓錐曲線的第二定義(并在教材中用極坐標方程進行深化).教材是參天大樹的根，教學要避免一葉障目就要正本清源，抓住主干不放松.如三角形的內角平分線定理作為正弦定理的重要應用理應及時滲透，并及時鏈接平面幾何法等證明方法；又如直角三角形的射影定理在“基本不等式”中有所提及，教師要及時跟進并補充其應用.

學生不重視教材由來已久，主要原因是其所遇試題(表面形式上)與教材“相距甚遠”；多數教師思想上重視教材，卻沒有有效的行動落實.近年來，學案與教輔嚴重侵占學生的時間與空間.教師追求量而不核對質，粗線條管理無法早期發(fā)現學生的錯誤并及時矯正.教師應該研習并挖掘教材，通過對高質量的交送作業(yè)(不少教師不以教材為藍本布置交送作業(yè)，而用教輔取而代之)和試卷的面批面改將學生處于萌芽狀態(tài)的錯誤及時遏制；對教材中的閱讀、探究、課題等欄目要合理定位，力爭探究到位；對學生的疑惑進行尋根之旅，揭開千變萬化形式下相對穩(wěn)定的本質，切實感受到教材的力量.教師要對教材有敬畏之心、虔誠的學習態(tài)度，通過教材引領師生的行為規(guī)范.

3.2 強化直觀,邏輯跟進

數學是研究數量關系和空間形式的一門科學.如何獲取解題思路？固然離不開解題經驗，更需要感性與直觀的素材，它是合情推理的切入點.教學過程中發(fā)現很多學生過于聚焦目標而不善于探尋直觀的構件.如處理幾何問題時沒有畫圖的意識和能力，探尋規(guī)律問題時沒有通過具體特例歸納結論的習慣等.數學家希爾伯特認為：不管在哪個領域，公理化方法都是并且始終是一個合適的、不可缺少的助手.借助直觀想象獲得解決問題的方向，通過邏輯分析推進或調整解題方案，合理組織論證，用規(guī)范性語言將看似零亂的、互不相關的知識，組成一個條理清晰的整體.在例1中，學生的邏輯混亂、思維不清晰、表達不連貫，表明學生對立體幾何的掌握不夠完善.

3.3 展示過程,精準落實

反思基礎教育課程改革，基礎性研究做得不夠,學生認識問題是從具體到一般，我們在教學中卻往往是先給出一般的東西，然后用具體的東西來闡述這個一般的東西，包括教學的呈現和教材的呈現.這些問題應該進行長期的研究[1].教學中不少教師分析解題思路、抄錄解題的關鍵步驟，使得基礎薄弱的學生跟不上教學節(jié)奏，導致學生對教學可遠觀而不能近玩.紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行，教師要先獨立解題，感知學生可能存在的問題，然后結合學生的解題情況稚化自己的思維，示以學生思維之道.如在例1中，教師可讓學生說出對第1)小題預期的證明過程，對第2)小題求AB長度的切入點及確定點E位置的推進過程；又如在例2中，確定角平分線PN的方法、表達S的方式等，教師對學生提供的各種方案進行分析，展示心路過程，讓學生看得見、想得清、學得來.

3.4 全局視角,一線串通

數學是一個統一的整體，數學學習則要分階段穩(wěn)步推進.蘇霍姆林斯基曾說：教師在關于教材的思考上使用的精力越少，則學生的腦力勞動的效率越高.如果教師把全副注意力都用在自己關于教材的思考上，那么學生感知所教的東西就很費力，甚至聽不懂教師的講述.因此，教師所知道的東西，就應當比他在課堂上要講的東西多10倍，多20倍，以便能夠應付自如地掌握教材，到了課堂上，能從大量的事實中挑選出最重要的來講……一個好的教師，并不見得能明察秋毫地預見到他的課將如何發(fā)展，但是他能夠根據課堂本身所提示的學生的思維邏輯和規(guī)律性來選擇那唯一必要的路徑而走下去[2].

學生記憶的消退、認知的遞進性與教材的模塊化等特點決定了教學要循序漸進.教師只有站在學科教學的制高點，才能對教學作長期規(guī)劃與合理布局，教學時才能相機而動.內容理解膚淺，則教學不見本質，索然無味、不解其惑；反之，內容過難則會曲高和寡，學生力不從心，無所適從，自然無法讓知識從容生長.教師要基于學情，因材施教.數學核心素養(yǎng)既相互獨立、又互相交融，是一個有機的整體，它需要學生對問題及時而持續(xù)地反思，進而構建整體結構，理解蘊含于其中的思想方法，進而不斷地領悟并內化為數學素養(yǎng).如推理與運算相互滲透，彼此交融，良好的數形結合能力就是直覺與邏輯齊頭并進的體現.又如例1與例2分別為立體幾何、平面解析幾何問題，但終究為幾何問題.學生只有掌握了平面幾何的基礎知識，才能對立體幾何、平面解析幾何問題進行恰當的處理，才能實現對幾何問題的融會貫通.