陳美霞， 彭燦兵， 陳 琦

(華中科技大學 船舶與海洋工程學院， 武漢 430074)

加筋板結構在船舶、航空航天領域中使用十分廣泛，為降低結構中振動能量的傳遞，有關加筋結構的阻振抑波特性研究日益受到人們的關注[1-12]。

Cremer等[1]最早對結構聲的傳遞衰減進行了系統(tǒng)的研究，提出了大尺寸矩形截面加筋的減振措施，亦被多數學者稱為阻振質量，其對中高頻彎曲波具有良好的阻抑作用[2-3]。劉見華等[4-5]在此基礎上利用單個阻振質量的能量傳遞系數，研究了平行且周期排列的多級阻振質量對平面彎曲波的阻抑特性，具有良好的阻抑效果，但是周期性排列會產生較多的共振穿透頻段。隨后，林永水等[6]進一步拓展研究，采用非等間距布置的多級阻振質量，能增加穿透頻段的衰減量，從而進一步提高其波阻效果。

除了對彎曲波法向入射加筋板進行了分析，部分學者還針對不同入射角度的隔振特性進行了分析。劉見華等[7-8]在考慮了彎曲波斜入射的情況下，采用波動法研究了入射角對單個對稱加筋無限大平板中能量傳遞系數的影響，發(fā)現在特定入射角度下將發(fā)生彎曲波的全透射。通過在角度上進行平均得到擴散場下的平均能量傳遞系數，并對理論分析進行了試驗驗證。王敏慶等[9]采用傅里葉變換在波數域求解了單個對稱加筋無限大平板在集中力作用下功率流分布的解析解，并通過試驗驗證了該方法的正確性，但文中沒有分析加筋參數對平板功率流傳遞的影響。

以上學者都只考慮了對稱加筋的情況，而工程應用中均為偏心加筋結構，已有研究表明：偏心加筋將引起板中彎曲波向面內波的轉換。姚熊亮等[10]采用波動法研究了偏心阻振質量對法向入射彎曲波的阻抑特性，并通過互易實驗驗證了偏心引起的波型轉換，但其只研究了入射角為零的情況。陳攀等[11]通過充分考慮平板面內縱波與剪切波的影響下分析了有限尺寸偏心加筋板的振動響應；但其模型只考慮了結構損耗因子對傳遞功率流的影響，沒有對能量傳遞特性進行深入探討。可以看出，上述學者對加筋板中的能量傳遞問題都做出了相當積極有益的貢獻。

為了研究任意入射角下的偏心加筋板結構能量傳遞特性，本文在劉見華和姚熊亮的基礎上，通過充分考慮由偏心加筋引起的面內縱波與剪切波，建立了任意入射角下的偏心加筋耦合模型；然后采用波動法求解各能量傳遞系數，并與彎曲波法向入射的有限元實際模型對比，驗證了本文偏心加筋板理論模型的正確性；最后，基于該方法研究了波形轉換與能量傳遞系數在頻域與入射角度上的特性，并分析了加筋偏心距、加筋高度-板厚比對傳遞系數的影響，為后續(xù)進一步研究工程實際中的周期偏心加筋板結構動力學特性提供了理論依據。

1 偏心加筋板理論推導

1.1 薄板的運動方程與求解

根據文獻[13]薄板面外與面內自由振動方程為

(1)

(2)

(3)

w(x,y,t)=Afe-jkfxxe-jkfyyejωt

(4)

式中：kfx=kfcosφ,kfy=kfsinφ為與x軸夾角為φ的入射彎曲波在x，y方向的波數分量;薄板彎曲波數kf=(ρhω2/D)1/4；Af為振動幅值。

如圖1所示，半無限大薄板在x方向被截斷，而y方向保持均勻且連續(xù)(不產生散射)。

將基本解式(4)代入式(1)，得到半無限大薄板彎曲運動的波動解(省略時間項)為

w(x,y)=(Af1e-jkfxx+Af2ejkfxx+Af3e-knx+

Af4eknx)e-jkfyy

(5)

圖1 無限大偏心加筋板示意圖

(6)

為求解上式矢量方程，利用矢量場的赫姆霍茲分解，將位移場d分解為標量勢φ(x,y,t)與矢量勢ψ(x,y,t)

(7)

將式(7)代入式(6)，并通過波動方程的拉梅(Lamé)分解得到解耦的勢函數波動方程

(8)

(9)

由上式可知標量勢與矢量勢分別對應于縱波與剪切波，勢函數的基本解為

φ(x,y,t)=Ale-jklxxe-jklyyejωt

(10)

ψ(x,y,t)=Ase-jksxxe-jksyyejωt

(11)

如圖1所示，取入射彎曲波為單位幅值Af=1，根據彈性波的傳播方向可由式(5)～式(11)得到兩半無限板面內外位移的表達式(省略時間項)

u1=(-rlcosφlejklxx1-rssinφsejksxx1)e-jkfyy

(12)

v1=(rlsinφlejklxx1-rscosφsejksxx1)e-jkfyy

(13)

w1=(e-jkfxx1+rejkfxx1+rneknx1)e-jkfyy

(14)

u2=(tlcosφle-jklxx2-tssinφse-jksxx2)e-jkfyy

(15)

v2=(tlsinφle-jklxx2+tscosφse-jksxx2)e-jkfyy

(16)

w2=(te-jkfxx2+tne-knx2)e-jkfyy

(17)

式中：8個待求解系數分別為r,rn,t,tn,rl,rs,tl,ts；而φl,φs分別為縱波與剪切波傳播角，可由耦合處波數關系kfsinφ=klsinφl=kssinφs求得。式中面內位移u，v之間存在耦合，為縱波與剪切波在x,y方向的分量之和，當彎曲波斜入射時必須考慮剪切波的影響。

1.2 偏心加筋運動方程

在運動過程中加筋與板將產生相互作用力，當加筋存在偏心時，將引起薄板面外位移與面內位移發(fā)生耦合，此時需要考慮面內振動響應，因此涉及到加筋在x平面和z平面內的彎曲運動，以及y方向的扭轉運動與軸向伸縮運動。圖2給出了加筋質心位移與平板位移關系示意圖。

圖2 加筋形心位移與板位移關系

從圖2可知，θb為加筋扭轉運動的轉角；e為偏心距(截面形心到平板中面的距離)，不考慮加筋截面的變形，即截面作剛體轉動，由此可得到以板2位移表示的加筋位移

ub=u2x=0-eθb

(18)

vb=v2x=0

(19)

wb=w2x=0

(20)

θb=(?w2/?x)x=0

(21)

偏心加筋板的受力分析，如圖3所示。加強筋的形心在受到均布剪力Fz，Fx、扭矩My以及軸向力Fy激勵時的平衡方程為

(22)

(23)

(24)

(25)

式中：EIz，EIx、GIp、EA分別為加強筋的彎曲剛度、扭轉剛度、拉壓剛度；mb,Jp分別為加強筋單位長度質量與相對于形心的轉動慣量。將加筋位移表達式式(18)～式(21)代入加筋平衡方程，式(22)～式(25)可得到以平板位移為未知量所表示的加筋反力。

1.3 能量傳遞系數求解

將內力、位移表示成關于r,rn,t,tn,rl,rs,tl,ts這8個未知系數的表達式，再通過平板在加筋耦合處的4個位移連續(xù)條件與4個力平衡連續(xù)條件求解各彈性波振動幅值。

位移連續(xù)條件

u1|x=0=u2|x=0

(26)

v1|x=0=v2|x=0

(27)

w1|x=0=w2|x=0

(28)

(29)

力平衡連續(xù)條件

Nxx2-Nxx1=Fx

(30)

Nxy2-Nxy1=Fy

(31)

Vx2-Vx1=Fz

(32)

Mxx2-Mxx1-e·Fx=My

(33)

式中：下標中的數字代表板的編號；平板內力為

(34)

(35)

(36)

(37)

圖3 平板與加筋受力示意圖

將加筋反力與平板內力代入連續(xù)條件可求解平面彎曲波入射下偏心加筋板的面內外位移響應與各彈性波振動幅值。

為計算彎曲波、縱波與剪切波的能量透射系數與反射系數，先分析各類型彈性波所攜帶的能量。取單位寬度(lf=1)入射彎曲波進行分析，如圖4所示。為滿足耦合邊界處波數相等，產生的二次縱波與剪切波的傳播角不再等于彎曲波入射角，因此其波束寬度將發(fā)生改變；由幾何關系得波束寬度ll,s為

(38)

圖4 彎曲波轉換為面內波幾何示意圖

因此對于簡諧運動而言，彎曲波、縱波和剪切波在板中傳遞的平均功率為

(39)

(40)

(41)

將各彈性波幅值r,t,rl,tl,rs,ts代入上式中的Af,l,s，能量傳遞系數為

(42)

式中：Tf、Rf為彎曲波能量透射系數與反射系數，彎曲波透射系數越小則表明阻抑效果越好；Tl、Rl為彎曲波轉換為縱波的透射與反射能量系數，兩者在數值上大小相等，采用ηl表示縱波的能量系數總和；Ts、Rs為彎曲波轉換為剪切波的透射與反射能量系數，兩者在數值上大小相等，采用ηs表示剪切波的能量系數總和。

2 數值計算與特性分析

2.1 方法驗證

為驗證解析方法的正確性，本文將采用解析法計算結果與有限元法計算結果進行對比。若無特殊說明，本文加筋板參數：取板厚h=3 mm，材料密度ρ=7 800 kg/m3，泊松比μ=0.3，彈性模量E=2.1×1011Pa，材料結構損耗因子η=0，加筋取無量綱質量比bH/h2=20、截面尺寸比H/b=5、偏心距e=H/2，對比彎曲波法向入射時兩種方法的響應。

有限元采用ANSYS求解，為充分考慮彎曲波與面內剪切波、縱波的耦合關系，薄板采用Shell63二維單元，加強筋采用Beam188單元。而為了進行有限元建模，必須在無限大板上截取有限區(qū)域進行分析，并補充有限區(qū)域邊界上原本受到的內力；在ANSYS中使用理論上的特征阻抗代替內力將更容易實現，因此可采用Combin14阻尼單元來實現力阻抗的功能，使其與無限大板等效，完全吸收入射波的能量，因此不產生反射，其阻尼值的大小為特征阻抗(單位寬度)乘以網格尺寸。板中各類波的特征阻抗包含彎曲波剪力阻抗、彎矩阻抗與面內縱波、剪切波阻抗，法向入射時與加筋平行的兩邊界(其余邊界、梁類似)上自由度方向分別為Uz、ROTy與Ux、Uy。阻抗值由式(34)～式(37)除以速度計算，從而將有限區(qū)域邊界上的內力位移關系用阻抗代替，其數值大小隨頻率發(fā)生變化?？傮w而言，本文的無反射邊界實為半解析半數值方法。

圖5為有限元模型示意圖，圖中位移激勵為w=1，能同時產生左、右傳播的彎曲波激勵。為保證彎曲波在傳播過程中始終為行波，需約束各節(jié)點繞x軸的轉動。同時為減小位移在寬度方向上駐波效應的影響，本文將各組測點位移進行平均以減小誤差，再根據測點組之間的幅值與相位進行駐波分解[15]，獲得各波型的幅值并代入式(39)～式(42)計算能量系數。

圖5 有限元模型示意圖

圖6(a)～圖6(d)給出了解析法與有限元計算的彎曲波透射與反射能量系數、縱波、剪切波能量系數對比；圖6(d)中有限元方法剪切波分量不超過0.8%，可認為其能量基本為零，可見，對于彎曲波法向入射引起的各彈性波能量系數，兩者吻合良好；且圖6(c)給出了由文獻[10]中方法編程計算得到的結果對比，該文獻進行過偏心加筋的互易實驗驗證，足以說明本方法的正確性。有限元計算結果存在輕微的波動，是由于加強筋兩端的截斷處對板中彎曲波產生散射所致。

在實際結構都會存在阻尼，波在傳播過程中會產生能量損耗，其幅值以指數特性衰減，并根據不同波型的頻散特性具有各自的衰減系數。隨著傳播距離的增加彎曲波幅值以e-ηkfx/4的形式衰減，縱波、剪切波幅值以e-ηkl,sx/2的形式衰減。

因此當實際結構損耗因子η、波數k、邊界與所分析區(qū)域的距離l滿足以下條件時

(43)

由邊界產生的反射波傳遞到分析區(qū)域時其幅值小于原來的5%，可以忽略邊界條件的影響，即可滿足本文理論模型的無限大板假設。

2.2 臨界角與全透射現象分析

為了使研究結論具有通用性以及直觀地呈現出物理特性，圖7～圖10繪制了各能量傳遞系數與無量綱參數的關系。橫軸采用與板厚無關的無量綱頻率kf·h表示，對于薄板其取值范圍為[0，1]；縱軸角度采用sinφ表示，使得某一頻率下的角度平均能量系數等于能量系數沿縱軸方向的積分，各能量系數采用灰度表示。

(a) 透射彎曲波能量系數

(b) 反射彎曲波能量系數

(c) 縱波能量系數

(d) 剪切波能量系數

圖6 偏心加筋板能量傳遞系數對比

Fig.6 Comparison of energy transfer coefficients in eccentrically stiffened plates

(a) 剪切波能量系數ηs

(b) 縱波能量系數ηl

(c) 反射彎曲波能量系數Rf

(d) 透射彎曲波能量系數Tf

圖7 偏心加筋板各能量系數灰度圖

Fig.7 Grayscale of each energy transfer coefficient of eccentrically stiffened plate

因此，當入射角度大于剪切波臨界角時，彎曲波不會轉換為面內波；當入射角度小于剪切波臨界角且大于縱波臨界角時，彎曲波只轉換為剪切波；當入射角小于縱波臨界角時，彎曲波會同時轉換為剪切波與縱波。

由圖7(c)、圖7(d)可知，偏心加筋對彎曲波傳播的阻抑特性中除了波型轉換外，還存在與加筋固有特性相關的全透射現象；彎曲波絕大部分能量在加筋彎曲透射曲線、扭轉透射曲線以及與兩坐標軸圍成的區(qū)域進行傳播，其余區(qū)域將被顯著地阻抑。

當頻率較高或者加筋尺寸較大時，對于加筋在x平面的彎曲運動，其剪力阻抗將遠大于薄板剪力阻抗，因此可以體現出加筋的固有特性，此時如果激勵力在加筋方向上的波數分量與加強筋的自由波數相等，由式可知，加筋對薄板無剪力作用，彎曲波將發(fā)生全透射。高頻段彎曲透射曲線可由kb=kfsinφ計算，加筋面外彎曲運動的波數kb=(mbω2/EIx)0.25因此可得

sinφ=[H2(1-μ2)/h2]-0.25

(44)

可見透射角和加筋高度與板厚比H/h有關，在當前截面參數下彎曲透射曲線sinφ=0.324，其余方向的加筋運動透射曲線同理可得，因此加筋扭轉運動的透射曲線為

(45)

(46)

可見其數值與剪切波臨界角相同，在當前截面參數下高頻段扭轉透射曲線為斜率等于0.49且過原點的直線，對稱加筋的能量系數見圖8(a)。

(a) 偏心距e=0

(b) 偏心距e=3H/8

(c) 偏心距e=H/2

(d) 偏心距e=H

圖8 不同偏心距時的能量傳遞系數

Fig.8 Energy transfer coefficients at different eccentricity

以上主要分析了偏心加筋板能量傳遞系數與入射角度相關的特性，包括縱波、剪切波的臨界角特性，以及加強筋彎曲、扭轉透射的特性。

2.3 偏心距對能量傳遞特性的影響

為了研究偏心距對能量傳遞系數的影響，圖8給出了偏心距e分別取0、3H/8、H/2、H時能量傳遞系數Rf的對比。

圖9給出了等效轉動慣量模型的能量系數，該模型假設轉動中心位于板的中面上，不考慮面內位移，只將轉動慣量在對稱加筋的基礎上加上偏移量mbe2，其他參數不變，等效后的轉動慣量為

(47)

對比圖8(c)與圖9可知，偏心加筋在低頻段的特性與等效加筋模型相同，由式(45)可得扭轉透射曲線斜率接近0.98。這是因為頻率較低時，加筋扭轉運動的彎矩阻抗遠小于薄板彎矩阻抗，因此扭轉運動的轉動中心趨近于薄板中面，從而接近于等效加筋模型的特性。因此偏心加筋板結構在低頻段可采用等效模型進行簡化計算。

而隨著頻率的增加偏心加筋特性最終將趨近于對稱加筋模型，這一現象可通過增加頻率計算范圍或者增大加筋尺寸來觀察，圖10體現了這一特性。這是因為隨著加筋尺寸或者頻率的增加，其扭轉運動的彎矩阻抗將遠大于薄板彎矩阻抗，因此扭轉運動的轉動中心趨近于加筋的形心，從而接近于對稱加筋的特性。

由圖8可知，偏心加筋除了會引起彎曲波轉換為面內波，還將引起加筋扭轉透射曲線向低頻移動，而彎曲透射曲線保持不變。圖10給出了偏心加筋與對稱加筋板的能量傳遞特性簡化示意圖，更加直觀地體現出了加強筋偏心前后的區(qū)別，以及偏心加筋的高頻與低頻特性。加筋運動透射曲線之間的交點A、B、C均可由式(44)～式(45)近似求解，各點坐標為

(a) 反射彎曲波能量系數Rf

(b) 透射彎曲波能量系數Tf

(48)

圖10 偏心加筋板能量傳遞特性簡化示意圖

(49)

(50)

沿縱軸積分可獲得角度平均的彎曲波能量傳遞系數，顯然，在扭轉與彎曲透射曲線的交點B附近的頻段，加筋對任意入射角度的彎曲波具有極大的阻抑效果，此頻率稱為全阻隔頻率Ω，其無量綱值為

(51)

根據上式并結合加筋特性進行分析知，加筋偏心距e、加筋高度-板厚比H/h越大則全阻隔頻率Ω越小，可通過參數的選取有效提高低頻段的阻抑效果。

綜合圖7～圖10可知，除了轉換為面內波外，偏心加筋在低頻段與等效轉動慣量模型具有相同的彎曲波阻抑效果。而在高頻段將趨于對稱加筋模型。偏心的主要作用是有效降低了全阻隔頻率Ω，提高了低頻段的阻振效果，偏心距e與比值H/h越大越好。因此，為了提高加筋的阻振效果，工程中可適當增加其高度與偏心距。

3 結 論

本文基于波動法，研究了彎曲波在偏心加筋板中的能量傳遞特性，結論如下：

(1) 偏心加筋引起的彎曲波向面內波的轉換存在臨界角，只有當入射角小于相應的面內波臨界角時才會有該波型的轉換；且在入射角接近臨界角時彎曲波會大量轉換為面內波，不可忽略偏心距的影響。

(2) 存在與加筋固有特性相關的全透射現象：彎曲波大部分能量在加筋彎曲、扭轉透射曲線以及低頻區(qū)域進行傳播，其余區(qū)域將被顯著地阻抑。

(3) 偏心能有效降低全阻隔頻率，因此為了提高低頻段的阻振效果，可適當增加偏心距e與加筋高度-板厚比H/h。

在下一步研究中，將基于本文理論模型，并結合工程實際，研究周期偏心加筋板結構在擴散場中的能量傳遞特性，同時對邊界假定條件的實際有效性范圍進行進一步的探討。