陳太聰， 張 奇

(華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院 亞熱帶建筑科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510641)

在結(jié)構(gòu)的動力效應(yīng)評價(jià)中，動位移和速度是關(guān)鍵指標(biāo)之一，如場地地震位移、結(jié)構(gòu)振動變形是評價(jià)結(jié)構(gòu)抗震性能的重要參數(shù)[1-2]，速度響應(yīng)也常用于結(jié)構(gòu)阻尼評定[3]。而振動測試實(shí)踐中，通常直接測量的是振動加速度信號，而非動位移和速度信號，此時(shí)可通過對測試得到的加速度時(shí)程進(jìn)行時(shí)域積分獲得位移和速度時(shí)程。但由于測量加速度往往帶有一定程度的噪聲干擾，導(dǎo)致時(shí)域積分得到的速度和位移會產(chǎn)生較大漂移，與真實(shí)響應(yīng)相差甚遠(yuǎn)。Pintelon等的研究[4]表明，采用Newton Cotes型積分公式的傳統(tǒng)時(shí)域積分難以獲得相對準(zhǔn)確的速度或位移，而若采用四階Runge Kutta方法等高階積分算法，干擾噪聲會引起更大的誤差。因此如何由帶噪聲的加速度信號得到較為準(zhǔn)確的速度和位移信息，一直是人們所關(guān)注的問題。

已有積分濾噪方法可以分為時(shí)域法和頻域法兩大類[5]。時(shí)域法中較具代表性的是多項(xiàng)式擬合去除趨勢項(xiàng)法，如陳為真等[6]將該方法用于糾正含直流分量的加速度積分響應(yīng)，積分濾噪效果明顯，但顧名坤等[7]的數(shù)值試驗(yàn)表明，在加速度受到復(fù)雜噪聲影響時(shí)，采用該法積分所得的響應(yīng)效果不理想。因此，針對振動測試實(shí)踐中的復(fù)雜干擾環(huán)境，工程實(shí)際中更多采用的是頻域積分濾噪方法，典型的方法包括數(shù)字濾波法、低頻衰減法和頻率截止法等。

繆惠全等[8]采用數(shù)字濾波法對加速度積分所得速度和位移進(jìn)行校正，可取得較好效果，但濾波的同時(shí)會造成各頻率成分的相位失真，得到的響應(yīng)在時(shí)間上有延遲現(xiàn)象，需做相位糾正。

胡玉梅等[9]在低頻衰減算法中引入目標(biāo)頻率和積分精度兩個參數(shù)，兼顧了趨勢項(xiàng)誤差控制和有效信息保留，但積分精度參數(shù)的取值需要多次調(diào)試。

Brandt等[10]通過對不同積分方法的對比研究，將頻率截止法作為最佳積分濾噪方法之一推薦應(yīng)用。該法操作簡單，直接將帶噪加速度頻域幅值的低頻部分做置零處理，相當(dāng)于理想濾波器去掉低頻成分，然后再根據(jù)加速度、速度、位移頻譜之間的比例關(guān)系，由傅里葉逆變換得到對應(yīng)的時(shí)域波形。方新磊等[11]在此基礎(chǔ)上，又加入了高頻截止濾波，以同時(shí)消除低頻趨勢項(xiàng)和高頻干擾噪聲。總體上而言，頻率截止法易于實(shí)現(xiàn)，積分效果優(yōu)越，但存在對截止頻率的設(shè)置較為敏感的問題。針對該問題，已有數(shù)值研究[12]表明，當(dāng)截止頻率選擇在加速度幅值譜的主瓣或旁瓣的波谷附近時(shí)，積分得到的位移曲線與實(shí)際位移曲線的吻合程度較高，積分誤差較小。由此可見，截止頻率可參考頻譜曲線的形態(tài)來近似設(shè)置，但較為主觀。

實(shí)際上，在其它信號處理領(lǐng)域，已有研究通過譜曲線形態(tài)的擬合來進(jìn)行信號特征提取和降噪處理。如李敏等[13]采用高斯曲線擬合光譜曲線的峰形、峰高和峰位等數(shù)據(jù)，利用擬合得到的特征參量表征光譜信息；李修文等[14]對聲發(fā)射信號的頻譜曲線做平滑處理，最后重構(gòu)回時(shí)域，可以消除有色噪聲的干擾。

在上述頻率截止法和譜曲線研究的基礎(chǔ)上，本文提出一種結(jié)合頻譜能量形態(tài)擬合的頻域積分新思路，定義為有效頻段法，用于加速度信號的積分濾噪。該方法假設(shè)各峰值主頻臨近區(qū)域的頻譜曲線符合高斯函數(shù)分布，根據(jù)該區(qū)域內(nèi)帶噪信號的累積能量變化，擬合得到相關(guān)函數(shù)參數(shù)，從而根據(jù)三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則確定主頻有效信息的分布范圍，進(jìn)而通過各有效頻段內(nèi)的頻域積分和逆傅里葉變換，重構(gòu)得到相應(yīng)的速度和位移信號。文后通過多頻簡諧激勵和隨機(jī)激勵下的數(shù)值模擬算例，開展本文方法與頻率截止法的對比分析，以檢驗(yàn)方法在不同激勵下的積分精度和抗噪性能。

1 頻率截止法的基本原理

因?yàn)楸疚姆椒ㄊ菂⒖碱l率截止法的改進(jìn)研究，因此有必要先簡要介紹頻率截止法的基本計(jì)算原理。

假設(shè)按等時(shí)距Δt測量得到的帶噪加速度信號為X(n)，n=0,1,2,…,N-1，則根據(jù)離散傅里葉變換的基本原理，離散的時(shí)域加速度信號X(n)可轉(zhuǎn)換為頻域內(nèi)若干離散的頻譜信號H(k)，k=0,1,2,…,N-1，其相互轉(zhuǎn)換關(guān)系為[15]

(1)

(2)

式中:N為采樣數(shù)據(jù)量;n為時(shí)刻點(diǎn);k為譜線序列點(diǎn)。

頻率截止法的基本原理是對頻譜中的小于下限截止頻率fL和大于上限截止頻率fU的頻率成分幅值均設(shè)置為零，即認(rèn)為該兩部分完全為噪聲影響，僅保留兩個截止頻率之間的信號。該方法可表達(dá)為

(3)

式中:Fs=1/Δt為采樣頻率。

由傅里葉逆變換公式可知，加速度信號在任一頻率ωk=2πkFs/N處的傅里葉分量可以表達(dá)為

a(ωk,t)=Skejωkt

(4)

式中：Sk為對應(yīng)a(ωk,t)的譜系數(shù)。

當(dāng)初速度和初位移分量為零時(shí)，對加速度信號分量分別進(jìn)行一次積分和二次積分，可得對應(yīng)頻率ωk的速度信號分量和位移信號分量為

(5)

(6)

最后結(jié)合式(1)～式(6)，可得經(jīng)頻率截止后重構(gòu)得到的加速度、速度和位移信號分別為[16]

(7)

(8)

(9)

最終，頻率截止法用于加速度的濾噪和積分濾噪的相關(guān)計(jì)算流程，可總結(jié)如圖1所示。

圖1 頻率截止法的積分流程圖

2 基于有效頻段的頻域積分方法

以上方法在處理含直流分量等低頻噪聲和機(jī)械、電路等引起的高頻噪聲的加速度信號積分時(shí)有較好效果，但工程測量中還會包含如環(huán)境干擾等寬頻噪聲的情況，影響上下限截止頻率之間的頻率分量，頻率截止法無法過濾該部分噪聲，最終將影響積分效果。

此時(shí)，就有必要采用一定標(biāo)準(zhǔn)，重新甄別有效的頻段范圍，可能為間隔的若干段，以替代頻率截止法中定義的單一頻段[fL,fU]，供后續(xù)頻域積分使用。本文將基于這一思路的頻域積分方法稱為有效頻段法，文中也將通過頻譜能量形態(tài)擬合的方式來確定有效頻段的分布范圍。

2.1 分段頻譜曲線形態(tài)假設(shè)

設(shè)實(shí)測加速度信號X(n)的對應(yīng)頻譜H(k)包含m個峰值主頻，按從小到大的順序依次為f1,f2,…,fm。如此整個頻率范圍可按如下方式分為m段

(10)

式中:fmax為頻譜曲線對應(yīng)的最大頻率，在振動測試中一般取為分析頻率，即fmax=Fa=Fs/2.56；或當(dāng)fm距離Fa較遠(yuǎn)時(shí)，也可近似取fmax=(2∶5)fm，對濾波結(jié)果的影響不大。

為了方便后續(xù)分析，上述m個頻段均進(jìn)行歸一化處理，即都?xì)w一化為范圍(0,1]。此時(shí)，假設(shè)每個頻段內(nèi)的頻譜曲線符合相應(yīng)的高斯函數(shù)分布[17]

(11)

式中:i=1,2,…,m；x∈(0,1]為每個頻段內(nèi)的歸一化頻率；參數(shù)ai、bi和ci分別代表高斯函數(shù)的幅值、中心位置和半徑。

基于式(11)定義的頻譜分布形態(tài)，相應(yīng)的每一頻段內(nèi)的頻譜累積能量分布函數(shù)可由下式計(jì)算得到，

(12)

式中:erf(·)為誤差函數(shù);Ei(x)在形態(tài)上表現(xiàn)為反Z型的單調(diào)遞增函數(shù)。

至此，高斯頻譜分布函數(shù)Gi(x)和頻譜累積能量分布函數(shù)Ei(x)均可用于后續(xù)的參數(shù)擬合，以確定高斯函數(shù)中的待定參數(shù)。但實(shí)際計(jì)算表明，基于頻譜Gi(x)的參數(shù)擬合結(jié)果不穩(wěn)定，容易受測試噪聲水平波動的影響；而基于能量Ei(x)的參數(shù)擬合效果較好，受測試噪聲的影響小。因此，本文選用頻譜累積能量分布函數(shù)Ei(x)來進(jìn)行參數(shù)擬合。

(13)

2.2 分段累積信號能量計(jì)算

在第i個歸一化頻段內(nèi)，離散的加速度頻譜信號的累積能量按下式計(jì)算得到

(14)

(15)

2.3 參數(shù)擬合與有效頻段確定

基于式(15)計(jì)算得到的離散數(shù)據(jù)，用式(13)定義的非線性連續(xù)函數(shù)進(jìn)行非線性擬合，迭代收斂后得到參數(shù)bi和ci，其中迭代初值可分別取為0.5和0.5。

如圖2所示為實(shí)際操作中的一個典型例子，顯示了某個歸一化頻段中計(jì)算得到的帶噪信號離散數(shù)據(jù)，以及相應(yīng)擬合得到的頻譜累積能量分布曲線和對應(yīng)的高斯頻譜曲線。

根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)理論，高斯分布函數(shù)在均值位置左右三倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)具有99.73%的保證率[18]，足以表征函數(shù)。因此，第i階主頻能量分布的歸一化有效頻段可按三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則取值如下

[bi-3ci,bi+3ci]

(16)

其相應(yīng)的實(shí)際有效頻段為

(17)

最終，有效頻段法的積分濾噪流程,如圖3所示。有效頻段法的實(shí)現(xiàn)過程與頻率截止法基本相同，然而其通過曲線擬合自動確定最佳的頻域積分范圍，減少了主頻之外的噪聲干擾。

圖2 歸一化頻段內(nèi)的頻譜能量形態(tài)擬合示意

圖3 有效頻段法的積分流程圖

3 數(shù)值算例

如圖4所示為六自由度懸臂梁結(jié)構(gòu)，考慮豎向振動。其各階模態(tài)阻尼比為0.01，質(zhì)量陣和剛度陣為

M=diag(4 4 4 4 4 4)×105kg

圖4 六自由度懸臂梁結(jié)構(gòu)模型

Fig.4 Structural model of a 6-DOFs cantilever beam

設(shè)結(jié)構(gòu)的初始速度和位移均為零，考慮工程中較常見的激勵類型，在結(jié)構(gòu)自由端分別施加豎向的多頻簡諧激勵和白噪聲隨機(jī)激勵，其中簡諧激勵取為

z(t)=200sin 6πt+100sin 20πt+100sin 40πt

然后按Newmark-β法求出加速度、速度和位移響應(yīng)時(shí)程，作為精確參考解。在加速度解中分別加入1%、5%、10%、15%、20%和25%的白噪聲干擾作為觀測加速度。再采用有效頻段法得到速度和位移響應(yīng)，以及修正的加速度響應(yīng)。這里作為對比，同時(shí)采用頻率截止法中常用的低頻截止進(jìn)行相關(guān)響應(yīng)的積分求解，并考察不同的下限截止頻率取值，其表示為第1響應(yīng)主頻f1的不同比例。最后分別與精確參考解進(jìn)行對比，并采用如下定義的總體誤差指標(biāo)來評價(jià)積分精度

(18)

3.1 多頻簡諧激勵情況

在多頻簡諧激勵下，以質(zhì)點(diǎn)3處的豎向響應(yīng)為例，圖5給出了不同噪聲水平下兩種方法的結(jié)果精度對比，圖6～圖8分別給出了25%噪聲水平下兩種方法濾噪后的加速度頻譜對比，積分所得的位移時(shí)程對比，以及取不同下限截止頻率時(shí)的頻率截止法的計(jì)算精度。

圖5 不同噪聲水平下的結(jié)果誤差

由圖5～圖8可知，在簡諧激勵作用下，

(1) 頻率截止法的計(jì)算精度，尤其是對于積分位移響應(yīng)，受下限截止頻率的影響非常大，積分精度與截止頻率間滿足單調(diào)關(guān)系；同時(shí)，隨著噪聲加大，計(jì)算精度變差；

(2) 有效頻段法計(jì)算得到的三種響應(yīng)，在絕大部分情況下均較頻率截止法的結(jié)果精度更高；在25%噪聲水平以下時(shí)，結(jié)果誤差均為1%～2%，即使在25%噪聲干擾下，積分位移也幾乎與精確位移重合。

圖6 25%噪聲下的濾噪后加速度頻譜

圖7 25%噪聲下的位移時(shí)程

圖8 25%噪聲下取不同下限截止頻率時(shí)的位移誤差

3.2 隨機(jī)激勵情況

在隨機(jī)激勵下，同樣以質(zhì)點(diǎn)3處的豎向響應(yīng)為例，圖9給出了不同噪聲水平下兩種方法的結(jié)果精度對比，圖10～圖12分別給出了25%噪聲水平下兩種方法濾噪后的加速度頻譜對比，積分所得的位移時(shí)程對比，以及取不同下限截止頻率時(shí)的頻率截止法的計(jì)算精度。

由圖9～圖12可見，在隨機(jī)激勵作用下，

(1) 頻率截止法的計(jì)算精度，尤其是對于積分位移響應(yīng)，受下限截止頻率的影響同樣非常大，但積分精度與截止頻率間不完全滿足單調(diào)關(guān)系；同時(shí)，隨著噪聲加大，計(jì)算精度同樣容易變差；

圖9 不同噪聲水平下的結(jié)果誤差

圖10 25%噪聲下的濾噪后加速度頻譜

圖11 25%噪聲下的位移時(shí)程

圖12 25%噪聲下取不同下限截止頻率時(shí)的位移誤差

(2) 有效頻段法計(jì)算得到的三種響應(yīng)，在多數(shù)情況下較頻率截止法的結(jié)果精度更高或相當(dāng)；在25%噪聲水平以下時(shí)，結(jié)果受噪聲水平的影響小，誤差在5%～10%間緩慢變化，即使在25%噪聲干擾下，積分位移也非常接近于精確位移。

由圖5和圖9可知，在大于25%噪聲水平的情況下，有效頻段法的積分精度會隨著噪聲加大而迅速變差。其原因不僅在于主頻處的頻譜混入了較大噪聲，噪聲能量還造成了擬合高斯函數(shù)的半徑變大，導(dǎo)致積分頻率范圍擴(kuò)大，從而引入了更多的主頻外的噪聲影響。因此，為了保證積分結(jié)果的可靠性，建議有效頻段法在小于30%的噪聲水平下使用。

4 結(jié) 論

針對工程振動測試實(shí)踐中帶噪加速度信號的積分問題，常用的頻域積分方法如頻率截止法等雖然物理意義明確，操作簡單直接，相關(guān)參數(shù)少，但也存在參數(shù)敏感、截止頻率不易確定等不足。

本文提出有效頻段法以改進(jìn)常規(guī)頻域積分方法，應(yīng)用區(qū)域頻譜形態(tài)的高斯函數(shù)假定，根據(jù)頻譜累積能量曲線擬合函數(shù)參數(shù)，進(jìn)而自動提取主要積分頻段信息，濾除次要頻段及其上的噪聲影響，有效避免了參數(shù)敏感性問題，并提高了積分精度和抗噪性。在應(yīng)用有效頻段法時(shí)，雖然需要知道響應(yīng)的主頻信息作為輸入?yún)?shù)，但該信息僅用于頻域初步分段，而非最終的積分頻段，因此僅需已知主頻的近似取值即可，而這些信息通?？梢酝ㄟ^頻譜分析容易獲得。這一較低的參數(shù)要求特點(diǎn)也有助于有效頻段法在工程實(shí)踐中方便應(yīng)用。

還需說明的是，由于應(yīng)用了傅里葉變換，因此有效頻段法與頻率截止法類似，均僅適用于穩(wěn)態(tài)加速度信號的積分處理，包括簡諧激勵和平穩(wěn)隨機(jī)激勵的實(shí)際情況。針對非穩(wěn)態(tài)加速度信號的積分處理的相關(guān)研究，仍在進(jìn)行中，后續(xù)將另文報(bào)告有關(guān)結(jié)果。