劉麗敏 向修棟 武洪萍

【摘 要】本文主要研究復(fù)積分的幾種常用計(jì)算方法，如參數(shù)方程法，Newton-Leibnitz公式，參數(shù)方程法的重要結(jié)論，Cauchy-Gusa定理，Cauchy積分公式，高階導(dǎo)數(shù)公式，復(fù)合閉路定理，留數(shù)定理等.選取典型例題，針對(duì)每個(gè)例子給出相應(yīng)的方法，比較、分析，歸納總結(jié)出不同類型復(fù)積分的解題技巧。

【關(guān)鍵詞】復(fù)積分;參數(shù)方程法;Cauchy積分公式;留數(shù)定理

中圖分類號(hào)： O174.5;O172.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2019）16-0065-004

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.16.029

Research on Several Common Computational Methods of Complex Integral

LIU Li-min1 XIANG Xiu-dong1，2 WU Hong-ping1，2

（1.Shengli college China university of petroleum， Dongying Shandong 257000， China;

2.China university of petroleum，college of science， Qingdao Shandong 266580， China）

【Abstract】This paper mainly studies the complex integration of several common calculation methods，such as parametric equation method，Newton-Leibnitz formula， an important conclusion parametric equation method，Cauchy-Gusa theorem，Cauchy integral formula，higher derivative formula，complex closed circuit theorem， residue theorem，etc.Select typical examples and give the corresponding method for each example，comparison，analysis，then summarize the different types of complex integrals problem solving techniques.

【Key words】Complex Integral; Parametric Equation Method; Cauchy Integral Formula; Residue Theorem

復(fù)積分是研究解析函數(shù)的有力工具，能靈活運(yùn)用各種方法計(jì)算復(fù)積分是很重要的.本文先系統(tǒng)介紹復(fù)積分的幾種常用計(jì)算方法，并以典型例題進(jìn)行說明，方便能更靈活計(jì)算復(fù)積分。

1 復(fù)積分的幾種常用計(jì)算方法的介紹

1.1 參數(shù)方程法[1]

設(shè)C為一光滑或分段光滑曲線，其參數(shù)方程為：

z=z（t）=x（t）+iy（t），（a≤t≤b），

曲線C的起點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)t=a，C的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)t=b。設(shè)f（z）沿曲線C連續(xù)，則？蘩 f（z）dz=？蘩 ?f（z（t））z'（t）dt。

積分路徑C為開曲線或閉曲線，被積函數(shù)f（z）為解析函數(shù)或不解析函數(shù)，解題時(shí)，均可用參數(shù)方程法。運(yùn)用此方法的解題步驟為：

第一步，畫積分路徑，并標(biāo)明方向。

第二步，寫出積分路徑的參數(shù)方程，z=z（t）=x（t）+iy（t），（t：a→b）。

第三步，一代、二定限.將參數(shù)方程帶入被積表達(dá)式中，簡(jiǎn)稱“一代”;確定積分的上下限，起點(diǎn)參數(shù)t=a對(duì)應(yīng)下限，終點(diǎn)參數(shù)t=b對(duì)應(yīng)上限，簡(jiǎn)稱“二定限”。

1.2 Newton-Leibnitz公式[1]

積分路徑C為開曲線，在單連通區(qū)域D內(nèi)，被積函數(shù)f（z）是解析函數(shù)，則積分結(jié)果與積分路徑C無關(guān)，只與C的起點(diǎn)z0、終點(diǎn)z1有關(guān)，若φ（z）是f（z）的一個(gè)原函數(shù)，則？蘩 ?f（z）dz=φ（z）| ?=φ（z ）-φ（z ）。

1.3 參數(shù)方程法的重要結(jié)論[1-2]

=2πi，n=0; 0， n≠0.

n為整數(shù)，積分路徑C是閉曲線，且是以z0為圓心，r為半徑的正向圓周，被積函數(shù)f（z）= 是分式形式，分子為1，在C所圍成的閉區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)z=z0，且此唯一奇點(diǎn)恰好是C的圓心，解題時(shí)，如果符合此特征，可用此重要結(jié)論，根據(jù)n的情況，直接得結(jié)果.注意被積函數(shù)f（z）中n是以n+1的形式出現(xiàn)的。

1.4 Cauchy-Gusa定理[1]

在單連通區(qū)域D內(nèi)，若函數(shù)f（z）是解析函數(shù)，C為D內(nèi)任一條閉曲線，則 f（z）dz=0。

積分路徑C為閉曲線，被積函數(shù)f（z）是C內(nèi)的解析函數(shù)，即被積函數(shù)在閉曲線C內(nèi)無奇點(diǎn)時(shí)，可直接根據(jù)Cauchy-Gusa定理，判定積分結(jié)果為0。

1.5 Cauchy積分公式[1]

在區(qū)域D內(nèi)，函數(shù)f（z）是解析函數(shù)，C為D內(nèi)的正向簡(jiǎn)單閉曲線，C所圍內(nèi)部全含于D內(nèi)，z0為C內(nèi)部任一點(diǎn)，則f（z0）= ? dz。

實(shí)際求解復(fù)積分過程中，選擇Cauchy積分公式的變形 ?dz=2πi·f（z0）。積分路徑C為閉曲線，在C中被積函數(shù)g（z）= 只有一個(gè)一階極點(diǎn)z0，也就是說，當(dāng)被積函數(shù)在閉曲線C中只有一個(gè)一階極點(diǎn)時(shí)，可選擇用Cauchy積分公式。運(yùn)用此方法的解題步驟為：

第一步，變換被積函數(shù)g（z）的形式，區(qū)分分子和分母，將其表示為g（z）= 。首先確定g（z）在閉曲線C內(nèi)的奇點(diǎn)，即為z0，則z-z0就是分母，剩下的就是分子，故g（z）= 。

第二步，代公式。

1.6 高階導(dǎo)數(shù)公式[1]

若區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)f（z）有各階導(dǎo)數(shù)，且有

f（n）（z0）= ? dz，（n=1，2，…），

其中C為區(qū)域D內(nèi)任一條閉曲線，z0在C中。

在求解復(fù)積分過程中，同樣用的是高階導(dǎo)數(shù)公式的變形 ?dz= ·f（n）（z0）。積分路徑C為閉曲線，被積函數(shù)h（z）= 在C內(nèi)有一個(gè)n+1階極點(diǎn)z0，即被積函數(shù)在閉曲線C內(nèi)只有一個(gè)高階極點(diǎn)時(shí)，可用高階導(dǎo)數(shù)公式解題。運(yùn)用此方法的解題步驟為：

第一步，變換被積函數(shù)h（z）的形式，區(qū)分分子和分母，將其表示為h（z）= 。首先確定h（z）在閉曲線C內(nèi)的奇點(diǎn)，即為z0，則（z-z0）n+1就是分母，剩下的就是分子，故h（z）= 。

第二步，代公式。

1.7 復(fù)合閉路定理[1]

若f（z）在復(fù)合閉路C=C0+C ?+C ?+…+C ?及其所圍成的多連通區(qū)域內(nèi)解析，則

f（z）dz= f（z）dz+ f（z）dz+…+ f（z）dz，

即 f（z）dz=0。

通俗的講，復(fù)合閉路定理就是沿外圈的積分等于沿內(nèi)圈的積分之和。積分路徑C為閉曲線，被積函數(shù)f（z）在C內(nèi)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的奇點(diǎn)時(shí)，可先用復(fù)合閉路定理“挖奇點(diǎn)”，然后在選擇合適的閉曲線內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)的方法（3）（5）（6）去做。

1.8 留數(shù)定理[1-3]

在區(qū)域D內(nèi)，除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1，z2，…，zn外，函數(shù)f（z）處處解析，C是D內(nèi)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，上述n個(gè)孤立奇點(diǎn)在C中，那么

f（z）dz=2πi Re s[f（z），zk]。

積分路徑C為閉曲線，被積函數(shù)f（z）在C內(nèi)有一個(gè)奇點(diǎn)或有多個(gè)奇點(diǎn)時(shí)，可用留數(shù)定理解題.運(yùn)用此方法的解題步驟為：

第一步，找孤立奇點(diǎn)，并判斷孤立奇點(diǎn)的類型。

第二步，計(jì)算函數(shù)f（z）在各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)。

第三步，代公式。沿閉曲線C的積分等于C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)留數(shù)之和的2πi倍。

2 典型例題

例1計(jì)算積分？蘩 Im（z）dz，其中C為從原點(diǎn)（0，0）到（1，1）的直線段。

分析：積分路徑C為開曲線，可寫出其參數(shù)方程，且在復(fù)平面上，被積函數(shù)Im（z）處處不解析，因此只可選擇參數(shù)方程法。

解：積分路徑C如右圖1所示。

C的參數(shù)方程為z=t+it=（1+i）t，t：0→1。

故？蘩 Im（z）dz=？蘩 ?t·（1+i）dt=（1+i）？蘩 ?tdt

=（1+i）· | ?= 。

例2求積分？蘩 ?（2+iz）2dz的值。

分析：積分路徑C為開曲線，沒有具體的積分路徑，只是給出了它的起點(diǎn)1，終點(diǎn)i，在整個(gè)復(fù)平面上，被積函數(shù)（2+iz）2處處解析，所以積分結(jié)果與路徑無關(guān)，只與C的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，可用Newton-Leibnitz公式。

解：因?yàn)椋?+iz）2在復(fù)平面上解析，故積分與路徑無關(guān)，可用Newton-Leibnitz公式來計(jì)算。

積分路徑C為開曲線時(shí)，常用復(fù)積分計(jì)算方法有兩種——參數(shù)方程法和Newton-Leibnitz公式.例1中的被積函數(shù)Im（z）在復(fù)平面上不解析，故只可選擇用參數(shù)方程法。而例2只給出積分路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)，特征明顯，只可選擇用Newton-Leibnitz公式。

例3計(jì)算積分 ?dz，其中C為|z|= 。

分析：積分路徑C為閉曲線，在復(fù)平面上，被積函數(shù) 有兩個(gè)一階極點(diǎn)z=0，z=- ，只有z=0在C內(nèi)，如圖2所示.

法2（參數(shù)方程法的重要結(jié)論結(jié)合Cauchy-Gusa定理）

在內(nèi)無奇點(diǎn)，所以 ?dz只能選擇用Cauchy-Gusa定理; 在C中只有一個(gè)奇點(diǎn)，恰好是圓心，且符合參數(shù)方程法的重要結(jié)論的被積函數(shù)的特征，所以 ?dz可以選擇用參數(shù)方程法的重要結(jié)論.

法3（Cauchy積分公式）

法4（留數(shù)定理）

令f（z）= ，則z1=0，z2=- 為f（z）的兩個(gè)一階極點(diǎn).由圖2，容易看出zi=0位于C的內(nèi)部。由留數(shù)定理，

法3（留數(shù)定理）

令f（z）= ，則z0= 為f（z）的一個(gè)二階極點(diǎn)。由圖3，容易看出z0= 位于C的內(nèi)部。由留數(shù)定理，

f（z）dz=2πi·Res[f（z），z0]

又

Res[f（z）， ]= ?z- ?· = e =i

于是

dz=2πi·i=-2π

例5 求積分 ?dz的值，其中C為|z|=2。

分析：積分路徑C為閉曲線，在復(fù)平面上，被積函數(shù) 有一個(gè)二階極點(diǎn)z=0和一個(gè)一階極點(diǎn)z=1，且都在C內(nèi)，如圖4所示。

解：

法1（參數(shù)方程法）

C的參數(shù)方程為z=2eiθ，θ：0→2π

故 ?dz=？蘩 ? ·2eiθdθ=…

此方法計(jì)算較繁瑣，選擇其他方法。

法2（復(fù)合閉路定理“挖奇點(diǎn)”）

在C內(nèi)作兩個(gè)正向圓周C1和C2，它們即互不相交又互不包含的，C1中只含奇點(diǎn)z=0，C2中只含奇點(diǎn)z=1，如圖5所示，根據(jù)復(fù)合閉路定理，得

其中 在C1內(nèi)有一個(gè)二階極點(diǎn)z=0，可用高階導(dǎo)數(shù)公式或留數(shù)定理，此處選擇用高階導(dǎo)數(shù)公式; 在C2內(nèi)有一個(gè)一階極點(diǎn)z=1，可用Cauchy積分公式或留數(shù)定理，此處選擇用Cauchy積分公式，留數(shù)定理的應(yīng)用見法3。故

dz= ?dz+ ?dz

= ?dz+ ?dz

= ·（ ）'|z=0+2πi· |z=1

= · |z=0-2πi

=-4πi

法3（留數(shù)定理）

令f（z）= ，則z1=0為f（z）的一個(gè)二階極點(diǎn)，z2=1為f（z）的一個(gè)一階極點(diǎn).由圖4，容易看出z1=0和z2=1都位于C的內(nèi)部.由留數(shù)定理，

f（z）dz=2πi Res[f（z），z ]

又

Res[f（z），0]= ?z · ?= ?=-1，

Res[f（z），1]= （z-1）· = ?=-1，

于是

dz=2πi·（-1-1）=-4πi

3 總結(jié)

復(fù)積分的常用計(jì)算方法有參數(shù)方程法、Newton-Leibnitz公式、參數(shù)方程法的重要結(jié)論、Cauchy-Gusa定理、Cauchy積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式、復(fù)合閉路定理、留數(shù)定理。通過例題我們發(fā)現(xiàn)，同一個(gè)問題有多種方法，正所謂“條條大路通羅馬”。因此，有必要用一條線將復(fù)積分的常用計(jì)算方法串起來，方便選擇。

1）當(dāng)積分路徑C為開曲線時(shí)，可選擇參數(shù)方程法和Newton-Leibnitz公式，但需要注意的是Newton-Leibnitz公式要求被積函數(shù)是單連通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，且往往使用此種方法的積分直接帶著積分限，比較好區(qū)分。

2）當(dāng)積分路徑C為閉曲線時(shí)，根據(jù)C內(nèi)奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)劃分為：

被積函數(shù)

（1）若在C內(nèi)無奇點(diǎn)，只能用Cauchy-Gusa定理。

（2）若在C內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)，且：

①若此奇點(diǎn)為單階奇點(diǎn)，則可選擇用Cauchy積分公式和留數(shù)定理。

②若此奇點(diǎn)為高階奇點(diǎn)，則可選擇用高階導(dǎo)數(shù)公式和留數(shù)定理。

③若C是圓周，C內(nèi)的唯一奇點(diǎn)恰好是圓心，被積函數(shù)f（z）= 是分式形式，分子為1，符合參數(shù)方程法的重要結(jié)論，也可選擇用此方法。

（3）若在內(nèi)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的奇點(diǎn)，可選擇先用復(fù)合閉路定理“挖奇點(diǎn)”，保證每個(gè)圓內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)，再選擇合適的方法，亦可選擇直接用留數(shù)定理。

按照上述基本步驟來判斷尋找每個(gè)問題的計(jì)算方法，那么解決有關(guān)復(fù)積分的問題就會(huì)得心應(yīng)手。

【參考文獻(xiàn)】

[1]《復(fù)變函數(shù)與積分變換》編寫組.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社，2011.

[2]楊文鈺.淺析復(fù)積分的計(jì)算方法[J].科技視界，2018，21：149-150.

[3]岳紅云，劉功偉.淺析復(fù)積分的計(jì)算[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018，14：9.