陳蔚芳，鄭德星

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，南京 210016)

以高速、高精加工為主要特征的高速加工是當(dāng)代先進(jìn)制造技術(shù)之一。高速數(shù)控機(jī)床是發(fā)展和應(yīng)用高速加工技術(shù)的基礎(chǔ)，其性能取決于主軸等關(guān)鍵功能部件。角接觸球軸承結(jié)構(gòu)簡單、轉(zhuǎn)速高、摩擦力矩小，可同時(shí)承受徑向和軸向雙向載荷，因而廣泛應(yīng)用于高速主軸單元的支承組件[1]。熱特性是影響角接觸球軸承工作性能的關(guān)鍵因素[2]，針對軸承的生熱和熱傳遞機(jī)制已進(jìn)行了廣泛的研究。

文獻(xiàn)[3]通過對不同類型和尺寸的軸承進(jìn)行試驗(yàn)，擬合出了摩擦力矩計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)公式。文獻(xiàn)[4]研究了滾動(dòng)軸承的擬動(dòng)力學(xué)，采用摩擦力矩計(jì)算軸承摩擦熱，闡釋了油潤滑條件下球軸承和滾子軸承的滾動(dòng)體與滾道接觸的摩擦發(fā)熱功率,黏性拖動(dòng)力摩擦熱,保持架和套圈之間的摩擦熱,以及滾子端面與內(nèi)圈擋邊之間的摩擦熱。文獻(xiàn)[5-9]在此基礎(chǔ)上相繼進(jìn)行了生熱和散熱機(jī)理的建模研究。

當(dāng)前常用的多元回歸方法、最小二乘支持向量機(jī)方法、灰色系統(tǒng)、OBS方法及其組合等大都基于經(jīng)驗(yàn)建模，較少考慮溫升機(jī)理及變化規(guī)律，因而各種影響因素很難耦合進(jìn)熱特性模型中。有限元法可以模擬任意復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，求得其近似解，但存在著邊界條件難以確定的問題。熱網(wǎng)絡(luò)法(熱阻熱容法)是一種熱電比擬的分析方法,具有實(shí)用性強(qiáng)和邊界條件易于處理等優(yōu)點(diǎn),解決了有限元法應(yīng)用于復(fù)雜系統(tǒng)熱分析時(shí)邊界條件難以確定的問題[10]。

文獻(xiàn)[11]基于球軸承DN值試驗(yàn)對角接觸球軸承熱網(wǎng)格模型合理性進(jìn)行了驗(yàn)證，并引入了潤滑油比例因子。文獻(xiàn)[12]考慮球與溝道之間的滾滑摩擦熱,繞流阻力損失以及保持架與套圈之間的滑動(dòng)摩擦熱，建立了基于油氣比較完善的角接觸球軸承的熱網(wǎng)格模型，但其并不適用于高速角接觸球軸承。

現(xiàn)基于熱網(wǎng)絡(luò)法，考慮高速主軸工作時(shí)結(jié)構(gòu)約束,軸承的結(jié)構(gòu)特性,冷卻/潤滑等氣/液特性對熱傳導(dǎo),換熱和散熱特性的影響，研究油氣潤滑條件下高速角接觸球軸承的溫升特性。

1 高速角接觸球軸承生熱機(jī)制

角接觸球軸承外圈安裝于箱體或支架上，內(nèi)圈安裝于軸頸隨軸同步旋轉(zhuǎn)，球在繞軸承中心軸線滾滑的同時(shí)，由于與內(nèi)、外圈之間的摩擦作用而產(chǎn)生陀螺運(yùn)動(dòng)，保持架公轉(zhuǎn)的同時(shí)與球之間發(fā)生碰撞。基于角接觸球軸承的這些工作狀態(tài)，高速角接觸球軸承單元生熱包含以下部分：球與內(nèi)、外溝道的滾動(dòng)、滑動(dòng)摩擦熱；球-潤滑劑繞流阻力損失；保持架-球碰撞功率損失；球自旋功率損失等。

1.1 球-溝道滾動(dòng)摩擦熱

球與溝道之間的滾動(dòng)摩擦熱為

(1)

1.2 球-溝道滑動(dòng)摩擦熱

根據(jù)Hamarock和Dowson點(diǎn)接觸彈流潤滑公式求解油氣潤滑油膜厚度為[14]

(1-0.61e-0.68k)，

(2)

式中：u為球相對滾動(dòng)速度；E0當(dāng)量彈性模量；E為彈性模量，ν為泊松比；k為橢圓率。

把潤滑油看作Newton流體，則油膜切應(yīng)力τ為

τ=ηDz，

(3)

η=η0eαp，

Hc=hmin/Rx，

式中：Dz為剪切速率；η為潤滑劑動(dòng)力黏度;p為壓力；vR為油膜兩表面之間的相對滑動(dòng)速度；Hc為量綱一的中心油膜厚度。

球與溝道之間的滑動(dòng)摩擦熱為

(4)

1.3 球-潤滑劑繞流阻力損失

油氣潤滑情況下，球在軸承腔體內(nèi)高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)會產(chǎn)生拖曳力。球與油氣混合物之間的拖曳效應(yīng)產(chǎn)生的能量損失為

(5)

ρeff=Xρoil+(1-X)ρa(bǔ)ir，

式中：Fd為球的繞流阻力；ωc為球公轉(zhuǎn)速度；Dpw為球組節(jié)圓直徑；Bc為保持架厚度；CD為繞流阻力系數(shù)；ρoil，ρa(bǔ)ir，ρeff分比為油、氣和油氣混合物的密度，X為油氣比例系數(shù)[12]；moil為潤滑劑的質(zhì)量流速；ω為軸承轉(zhuǎn)速。

1.4 保持架-套圈滑動(dòng)摩擦熱

角接觸球軸承的保持架主要有兩類：一類是保持架有引導(dǎo)部；另一類是保持架沒有引導(dǎo)部。對沒有引導(dǎo)部的高速角接觸球軸承，球與保持架之間的摩擦為

(6)

式中：γ，θ，rd為定義的計(jì)算參數(shù)；mb為保持架質(zhì)量；fc為滑動(dòng)摩擦系數(shù)。

1.5 球的自旋功率損失

在高速條件下，球繞軸承軸線以ωc公轉(zhuǎn)，且以角速度ωb做陀螺運(yùn)動(dòng)，則在球與溝道接觸區(qū)內(nèi)的應(yīng)力為

(7)

式中：b為接觸橢圓短半軸。接觸點(diǎn)的相對滑動(dòng)速度為

(8)

參照(4)式，對接觸區(qū)域各點(diǎn)的切應(yīng)力及相對滑動(dòng)速度的乘積積分，可得自旋功率損失為

(9)

2 高速角接觸球軸承熱傳遞

熱傳遞包括熱傳導(dǎo)、熱對流和熱輻射。當(dāng)物體溫度處于200 ℃以下可以不考慮熱輻射。高速機(jī)床主軸負(fù)載工作時(shí)，主軸外表面的溫度在40～80 ℃之間?？紤]主軸結(jié)構(gòu)對軸承的約束，熱輻射對軸承的熱特性影響很小，故不予考慮。

2.1 熱傳導(dǎo)

在角接觸球軸承中，軸承座、套圈、軸以及球-套圈接觸區(qū)域都存在熱傳導(dǎo)關(guān)系。

1)套圈、軸承座和軸都是回轉(zhuǎn)體，將其視作內(nèi)徑為d、外徑為D的圓筒，則熱傳導(dǎo)關(guān)系可視為沿半徑方向的一維熱傳導(dǎo)，熱阻為

(10)

式中：kD為導(dǎo)熱系數(shù)；L為特征長度。

2)球與溝道間的接觸為接觸尺寸遠(yuǎn)小于軸承尺寸的Hertz接觸?？紤]接觸區(qū)域尺寸和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對熱阻的影響，該部位的熱傳導(dǎo)可依據(jù)文獻(xiàn)[15]的模型計(jì)算為

(11)

Pe=Va/α，

式中：Pe為Peclet數(shù)；V為特征速度。

2.2 熱對流

在角接觸球軸承內(nèi)部，熱量由軸承傳給氣/液流體，再由氣/液流體傳給軸承座等其他部件，此外軸承外表面與環(huán)境氣體之間也存在熱對流。對流換熱熱阻為

(12)

式中：A為對流換熱面積；hc為對流換熱系數(shù)；Nu為Nusselt 數(shù)。

1)當(dāng)球在油氣潤滑條件下運(yùn)動(dòng)時(shí)，與周圍的油氣混合物之間會發(fā)生熱量交換。把球近似看作浸在無限大的油氣混合物中，忽略與套圈、保持架及其他球之間的傳熱，則球與周圍油氣混合物之間的熱對流熱阻見(12)式，Nu為[16]

(13)

式中：Re為Reynolds系數(shù)；Pr為 Prandtl 數(shù)；Tbulk為球溫度；Twall為油氣溫度；ρeff，ηeff分別為油氣混合物的密度和黏度；ηoil，ηair分別為油、氣的黏度；αd為擴(kuò)散系數(shù)；Cp為比熱容。

2)套圈及保持架間充滿油氣混合物，當(dāng)其高速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，與油氣混合物之間發(fā)生熱交換，其傳熱關(guān)系可視為同心旋轉(zhuǎn)圓柱模型，Nu為[17]

(14)

式中：εR為內(nèi)外圈之間的徑向間隙；Rinner為外圈內(nèi)側(cè)半徑；μ為油氣混合物黏度系數(shù)。

3)內(nèi)圈側(cè)面會與油氣混合物形成熱對流，內(nèi)圈側(cè)表面可以看作一個(gè)旋轉(zhuǎn)圓盤，Nu為[18]

(15)

4)伸出軸承以外的高速轉(zhuǎn)動(dòng)的主軸部分也會與空氣形成熱對流關(guān)系，Nu為[19]

(16)

Re=VspindleDshaft/vair,

式中：vair為空氣的運(yùn)動(dòng)黏度；Vspindle為主軸表面線速度；Dshaft為主軸直徑。

5)在油氣條件下，油氣進(jìn)入軸承腔體內(nèi)部吸收熱量，流出軸承腔體帶走熱量，其帶走的熱量為

H=ρeffqCp(Toilair-dis-Toilair-in)，

(17)

式中：q為油氣混合物流量；Toilair-dis為油氣排出溫度；Toilair-in為油氣初始輸入溫度。

等價(jià)熱阻值為

(18)

3 熱網(wǎng)格模型

3.1 熱節(jié)點(diǎn)劃分

為便于建立熱網(wǎng)絡(luò)模型，對軸承的外部結(jié)構(gòu)約束進(jìn)行簡化(圖1)。油氣潤滑條件下，考慮高速主軸結(jié)構(gòu)約束的角接觸球軸承熱網(wǎng)格關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)劃分如圖1所示。角接觸球軸承采用通用的外圈供給油/氣方式，圖中：Q1，Q2分別為球與內(nèi)、外圈之間的滾滑摩擦生熱源；Q3為球繞流阻力損失熱源；Q4為球-保持架碰撞功率損失熱源；Q5為球自旋功率損失熱。節(jié)點(diǎn)設(shè)置時(shí)，考慮到油/氣供給孔道尺寸較小且處于機(jī)構(gòu)內(nèi)部，對機(jī)構(gòu)散熱和換熱影響較小，忽略其影響。節(jié)點(diǎn)16設(shè)置于中空主軸中心，其溫度假定與環(huán)境節(jié)點(diǎn)23(22 ℃)一致；徑向外表面節(jié)點(diǎn)11，29以及軸向外表面節(jié)點(diǎn)18，27溫度可由紅外測溫儀測量；遠(yuǎn)端節(jié)點(diǎn)30溫度可視為常溫；外圈節(jié)點(diǎn)12，10溫度可通過直插式傳感器測量；為便于計(jì)算接觸熱阻，在球與內(nèi)外圈接觸處各設(shè)置2個(gè)節(jié)點(diǎn)6，7和8，9；節(jié)點(diǎn)13，28分別設(shè)置于內(nèi)、外圈表面；節(jié)點(diǎn)25，26設(shè)置于內(nèi)圈側(cè)面用于計(jì)算對流換熱熱阻；節(jié)點(diǎn)24，17分別代表入口和出口油氣溫度；節(jié)點(diǎn)21設(shè)置于保持架表面。

圖1 熱網(wǎng)絡(luò)模型Fig.1 Thermal networks model

3.2 熱平衡方程組的建立及求解

依據(jù)Kirchhoff熱流定律，溫度梯度的熱流量為

(19)

式中:Th，Tsur-1為點(diǎn)、面的溫度；Rh-sur-1為熱阻。

二維溫度節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)如圖2所示，圖中：T0為熱源溫度；T1～T4為熱源周邊溫度。依據(jù)熱流平衡原理，有

圖2 二維節(jié)點(diǎn)溫度系統(tǒng)Fig.2 Two-dimensional node temperature system

∑Qg+∑Qd+∑Qv=0，

(20)

式中：Qg為生熱量；Qd為熱傳導(dǎo)熱量；Qv為對流散熱量。對單個(gè)節(jié)點(diǎn)，其散熱量為

(21)

假設(shè)圖1熱網(wǎng)格模型中的任何2個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都存在熱傳遞，則熱平衡方程可表達(dá)為

(22)

因熱阻矩陣與待求節(jié)點(diǎn)溫度有關(guān)，對于此線性方程組需采用迭代法求解。在求解時(shí)，對于不產(chǎn)生熱傳遞關(guān)系的兩節(jié)點(diǎn)間熱阻設(shè)為無窮大。文中設(shè)置節(jié)點(diǎn)量較多，采用Gauss-Seidel法借助MATLAB軟件進(jìn)行求解，計(jì)算對象為某高速主軸前支承7009AC角接觸球軸承，相關(guān)參數(shù)見表1。

表1 熱傳遞計(jì)算參數(shù)Tab.1 Heat transfer calculation parameters

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

試驗(yàn)環(huán)境溫度22 ℃，油冷機(jī)設(shè)置溫度20 ℃，以節(jié)點(diǎn)12的溫度作為測試對象。

4.1 主軸轉(zhuǎn)速對軸承溫升的影響

在供油量0.4 mL/h，空氣流量2.5×10-3m3/s，油運(yùn)動(dòng)黏度22 mm2/s下，軸承溫升的仿真計(jì)算值和試驗(yàn)值隨主軸轉(zhuǎn)速的變化曲線如圖3所示。

圖3 軸承溫升隨轉(zhuǎn)速的變化曲線Fig.3 Variation curve of temperature rise of bearing with rotational speed

由圖3可知，外圈溫升隨轉(zhuǎn)速變化的試驗(yàn)值與仿真值整體吻合較好，溫升隨著轉(zhuǎn)速的增加而增大，在速度低于6 000 r/min時(shí)，試驗(yàn)值與仿真值間的吻合度高。轉(zhuǎn)速低于5 000 r/min時(shí)，隨轉(zhuǎn)速的升高溫升增長較快；轉(zhuǎn)速高于5 000 r/min后，隨著轉(zhuǎn)速的增大溫升增長變慢,這是因?yàn)殡S著轉(zhuǎn)速增大，發(fā)熱量增加,但型腔內(nèi)流體之間的對流換熱增強(qiáng)，因此在一定程度上降低了軸承溫升。

此外，相同轉(zhuǎn)速下的試驗(yàn)值大于仿真值，且隨著速度增大，試驗(yàn)值和仿真值間的誤差逐漸增大。這是因?yàn)殡S著轉(zhuǎn)速的增大，球-潤滑劑繞流阻力增大，生熱增大。該項(xiàng)生熱實(shí)際上位于球表面，自球表面向外傳遞，而仿真時(shí)此熱源位于球中心；仿真試驗(yàn)中沒有全面考慮兩部件接合面的接觸熱阻，僅考慮了球-套圈之間的接觸熱阻；主軸機(jī)械振動(dòng)使得軸承因受到附加的軸向力和徑向力，且隨著轉(zhuǎn)速的增大，振動(dòng)加劇，軸承生熱增加。

4.2 空氣流量對軸承溫升的影響

在供油量0.4 mL/h，油運(yùn)動(dòng)黏度22 mm2/s，主軸轉(zhuǎn)速分別為4 000，8 000 r/min下，軸承溫升的仿真計(jì)算值和試驗(yàn)值隨空氣流量的變化曲線如圖4所示。由圖可知，溫升計(jì)算值和試驗(yàn)值間的誤差較小，且二者都隨空氣流量增大，散熱加強(qiáng)，溫升降低。

圖4 軸承溫升隨空氣流量的變化曲線Fig.4 Variation curve of temperature rise of bearing with air flow rate

4.3 供油量對軸承溫升的影響

在主軸轉(zhuǎn)速8 000 r/min，空氣流量2.5×10-3m3/s，油運(yùn)動(dòng)黏度22 mm2/s下，軸承溫升的計(jì)算仿真值和試驗(yàn)值隨供油量的變化曲線如圖5所示。由圖可知，隨著供油量的增加，軸承溫升先減小后逐漸增大，當(dāng)供油量為0.3 mL/h時(shí)，溫升最低，說明供油量存在一個(gè)最佳值。隨著供油量的增大，潤滑和對流換熱效果增強(qiáng)，溫升降低；當(dāng)達(dá)到最佳值時(shí)，溫升最低；之后隨著供油量的進(jìn)一步加大，球的繞流阻力損失快速增加，生熱增加，溫升增大。

圖5 軸承溫升隨供油量的變化曲線Fig.5 Variation curve of temperature rise of bearing with supplied oil flow rate

5 結(jié)束語

基于熱網(wǎng)絡(luò)法，考慮高速主軸工作時(shí)結(jié)構(gòu)約束、軸承的結(jié)構(gòu)特性、冷卻/潤滑等氣/液特性對熱傳導(dǎo)、換熱和散熱特性的影響，研究了油氣條件下高速角接觸球軸承的溫升特性。對所建熱網(wǎng)格模型進(jìn)行了仿真求解和試驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明仿真結(jié)果和試驗(yàn)值間的誤差較小，證明了所建模型的合理性。運(yùn)用該模型可以更好地預(yù)測高速主軸角接觸球軸承的溫度場及變化，有利于準(zhǔn)確掌握高速主軸的熱特性及變化規(guī)律，提高主軸工作精度和壽命，為高速主軸設(shè)計(jì)提供參考。