吳正海，徐穎強，趙興

(西北工業(yè)大學 機電學院，西安 710072)

空心圓錐滾子軸承作為分離型軸承，可承受徑向、軸向及聯(lián)合載荷，具有可調節(jié)性好和壽命長等優(yōu)點，同時，圓錐滾子的空腔結構有效減小了離心力，增加了散熱表面積和滾子柔性，提高了軸承熱承載性能和回轉精度，被廣泛應用于精密和高速機械設備中。由于圓錐滾子軸承空心度的設計必然會影響軸承剛度特性，進而影響軸承振動、噪聲和壽命等問題，目前90%的滾動軸承采用脂潤滑[1]，故有必要對脂潤滑空心圓錐滾子軸承剛度特性進行分析。

目前，對滾動軸承接觸問題和剛度的研究已經很多，文獻[2]建立了雙列角接觸球軸承動剛度仿真模型，并開發(fā)了角接觸球軸承剛度仿真軟件；文獻[3]采用解析法分析了滾道缺陷、表面粗糙度等對球軸承剛度變化和載荷分布的影響；文獻[4]建立了考慮彈流潤滑影響的球軸承剛度模型，驗證了考慮潤滑效應進行軸承剛度分析的必要性；文獻[5]基于當量彈性模量概念和Palmgren經驗公式分析了空心圓柱滾子軸承接觸變形與載荷的關系；文獻[6]基于彈流潤滑理論和線接觸理論分析了圓柱滾子軸承的接觸剛度；文獻[7]考慮圓錐滾子軸承的承載，對軸承在非潤滑狀態(tài)和動態(tài)工作條件下的剛度變化進行了分析；文獻[8]基于Hertz接觸理論和彈流潤滑理論分析了油潤滑圓錐滾子軸承的徑向剛度；文獻[9]基于Palmgren公式和Lundberg-Sj?val理論對雙列圓錐滾子軸承接觸有限元模型進行修正，并分析了接觸應力分布情況；文獻[10]分析了軸向預載荷作用下的圓錐滾子軸承接觸問題，分析了采用4種典型修形方式下滾子在非潤滑狀態(tài)下的接觸變形和載荷分布；文獻[11]采用切片法建立了非潤滑狀態(tài)下的圓錐滾子與滾道接觸模型，對接觸應力分布進行了分析。

現(xiàn)有文獻對滾動軸承接觸及剛度特性的研究較多，但對脂潤滑空心圓錐滾子軸承接觸及剛度特性的研究較少。鑒于此，在考慮空心圓錐滾子截面屬性的基礎上，基于切片法、曲梁應變和彈性半空間理論對空心圓錐滾子軸承的接觸特性進行分析，并耦合滾子與滾道的接觸剛度和脂膜剛度，對空心圓錐滾子軸承剛度進行分析。

1 脂潤滑空心圓錐滾子軸承剛度

1.1 接觸剛度

空心圓錐滾子軸承的滾子和套圈均屬于非等截面結構，且滾子有效長度小于滾道寬度，因此滾子兩端存在應力邊緣效應，而Hertz線接觸理論無法有效反映應力邊緣效應。空心圓錐滾子與滾道之間屬于非Hertz線接觸問題，力平衡條件和變形協(xié)調條件分別為[10]

(1)

(2)

式中：Ac為接觸區(qū)域；p(x,y)為接觸應力；Q為接觸載荷；E′為當量彈性模量；δ為滾子與套圈的彈性趨近量；z(x,y)為滾子與套圈接觸表面的初始距離。

如圖1所示，采用切片法對滾子與滾道接觸進行處理，將接觸區(qū)域沿滾子素線方向劃分為s個切片單元，每個單元處的接觸寬度為2bi。假定在單元i內接觸應力pi沿素線方向均勻分布，垂直于素線方向為Hertz應力分布,即

(3)

式中：pmi為單元中心處的最大接觸應力。

圖1 滾子切片法

第i個切片接觸變形示意圖如圖2所示，圓錐滾子空心度ε為

(4)

式中：Ri為中性層半徑；R2i為滾子半徑。

圖2 第i個切片接觸變形示意圖

為確定最大接觸應力pmi沿素線的分布規(guī)律，需確定單元i內pmi與接觸半寬bi的關系。圖2中，第i個切片與套圈接觸可視為空心圓柱與實心圓柱的接觸。根據(jù)光彈性試驗，空心圓柱體在集中載荷作用下變形可作為彎曲梁[13]。在載荷Pi作用下，接觸區(qū)域內A1點相較于A2點，會由于彎曲應變比接觸點O增加一個彎曲位移z′。根據(jù)曲梁應變理論[14]，彎曲位移為

(5)

式中：r為接觸點在x軸的位置坐標；ai為切片寬度；ki為截面模量，可查閱文獻[14]。

根據(jù)(2)式，對第i個切片有

(6)

式中:R1i為滾道半徑。

對(6)式關于r求導可得

(7)

又因Pi=0.5πbipmi，則接觸應力pmi與接觸半寬bi的關系為

(8)

對(1)，(2)式進行離散化可得

(9)

(10)

,(11)

式中：s為切片總數(shù);Dji為彈性變形影響系數(shù)，是作用在第i個切片上的單位載荷在第j個切片處產生的位移。

通過(9)，(10)式構成一個(s+1)階非線性方程組，結合接觸應力非負條件p(x,y)≥0，確定最大接觸應力pmi和彈性趨近量δ，則第k個空心圓錐滾子與套圈滾道接觸剛度為

(12)

式中：Qik，Qek分別為滾子與內、外圈滾道的接觸載荷；δik，δek為滾子與內、外圈的彈性接觸變形量。

1.2 潤滑脂膜剛度

考慮空心圓錐滾子軸承的脂潤滑狀態(tài)，假設軸承充分潤滑，根據(jù)潤滑脂Herschel-Buikley流變模型，得到第i個切片單元處的接觸壓力Pi和脂膜厚度h0i的關系為[15]

(13)

式中：le為滾子有效長度；α為黏壓系數(shù)；φ為塑性黏度；Ui為卷吸速度；n為塑性指數(shù)；τy為屈服應力；I(n)為關于n的常量。

在確定脂膜厚度h0i后，對(13)式關于h0i求導可得到第i個切片處的剛度?Pi/?h0i。每個切片的脂膜剛度沿滾子素線屬于并聯(lián)關系，則第k個承載滾子與套圈滾道間的脂膜剛度為

(14)

1.3 軸承承載分析

考慮滾子慣性力的影響，基于Jones擬靜力學模型建立第k個空心滾子的力平衡關系[12]，即

(15)

式中:li,le,lf分別內圈、外圈、擋邊與滾子作用力的力臂；Qfk為擋邊接觸力；Fe為離心力；Me為陀螺力矩;αr為滾子半錐角。

根據(jù)單個空心滾子受載情況，對軸承整體進行載荷平衡分析，軸承力平衡方程為

(16)

式中：m為承載滾子數(shù)量；T為轉換矩陣。

(17)

式中：αi,αf分別為內圈接觸角和擋邊接觸角；φk為第k個滾子的位置角；φFmax為受載最大滾子的位置角。

若已知外載荷F，可以確定單個圓錐滾子接觸載荷，以及滾子與套圈滾道的彈性接觸變形量和潤滑脂膜厚度，然后通過以下分析獲得空心圓錐滾子軸承的剛度。

1.4 空心圓錐滾子軸承剛度

將接觸變形和脂膜厚度變化等效為彈簧變形，則單個滾子與滾道接觸副的剛度可等效為接觸剛度和脂膜剛度串聯(lián)，即

(18)

第k個滾子與滾道接觸副的等效剛度的徑向分量ki(e)kr和軸向分量ki(e)ka為

ki(e)kr=ki(e)kcos2αi(e)，

(19)

ki(e)ka=ki(e)ksin2αi(e)。

(20)

將每個圓錐滾子與內、外圈滾道接觸副剛度的徑向分量串聯(lián)，然后并聯(lián)得到軸承等效徑向剛度為

(21)

將每個圓錐滾子與內、外圈滾道接觸副剛度的軸向分量串聯(lián)，然后并聯(lián)得到軸承等效軸向剛度為

(22)

2 實例分析

軸承主要結構參數(shù)見表1，潤滑脂選用國產聚脲脂，主要參數(shù)見表2。滾子與套圈材料相同，彈性模量為205 GPa，泊松比為0.8。軸承用實心滾子，在分析時設定空心度，且承載最大的滾子中心位于徑向載荷作用線上。

表1 軸承主要結構參數(shù)

表2 潤滑脂流變參數(shù)(30 ℃)

2.1 空心度對軸承剛度的影響

在轉速為2 000 r/min，徑向載荷為15 kN，軸向載荷為5 kN，預緊量為0時，空心度對軸承剛度的影響如圖3所示。由圖可知：隨空心度增大，徑向和軸向剛度均減小。開始時變化較為平緩，當空心度增大到0.2時，剛度減小速度開始增大；當空心度為0.8時，變化又趨于平緩。這是由于空心度越大，同等載荷下的滾子彈性變形也越大，進而導致滾子與滾道的接觸剛度減小，使軸承剛度總體呈減小趨勢。

圖3 空心度對軸承剛度的影響

2.2 轉速對軸承剛度的影響

在徑向載荷為15 kN，軸向載荷為5 kN，空心度為0.6，預緊量為0時，轉速n對軸承剛度的影響如圖4所示。由圖可知：徑向和軸向剛度均隨內圈轉速增大而減小。這是由于隨內圈轉速增大，滾子與滾道間的彈流潤滑卷吸速度和脂膜厚度增大，脂膜剛度減小[16-18]。同時，轉速越大，滾子離心力和陀螺力矩也越大，滾子與內圈滾道的接觸載荷和接觸剛度減小，滾子與外圈滾道的接觸載荷和接觸剛度增大，脂膜剛度和軸承剛度降低。

圖4 轉速對軸承剛度的影響

2.3 載荷對軸承剛度的影響

在轉速為2 000 r/min，空心度為0.6，軸向載荷為5 kN，預緊量為0時，軸承剛度隨徑向載荷Fr的變化如圖5所示。由圖可知：徑向和軸向剛度隨徑向載荷的增大呈先減小后增大的趨勢。這是由于在軸向載荷一定時，剛開始時承載滾子數(shù)量隨徑向載荷增大而減少，軸承剛度減小；隨后軸承為半圈承載狀態(tài)，承載滾子數(shù)不再隨徑向載荷增大而減小，剛度呈增大趨勢。

圖5 徑向載荷對軸承剛度的影響

在轉速為2 000 r/min，空心度為0.6，徑向載荷為5 kN，預緊量為0時，軸承剛度隨軸向載荷Fa的變化如圖6所示。由圖可知：徑向和軸向剛度均隨軸向載荷的增大而增大。這是由于當軸向載荷為1 kN時，承載滾子數(shù)為11，軸向載荷增大到2kN，所有滾子均開始承載，在軸向載荷變化范圍內軸承各剛度均呈增大趨勢。

圖6 軸向載荷對軸承剛度的影響

2.4 預緊量對軸承剛度的影響

在徑向載荷、軸向載荷均為0，空心度為0.6，轉速為2 000 r/min時，軸承剛度隨軸向預緊量δ的變化如圖7所示。由圖可知：徑向和軸向剛度隨軸向預緊量先增大后趨于穩(wěn)定。軸承各剛度剛開始時急劇遞增，在預緊量為25 μm左右時，變化梯度開始減?。淮撕笤陬A緊量增大過程中，剛度變化梯度較為均勻。預緊量增大顯然有助于提高軸承剛度，但預緊量增大勢必會降低軸承壽命，故在滿足軸承壽命和使用要求的前提下，要合理選取預緊量。

圖7 預緊量對軸承剛度的影響

2.5 軸承轉動對軸承剛度的影響

一般在分析軸承剛度時，忽略了軸承轉動對軸承剛度的影響[2-9]。開始時承載最大的滾子幾何中心位于徑向載荷作用線上，使軸承轉動2π/Z角(Z為滾子數(shù))。在徑向載荷為10 kN，軸向載荷為5 kN，空心度為0.6，轉速為2 000 r/min，預緊量為0時，滾子轉動角度對軸承剛度的影響如圖8所示。由圖可知：軸承徑向和軸向剛度均隨滾子轉動角度增大呈周期性波動，且2種剛度波動規(guī)律趨于一致。表明在軸承動力學和疲勞分析時，有必要考慮滾子位置或轉角對軸承剛度的影響。

圖8 滾子轉動角度對軸承剛度的影響

2.6 潤滑脂流變參數(shù)對軸承剛度的影響

在徑向載荷為15 kN，軸向載荷為5 kN，空心度為0.6，轉速為2 000 r/min，預緊量為0時，潤滑脂塑性黏度φ、黏壓系數(shù)α對空心圓錐滾子軸承剛度的影響(在分析其中一個流變參數(shù)影響時，其余參數(shù)保持不變)如圖9所示。由圖可知：隨塑性黏度和黏壓系數(shù)增大，徑向和軸向剛度均減小，且與塑性黏度相比，軸承剛度對黏壓系數(shù)的變化較為敏感。這是由于隨這2個流變參數(shù)增大，膜厚也相應增大，從而導致脂膜剛度減小，軸承剛度也隨之減小。相反，潤滑脂屈服應力對軸承剛度的影響不大，當屈服應力為300 Pa時，徑向剛度、軸向剛度和角剛度分別為2 101.2，55.588 N/μm和243.84 N·m/rad；當屈服應力為460 Pa時，對應剛度分別為2 100.7,55.572 N/μm和243.80 N·m/rad，表明屈服應力對膜厚影響不大，與文獻[15]研究結果一致。

圖9 潤滑脂流變參數(shù)對軸承剛度的影響

3 結論

在考慮空心圓錐滾子截面屬性和脂潤滑效應的基礎上，建立了空心圓錐滾子軸承剛度模型，分析了軸承剛度的影響因素，得出結論：

1)空心度越大，徑向和軸向剛度越小。應針對不同應用場合對剛度的具體要求，根據(jù)影響規(guī)律合理確定空心度。

2)徑向和軸向剛度隨滾子公轉呈周期性波動；隨預緊量增大而增大，且在預緊量較小時變化更顯著；隨徑向載荷增大呈先減小后增大趨勢；隨軸向載荷增大呈增大趨勢，說明滾子承載數(shù)對剛度具有重要影響；隨預緊量增大先增大后趨于穩(wěn)定。

3)徑向和軸向剛度隨潤滑脂塑性黏度和黏壓系數(shù)增大而減小，潤滑脂屈服應力對剛度影響不大。