楊洪偉，寶音賀西

（1.南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，南京 210016；2.清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京 100084）

引 言

小行星探測具有重要的科學(xué)意義和工程價(jià)值，是深空探測的重要方向，小行星探測具有重要的科學(xué)意義[1]，主要包括：探索早期太陽系形成的過程，解釋太陽系的起源和演化[2-4]；研究潛在的危險(xiǎn)小行星的起源和轉(zhuǎn)移機(jī)理，評估與地球相撞的風(fēng)險(xiǎn)[3,5-6]；尋找地球生命起源的證據(jù)][3-4]等。其次，小行星探測能推動(dòng)航天工程技術(shù)的發(fā)展。已開展的小行星探測任務(wù)周期長、風(fēng)險(xiǎn)高、技術(shù)難度大，帶動(dòng)了測控、自主導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制、軌道設(shè)計(jì)理論、采樣返回等技術(shù)的進(jìn)步和突破。此外，小行星中還蘊(yùn)藏著豐富的礦產(chǎn)（金屬）資源[3-4]，未來開采小行星有望帶來巨大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值。小行星探測已成為當(dāng)前深空探測的主要和重要方向之一[1,7]。

近年來，全球掀起了小行星探測的熱潮，各航天國家制定和開展了各類探測任務(wù)，通過多種的探測手段對不同類型小行星進(jìn)行探測。小行星探測任務(wù)最早可以追溯到上世紀(jì)90年代，1991年10月，木星探測器“Galileo號”在飛往木星的途中以飛越的形式順訪了小行星951 Gaspra，實(shí)現(xiàn)了人類首次近距離探測小行星。進(jìn)入21世紀(jì)以來，人類加快了探測小行星的步伐，多個(gè)國家的航天機(jī)構(gòu)相繼開展了小行星探測相關(guān)任務(wù)，如表1所示。

至今已有5項(xiàng)任務(wù)是以小行星探測為主要目標(biāo)而開展的，包括美國的NEAR Shoemaker、Dawn 和OSIRIS - REx 及日 本 的 Hayabusa 和 Hayabusa 2。NEAR Shoemaker 探測器在2000年成功交會(huì)小行星433 Eros 進(jìn)入環(huán)繞軌道，之后于2001年2月成功著陸，成為人類首個(gè)登陸小行星的探測器[1]。Hayabusa探測器在2005年11月完成了對小行星25143 Itokawa的取樣，并于2010年6月將樣品送回地球，首次實(shí)現(xiàn)了小行星采樣返回[9-10]?！袄杳魈枴碧綔y器為首個(gè)主小行星帶多目標(biāo)交會(huì)探測器[11]，其在2011年成功交會(huì)并繞飛了小行星Vesta 后離開并飛往小行星Ceres，2015年3月成功地飛抵了小行星Ceres。近年來發(fā)射且仍在發(fā)往目標(biāo)小行星途中的Hayabusa 2[10]和OSIRISREx[5]分別是日本和美國的小行星采樣返回任務(wù)。

除美國和日本的小行星探測任務(wù)外，歐洲的“Rosetta號”彗星探測器在飛往彗星67P/Churyumov-Gerasimenko 的途中以飛越形式探測了小行星2867 Steins 和 21 Lutetia[12]。該探測器在 2014年10月釋放登陸器Philae并成功實(shí)現(xiàn)了彗星表面著陸。歐洲也曾提出MarcoPolo-R[2]等小行星探測任務(wù)。中國的“嫦娥2號”探測器在完成月球探測和第一次拓展任務(wù)（探訪拉格朗日點(diǎn)）之后以飛越的形式探訪了小行星4179 Toutatis，首次獲得了該小行星的近距離圖片[13]。

小行星附近的飛行任務(wù)極具挑戰(zhàn)性。日本的Hayabusa 探測器在執(zhí)行小行星著陸采樣任務(wù)前曾釋放著陸器MINERVA，但是該著陸器在接觸小行星表面后發(fā)生逃逸而未能成功實(shí)現(xiàn)著陸目標(biāo)；而Hayabu‐sa 探測器第一次嘗試表面附著也未能成功[10]。Mon‐delo 等也指出“黎明號”探測器從Vesta 的高軌至低軌的轉(zhuǎn)移過程中需要穿越1∶1 共振區(qū)，可能引起探測器混沌運(yùn)動(dòng)而導(dǎo)致危險(xiǎn)[14]。

表1 國內(nèi)外小行星探測相關(guān)的任務(wù)Table 1 Asteroid exploration related tasks both domestic and foreign

小行星附近制導(dǎo)和控制主要存在以下難點(diǎn)：①小行星附近動(dòng)力學(xué)環(huán)境復(fù)雜[4,15]、軌道設(shè)計(jì)難度大、小行星形狀各異且不規(guī)則導(dǎo)致小行星附近復(fù)雜而不規(guī)則的引力場，傳統(tǒng)的開普勒軌道設(shè)計(jì)理論以及攝動(dòng)理論難以適用于小行星附近的軌道精確設(shè)計(jì)，此外，小行星附近除受到小行星引力外還受到太陽光壓和太陽引力等攝動(dòng)力的影響[16]；②小行星與地球距離遙遠(yuǎn)存在通信延時(shí)，地面無法實(shí)時(shí)操控探測器；③小行星物理參數(shù)缺乏先驗(yàn)信息、具有不確定性[15]、小行星體積小，地面觀測難以獲得精確的信息；④小行星數(shù)目繁多，不同小行星物理參數(shù)差異大，而不同探測任務(wù)目標(biāo)各異，導(dǎo)致在小行星探測任務(wù)之前沒有物理參數(shù)的精確信息，探測器在飛行過程中根據(jù)最新的測量信息進(jìn)行快速軌跡規(guī)劃或者實(shí)時(shí)控制將有助于任務(wù)的完成；⑤小行星采樣返回等任務(wù)中著陸控制精度要求高[15,17]。小行星引力相對大行星和月球引力十分微弱，導(dǎo)致其表面的逃逸速度很小，因此，為實(shí)現(xiàn)精確且安全著陸目標(biāo)位置需要精確、抗干擾的魯棒控制策略。

根據(jù)上述難點(diǎn)，小行星附近制導(dǎo)和控制問題主要包括以下幾個(gè)方面：

1）如何在小行星不規(guī)則的引力場中設(shè)計(jì)軌道和有效的控制律。

2）如何快速規(guī)劃不規(guī)則引力場中的最優(yōu)軌跡或?qū)崟r(shí)求解制導(dǎo)律。

3）如何保證不確定性力學(xué)環(huán)境中制導(dǎo)與控制的魯棒性。小行星附近制導(dǎo)和控制問題是小行星探測任務(wù)迫切需要解決的關(guān)鍵問題[7]。解決該類問題，可以有效地保障小行星探測任務(wù)的成功開展。

隨著小行星探測任務(wù)的開展，小行星附近制導(dǎo)與軌道控制已經(jīng)成為當(dāng)前航天工程的研究熱點(diǎn)，國內(nèi)外學(xué)者在這一領(lǐng)域已經(jīng)開展了豐富的研究。本文首先介紹小行星附近制導(dǎo)與軌道控制的基礎(chǔ)即動(dòng)力學(xué)模型的研究現(xiàn)狀，然后依次介紹小行星附近懸停和繞飛控制、轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)、著陸制導(dǎo)與控制的研究現(xiàn)狀。

1 小行星附近動(dòng)力學(xué)研究現(xiàn)狀

小行星附近的動(dòng)力學(xué)研究是小行星附近制導(dǎo)與軌道控制的基礎(chǔ)。本節(jié)將介紹小行星動(dòng)力學(xué)模型以及小行星動(dòng)力學(xué)的相關(guān)研究與制導(dǎo)、控制的聯(lián)系。

首先，研究小行星附近制導(dǎo)與軌道控制需要合理的小行星動(dòng)力學(xué)模型。由于小行星形狀的不規(guī)則性，其引力場也具有不規(guī)則性。用于描述一般不規(guī)則引力場的方法包括[7,18]：球諧函數(shù)法、橢球諧函數(shù)法、質(zhì)點(diǎn)群法、多面體方法等。

球諧函數(shù)法是經(jīng)典的非球形引力場建模方法[4,7,18]，其優(yōu)點(diǎn)在于引力場解析、計(jì)算效率高，但球諧函數(shù)方法缺點(diǎn)是在小行星外接球范圍之內(nèi)難以收斂[19]，無法精確描述小行星表面附近區(qū)域的動(dòng)力學(xué)。

橢球諧函數(shù)法是球諧函數(shù)法的一種的改進(jìn)，可以顯著增加收斂域[4,7,18]。但橢球諧函數(shù)法仍存在球諧系數(shù)法類似的缺陷，即收斂速度隨著相對參考橢球邊界距離減小而迅速下降[18]。因此，在距小行星表面較遠(yuǎn)的區(qū)域，制導(dǎo)與控制可采用（橢）球諧函數(shù)法。

質(zhì)點(diǎn)群法是建立小行星不規(guī)則引力場的一種簡單而直觀的方法，但是該方法的計(jì)算量會(huì)隨著質(zhì)點(diǎn)數(shù)目增多而急劇增加。此外，質(zhì)點(diǎn)群法以及球諧函數(shù)法和橢球諧函數(shù)法均無法直接提供小行星表面碰撞檢測[18]。

多面體方法最早由Werner和Scheeres提出并用于對小行星4769 Castalia 的建模[20-21]。該方法通過將小行星劃分成有限個(gè)多面體進(jìn)行建模，可以得到小行星引力勢及其導(dǎo)數(shù)的解析表達(dá)式[21]。由于多面體方法可以精確描述小行星附近的引力場，因此在小行星附近的制導(dǎo)與控制的研究中也得到了廣泛應(yīng)用。NEARShoemaker任務(wù)中探測器在小行星附近的軌跡規(guī)劃也用于了該方法[22]。此外，多面體方法可以方便地用于判斷探測器是否與小行星表面發(fā)生碰撞。因此，要獲得精確的軌道或者涉及表面碰撞檢測問題，可采用多面體方法。

小行星附近的動(dòng)力學(xué)研究可以為小行星附近制導(dǎo)與控制提供基礎(chǔ)。小行星附近的動(dòng)力學(xué)研究包括小行星平衡點(diǎn)及流形[23]、周期軌道[24]、表面運(yùn)動(dòng)[25]、共振[26]等。這些動(dòng)力學(xué)研究與小行星附近制導(dǎo)與控制的聯(lián)系分布體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1）小行星平衡點(diǎn)研究可以為小行星本體系懸?？刂铺峁┗A(chǔ)，而利用不變流形可以構(gòu)造平衡點(diǎn)（間）的同宿或異宿軌道用于低能量轉(zhuǎn)移；不變流形也可以用于設(shè)計(jì)小行星表面著陸軌道和逃逸軌道。

2）小行星附近周期軌道或擬周期軌道，可以用于小行星附近繞飛軌道的標(biāo)稱軌道。

3）小行星表面運(yùn)動(dòng)研究提供小行星表面運(yùn)動(dòng)的機(jī)理，可以為小行星表面著陸任務(wù)制導(dǎo)與控制提供動(dòng)力學(xué)模型。

4）小行星附近軌道共振現(xiàn)象提供了一種逃逸的機(jī)理。

2 小行星附近制導(dǎo)與控制研究進(jìn)展

2.1 小行星附近懸?？刂?/h3>

小行星附近的懸停包括慣性系懸停和本體系懸停[1,27]。慣性系懸停有利于小行星表面全球測繪等；而本體系懸?？梢杂糜趯μ囟▍^(qū)域的高分辨率測量，而且有利于簡化小行星采樣返回任務(wù)中的下降和上升機(jī)動(dòng)[27]。小行星近距離探測懸停控制方面的研究以本體系懸停為主，下面將側(cè)重介紹這方面的研究。

本體系懸停需要利用主動(dòng)控制抵消引力和離心力等模型力。為了實(shí)現(xiàn)懸停，探測器的推進(jìn)系統(tǒng)必須具備平衡其他模型力的能力。近年來發(fā)表的文獻(xiàn)對太陽帆和小推力探測器在小行星附近的懸停區(qū)域進(jìn)行了研究。Williams 和Abate[28]研究了球形小行星附近理想太陽帆的懸?？尚袇^(qū)域并做了參數(shù)分析。Zeng 等[29]進(jìn)一步考慮了非理想太陽帆情形下的懸?？尚袇^(qū)域。而Yang 等[30]和Zeng 等[31]對細(xì)長型小行星附近懸停展開了研究，分別分析了小推力和太陽帆推進(jìn)下探測器的懸?？尚袇^(qū)域。上述研究關(guān)注的重點(diǎn)是懸停所需標(biāo)稱力的大小以及在推力大小約束條件下探測器可以懸停的區(qū)域。由于采用的控制方式為開環(huán)控制，無法保證懸停區(qū)域內(nèi)所有點(diǎn)的穩(wěn)定性。

而本體系懸停閉環(huán)控制可以幫助探測器在目標(biāo)懸停點(diǎn)處實(shí)現(xiàn)長期保持，也是小行星懸停研究的一個(gè)重要方向。Sawai 和Scheeres[32]提出了僅使用測高儀的懸?？刂?，優(yōu)點(diǎn)在于測量簡單。該研究推導(dǎo)了探測器在測量方向始終保持靜止條件下的穩(wěn)定條件并搜索了小行星附近的穩(wěn)定區(qū)域。但在實(shí)際工程中難以滿足該方法的假設(shè)條件。Broschart和Scheeres[27]結(jié)合死區(qū)控制進(jìn)一步發(fā)展了該懸?？刂品椒?，使其更加符合工程實(shí)際。前述兩種方法中受控系統(tǒng)的穩(wěn)定性是基于懸停點(diǎn)附近的線性化方程推導(dǎo)的，因此只能保證線性穩(wěn)定性。而滑?？刂茖儆诜蔷€性控制方法，具有全局穩(wěn)定性的優(yōu)點(diǎn)。Furfaro[33]利用高階滑模理論推導(dǎo)得到了Bang-Bang類型的懸?？刂撇呗浴Ｇ笆鲅芯慷际腔诶@主軸自轉(zhuǎn)的小行星開展的，然而小行星中還存在“翻滾型”的小行星。Nazari 等[34]則針對非主軸自轉(zhuǎn)小行星附近的懸?？刂崎_展了研究。除了懸停軌道控制研究之外，懸停時(shí)姿態(tài)控制也得到了研究人員的關(guān)注。Liu 等[35]在研究控制能力有限情形下的懸?？刂茣r(shí)，同時(shí)考慮了軌道控制和姿態(tài)控制。Wang和Xu[36]還利用非正則哈密頓結(jié)構(gòu)給出了懸停的軌道和姿態(tài)控制。Lee 等[37]以及 Lee 和 Vukovich[38]利用李群 SE（3）對小行星附近探測器進(jìn)行姿軌耦合動(dòng)力學(xué)建模，并給出了魯棒的姿軌耦合懸停策略。

小行星附近的自然平衡點(diǎn)由于其受力特點(diǎn)，探測器有望在該處實(shí)現(xiàn)低消耗的長期懸停保持。小行星平衡點(diǎn)及附近軌道以動(dòng)力學(xué)研究為主，而保持控制研究相對較少。Woo 和 Misra[39-40]以及 Yang 等[41]分別給出了雙小行星和細(xì)長型小行星平衡點(diǎn)附近的軌道保持控制方法。

2.2 小行星附近繞飛軌道設(shè)計(jì)與控制

小行星附近自然繞飛軌道的解析分析和設(shè)計(jì)通常采用描述受攝軌道根數(shù)變化的Lagrange 行星方程[19,42-43]。Scheeres 等[43]利用平均軌道根數(shù)推導(dǎo)得到了小行星4179 Toutatis附近擬周期的凍結(jié)軌道，并發(fā)現(xiàn)其中部分軌道是穩(wěn)定的。Scheeres等[42]進(jìn)一步推導(dǎo)了太陽光壓攝動(dòng)和小行星引力共同作用下的凍結(jié)軌道。小行星附近自然周期軌道數(shù)值求解則通常借助龐加萊截面降維并利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行微分修正[19]。對于多條周期軌道的求解，Scheeres等[19]提出采用已知周期軌道為雅克比常數(shù)微小差異的相鄰周期軌道提供初值。Hu和Scheeres[44]發(fā)展了該方法使之更加自動(dòng)化并應(yīng)用于小行星二階引力場周期軌道的搜索和求解。Yu 和Baoyin[24]提出了一種包含全局搜索和數(shù)值延拓的小行星附近三維周期軌道的搜索求解算法，找到了小行星216 Kleopatra 附近大量的周期軌道族。Shang等[45]則針對同步雙小行星系統(tǒng)給出了一種周期軌道的全局搜索算法。

對于不穩(wěn)定的小行星繞飛軌道，軌道保持控制十分必要。崔祜濤等[46]推導(dǎo)了受控繞飛軌道的穩(wěn)定性條件并以此條件作為滑動(dòng)模設(shè)計(jì)最優(yōu)保持控制律。在該研究中，繞飛軌道距離小行星較遠(yuǎn)，因此小天體的引力微弱可以考慮為攝動(dòng)力。而陳楊[47]則考慮了離小天體表面較近的繞飛軌道，通過多面體方法描述小天體的引力，并利用線性二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)器方法對繞飛軌道進(jìn)行主動(dòng)控制。陳楊[47]研究的軌道控制屬于軌道跟蹤控制，必須先設(shè)置標(biāo)稱軌道，通過跟蹤誤差反饋獲得控制力。而Guelman[48]定義了一種沿2 個(gè)方向的簡單控制策略，可以使得探測器收斂至目標(biāo)軌道并保持，該控制方法不需要利用跟蹤誤差反饋。上述3種方法均假設(shè)探測器可以提供連續(xù)的推力。Kikuchi等[49]考慮了利用脈沖控制保持繞飛軌道，提出了脈沖輔助周期軌道的概念，利用脈沖控制繞飛軌道的穩(wěn)定性。此外，Yárnoz 等[50]提出了借助太陽光壓力調(diào)整探測器在小行星附近的飛行軌道并給出了可能可變面值比的構(gòu)型和應(yīng)用。

2.3 小行星附近轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)與控制

小行星附近轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)的研究主要包括利用不變流形的軌道設(shè)計(jì)和脈沖機(jī)動(dòng)的軌道設(shè)計(jì)。Mondelo等[14]利用1∶1共振軌道流形設(shè)計(jì)了小行星Vesta高軌環(huán)繞軌道至低軌環(huán)繞軌道的轉(zhuǎn)移軌道。Liu 等[51]研究了小行星立方體模型自然平衡點(diǎn)的同宿和異宿轉(zhuǎn)移軌道，可以實(shí)現(xiàn)平衡點(diǎn)（間）的無消耗轉(zhuǎn)移。但是無消耗的異宿轉(zhuǎn)移軌道要求初末平衡點(diǎn)處的能量相同，具有一定局限性。而利用雙脈沖轉(zhuǎn)移軌道則可以突破這一限制。雙脈沖軌道的設(shè)計(jì)則相當(dāng)于不規(guī)則引力場中Lambert 問題。為解決打靶法求解不規(guī)則引力場中軌道設(shè)計(jì)時(shí)的初值問題，Yang等[52]提出了一種3步求解方法，設(shè)計(jì)了小行星Eros 平衡點(diǎn)間的轉(zhuǎn)移軌道。雙脈沖轉(zhuǎn)移軌道也可以應(yīng)用于小行星表面不同點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)移。Shen 等[53]結(jié)合路徑優(yōu)化技術(shù)，給出了小行星Eros 和Kleopatra 表面不同點(diǎn)之間的最優(yōu)轉(zhuǎn)移路徑。轉(zhuǎn)移軌道的一個(gè)重要用途是轉(zhuǎn)移過程中探測器可以對小行星進(jìn)行觀測。針對脈沖機(jī)動(dòng)軌道觀測小行星表面不同區(qū)域并同時(shí)考慮目標(biāo)區(qū)域觀測時(shí)長的問題，Surovik和Scheeres[54]根據(jù)探測器在表面區(qū)域上面球錐空間中的飛行時(shí)間提出了觀測約束條件，并發(fā)展了目標(biāo)可達(dá)性圖及計(jì)算方法。

除脈沖機(jī)動(dòng)外，連續(xù)推力作用下的小行星附近轉(zhuǎn)移軌道控制研究也吸引了國內(nèi)外學(xué)者。這類軌道控制通常是指在連續(xù)控制的作用下轉(zhuǎn)移至目標(biāo)點(diǎn)或目標(biāo)軌道。Furfaro[33]、 Lee 等[37]和 Yang 等[55]研究的懸?？刂扑惴ǔ藨彝１３止δ芤酝膺€可以實(shí)現(xiàn)在有限時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)懸停點(diǎn)。這3種控制方法均基于滑?？刂疲哂恤敯粜?。Guelman[48]研究的繞飛軌道控制也可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)移至目標(biāo)軌道，其優(yōu)點(diǎn)在于控制策略簡單。此外，Hawkins 等[56]研究的小行星附近的ZEM/ZEV（Zero-Effort-Miss/Zero-Effort-Velocity）最優(yōu)反饋制導(dǎo)方法也可以用于轉(zhuǎn)移至目標(biāo)軌道，其優(yōu)點(diǎn)在于具有最優(yōu)特性。

2.4 小行星表面著陸制導(dǎo)

小行星著陸制導(dǎo)律的一種常見方法是通過初末位置和速度狀態(tài)擬合三次多項(xiàng)式獲得著陸過程中所需的加速度。該方法優(yōu)點(diǎn)在于制導(dǎo)律解析、應(yīng)用簡單，但該方法在設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的過程中無法考慮狀態(tài)量和控制的過程約束，而通過軌跡優(yōu)化方法獲得著陸最優(yōu)制導(dǎo)律則可以考慮過程約束。

小行星著陸最優(yōu)制導(dǎo)研究方法包括直接法和間接法。直接法求解小行星連續(xù)推力著陸軌跡優(yōu)化問題時(shí)，一種常見的方式是將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題然后通過偽譜法求解[57-59]。凸優(yōu)化方法由于可以保證收斂性及全局最優(yōu)性，在小行星表面著陸軌跡優(yōu)化中也得到了應(yīng)用。Pinson 和Lu[60]在Acikmese 和Ploen[61]提出的火星著陸軌跡凸優(yōu)化方法的基礎(chǔ)上應(yīng)用逐次SSM（Successive Solution Method）求解方法[62]解決了小行星不規(guī)則引力場問題進(jìn)而將著陸問題轉(zhuǎn)化為二次錐規(guī)劃問題（Second-Order Cone Program‐ming，SOCP）進(jìn)行凸優(yōu)化求解。該方法解決了燃料最優(yōu)問題的凸優(yōu)化求解，但并不能直接求解時(shí)間最優(yōu)問題。Yang 等[63]利用可凸化最小著陸誤差問題[64]與著陸時(shí)間最優(yōu)問題建立的等價(jià)聯(lián)系，并根據(jù)最小著陸誤差問題的特性給出了時(shí)間最優(yōu)軌跡的快速求解方法。間接法也是小行星表面著陸軌跡優(yōu)化的一個(gè)重要研究方向。Guelman 和Harel[65]對質(zhì)點(diǎn)引力場的小行星推導(dǎo)了能量最優(yōu)控制律并得到了垂直著陸軌跡。Lantoine 和Braun[16]進(jìn)一步考慮了不規(guī)則引力場中燃料最優(yōu)著陸軌跡的問題。該研究利用直接法粗略求解提供初值，然后利用間接法進(jìn)行精確求解。間接法求解初值問題的另外一種有效的求解途徑是同倫法。Yang等[66]為了解決最優(yōu)Bang-Bang控制導(dǎo)致的收斂困難，將日心轉(zhuǎn)移段燃料最優(yōu)軌跡求解方法中的同倫方法[67]推廣至不規(guī)則引力場。張鵬為了進(jìn)一步提高求解效率，提出利用廣義徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)降低同倫法打靶求解計(jì)算量[59]。

直接法和間接法的研究大多是基于動(dòng)力學(xué)模型確定的條件展開的。而Ren和Shan[68]則研究了小行星引力場不確定情形下的最優(yōu)控制。Hu 等[57]考慮了小行星著陸時(shí)的各類誤差，提出了一種“誤差失敏型”的最優(yōu)著陸軌跡，在使用開環(huán)最優(yōu)軌跡時(shí)可以有效降低由于各類誤差導(dǎo)致的著陸誤差。但是，通過軌跡優(yōu)化方法獲得最優(yōu)制導(dǎo)律難以保證求解的實(shí)時(shí)性。

Hawkins 等[56]提出的 ZEM/ZEV 是一類反饋?zhàn)顑?yōu)制導(dǎo)方法。但該方法與多項(xiàng)式制導(dǎo)類似，無法考慮過程約束。Furfaro 等[69]和Yang 等[55]分別提出了多滑模面制導(dǎo)和終端滑模制導(dǎo)方法。這類方法獲得了制導(dǎo)律解析且在有界擾動(dòng)下具有全局穩(wěn)定性，但該方法也無法考慮過程約束。為了實(shí)現(xiàn)快速求解且保障推力大小約束，Yang 等[70]提出一種通過解耦動(dòng)力學(xué)模型和控制約束的求解次優(yōu)制導(dǎo)律方法，該方法計(jì)算過程中控制力切換點(diǎn)的表達(dá)式解析適合實(shí)時(shí)求解。

2.5 小行星表面著陸軌跡閉環(huán)控制

小行星表面著陸最優(yōu)軌跡求解得到的控制律為開環(huán)控制。為了保證探測器在存在受擾情形下完成著陸任務(wù)，國內(nèi)外學(xué)者對小行星表面著陸的閉環(huán)控制開展了大量的研究。對于脈沖機(jī)動(dòng)方式，崔平遠(yuǎn)等采用勢函數(shù)制導(dǎo)法設(shè)計(jì)脈沖，提出了一種有效的自主閉環(huán)控制方法[71]。劉延杰等[72]考慮了小行星表面彈跳運(yùn)動(dòng)問題，研究了脈沖控制方法。著陸閉環(huán)控制研究更多是基于連續(xù)推力機(jī)動(dòng)方式展開的，可以分為軌跡跟蹤控制和無標(biāo)稱軌跡的制導(dǎo)控制。

軌跡跟蹤控制往往采用多項(xiàng)式方法或者軌跡優(yōu)化方法設(shè)計(jì)標(biāo)稱著陸軌跡，然后采用閉環(huán)控制方法跟蹤標(biāo)稱著陸軌跡。崔祜濤等將小行星著陸控制分解為速度方向控制和減速控制[73]，其優(yōu)點(diǎn)在于控制律同時(shí)考慮了垂直著陸及軟著陸兩個(gè)目標(biāo)。Carson 和Acik‐mese[74]設(shè)計(jì)了模型預(yù)測控制跟蹤凸優(yōu)化求解的軌跡，該方法中推力采用開關(guān)形式，與實(shí)際推力情形相符，并且可以證明軌跡偏離量在一定范圍之內(nèi)。Li等[75]基于相平面誤差法和PID（Proportion Integration Differ‐entia）加PWPF（Pulse-Width Pulse-Frequency）法提出了兩種三次多項(xiàng)式著陸軌跡跟蹤控制方法，但該研究重點(diǎn)在于導(dǎo)航方面。此外，李曉宇利用一種非線性廣義預(yù)測控制算法設(shè)計(jì)軌跡跟蹤制導(dǎo)律，降低可調(diào)參數(shù)[76]。馬天豪提出PID神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解耦控制器對三個(gè)方向的控制進(jìn)行解耦[77]。胡海靜等利用線性二次型調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)反饋制導(dǎo)律跟蹤燃料最優(yōu)軌跡[78]?；？刂疲ㄗ兘Y(jié)構(gòu)控制）方法由于易于實(shí)現(xiàn)擾動(dòng)情形下受控系統(tǒng)全局穩(wěn)定性等特點(diǎn)在小行星著陸控制中得到了廣泛應(yīng)用。崔祜濤等[79]以及李爽和崔平遠(yuǎn)[80]研究了小行星表面著陸的視線制導(dǎo)律并利用滑?？刂聘櫂?biāo)稱視線方向和速度。Huang等[81]在研究基于光學(xué)自主導(dǎo)航著陸的制導(dǎo)控制方法時(shí)也采用了滑模控制。端滑?？刂葡啾扔趥鹘y(tǒng)線性滑?？刂凭哂懈斓氖諗啃缘膬?yōu)點(diǎn)[82]。在小行星著陸方面，Lan等[83]和劉克平等[84]采用非奇異終端滑?？刂聘櫂?biāo)稱軌跡。此外，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[85]、模糊參數(shù)優(yōu)化[86]、自適應(yīng)超螺旋算法[87]、雙冪次趨近律[88]等方法也被用于解決滑?？刂频亩墩駟栴}和提升收斂速度。

軌跡跟蹤控制需要提前規(guī)劃好一條著陸軌跡，相反地，小行星著陸無標(biāo)稱軌跡的制導(dǎo)控制方法無需標(biāo)稱軌跡，但研究相對較少。Hawkins 等[56]利用ZEM/ZEV 設(shè)計(jì)方法[89]給出了基于小行星引力補(bǔ)償?shù)哪芰孔顑?yōu)著陸反饋制導(dǎo)律。該方法的特點(diǎn)在于具有最優(yōu)特性，但不能保證有擾動(dòng)和模型不確定性情形下的全局穩(wěn)定性。而滑模制導(dǎo)方法則可以在有界擾動(dòng)和不確定性條件下保證全局穩(wěn)定性。Furfaro 等[69]利用高階滑模理論設(shè)計(jì)了多滑模面制導(dǎo)算法，具有無需標(biāo)稱軌跡且可以設(shè)計(jì)下降飛行時(shí)間的優(yōu)點(diǎn)。袁旭等[90]將多滑模面制導(dǎo)應(yīng)用于小行星433 Eros 表面著陸。Bellerose等[91]將多滑模面制導(dǎo)方法推廣至了雙小行星系統(tǒng)表面著陸問題。但是，這種多滑模面制導(dǎo)方法當(dāng)探測器到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)后即失效，無法用于保持控制。Yang 等[55]考慮最終著陸前需要懸停的情形，提出了一種同時(shí)適用于著陸和懸停的終端滑模制導(dǎo)方法。

前述的研究都是著陸軌道方面的控制。梁春輝[92]和胡海靜[93]在他們的博士論文中還分別利用自適應(yīng)模糊控制和Lyapunov 控制對姿軌耦合的小行星表面著陸問題進(jìn)行了研究。

除了受控下降著陸小行星表面的方式外，還有一種著陸方式是初始釋放后無控制下降即零控制著陸。在Hayabusa 任務(wù)中，信標(biāo)的著陸就可以認(rèn)為是零控制著陸[94]。Tardivel 和Scheeres[95]提出一種從雙小行星平衡點(diǎn)處釋放著陸器的軌道設(shè)計(jì)方法。Tardivel等[96]將雙小行星彈道著陸的方法應(yīng)用于MarcoPolo-R計(jì)劃的潛在目標(biāo)雙小行星1996 FG3。對于不規(guī)則單小行星，Tardivel 等[97]提出利用流形設(shè)計(jì)從平衡點(diǎn)開始下降的著陸軌跡，然后建立了表面碰撞接觸模型并分析了著陸器到達(dá)表面后的運(yùn)動(dòng)。Herrera-Sucarrat等[98]利用流形設(shè)計(jì)出從繞飛軌道下降經(jīng)過平衡點(diǎn)后著陸小行星表面的低消耗軌跡。

3 結(jié)束語

隨著小行星探測任務(wù)的開展，小行星附近制導(dǎo)與控制的研究成果也逐漸豐富，但仍然有許多問題未涉及或者值得進(jìn)一步深入探討。

1）小行星附近自然周期軌道的保持控制。近年來，自然周期軌道是小行星附近動(dòng)力學(xué)研究的一個(gè)重要方向，已有許多公開文獻(xiàn)發(fā)表。但是不穩(wěn)定的自然周期軌道在攝動(dòng)力作用下可能逃逸或撞擊小行星表面，可以研究對自然周期軌道的保持控制。

2）無動(dòng)力著陸器安全釋放策略。本文探討的著陸方式均為受控著陸，而無動(dòng)力學(xué)著陸也是小行星著陸的一種重要方式，但無動(dòng)力著陸小天體表面是極具挑戰(zhàn)性的。Hayabusa 向小行星Itokawa 釋放著陸器沒有成功，Rosetta的著陸器Philae也沒有精確落到目標(biāo)位置。為了保證無動(dòng)力著陸器安全著陸，可以對著陸器的分離機(jī)制以及釋放點(diǎn)開展研究，分析安全性最佳的釋放策略。

3）考慮表面碰撞后跳躍的小行星著陸控制。由于小行星引力的微弱性，探測器與小行星表面發(fā)生接觸碰撞有可能發(fā)生跳躍，有必要研究考慮表面碰撞后跳躍的小行星著陸控制，保證任務(wù)的安全性。

4）著陸軌跡規(guī)劃的凸優(yōu)化實(shí)時(shí)求解方法。凸優(yōu)化是近年來軌跡快速優(yōu)化的熱門研究方向。本文也利用快速凸優(yōu)化技術(shù)研究了時(shí)間最優(yōu)著陸軌跡，但是小行星著陸軌跡規(guī)劃的凸優(yōu)化方法仍然難以保證實(shí)時(shí)求解?？梢赃M(jìn)一步結(jié)合凸優(yōu)化發(fā)展相關(guān)快速求解技術(shù)，實(shí)現(xiàn)在軌實(shí)時(shí)計(jì)算。

5）結(jié)合模型預(yù)測控制和凸優(yōu)化方法的著陸安全控制。模型預(yù)測控制即滾動(dòng)時(shí)域控制是一類閉環(huán)的最優(yōu)控制。近年來隨著快速計(jì)算方法的發(fā)展，模型預(yù)測控制不再局限于低維、慢變的系統(tǒng)。結(jié)合模型預(yù)測控制和在線凸優(yōu)化方法，并應(yīng)用于小行星表面安全著陸問題是一個(gè)值得研究的方向。

6）不規(guī)則引力場中控制抗干擾性研究。小行星附近動(dòng)力學(xué)環(huán)境復(fù)雜且不確定性大，因此具有充分抗干擾性的控制非常必要。

7）小行星表面軌跡規(guī)劃與運(yùn)動(dòng)控制。小行星采樣任務(wù)可能涉及表面運(yùn)動(dòng)，深入研究表面運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃和控制方法對未來小行星采樣任務(wù)非常有益。