陳詩雨，楊洪偉，寶音賀西

（1.清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京 100084；2.南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，南京 210016）

引 言

1989年發(fā)射的木星探測器“伽利略號”，首次獲得了木星大氣的數(shù)據(jù)，并為木衛(wèi)上存在地下海洋提供了有力證據(jù)[1-3]。近年來，人類再次將探索的目光投向木星，2011年發(fā)射的“朱諾號”木星探測器[4]現(xiàn)已環(huán)繞木星開展探測任務(wù)。此外，美國還計劃發(fā)射“歐羅巴快船”探測可能存在地下海洋的“木衛(wèi)2”[5]。在國外木星探測活動如火如荼展開之際，我國也在大力發(fā)展深空探測技術(shù)?！版隙?號”“嫦娥2號”“嫦娥3號”“嫦娥4號”任務(wù)的成功標志著我國在深空探測領(lǐng)域取得了重大突破，更長遠的深空探測任務(wù)也隨之被提上日程，木星探測器可能將于2029—2032年間發(fā)射。

與月球、火星等探測目標不同，木星是巨大的氣體行星，人們對其結(jié)構(gòu)和成分了解甚少。木星是包含多顆衛(wèi)星的行星系統(tǒng)，其某些衛(wèi)星與行星大小相近，還可能存在水和有機物，探索木星及其行星系統(tǒng)對于研究太陽系的形成和演化以及尋找適合人類居住的星球都具有重要意義。因此，類木行星系具有更高的探測價值。

木星探測任務(wù)的軌道設(shè)計比較困難，主要難點在于木星軌道能量大，以現(xiàn)有的發(fā)射能力不足以使探測器直接進入目標軌道，必須利用行星借力[6]。確定借力行星序列后，需進一步設(shè)計借力飛行軌跡。探測器在太陽系內(nèi)運動時，受到太陽中心引力以及太陽光壓力和行星引力等攝動，考慮借力飛行的問題更加復(fù)雜。在軌跡的初步設(shè)計過程中，為了便于快速搜索和計算，通常采用圓錐曲線拼接法將問題簡化。將借力過程即探測器在借力行星引力影響球內(nèi)的軌跡與日心段軌跡分開考慮，分別在二體模型下計算軌跡然后拼接[7]。由于借力飛行時間與整段轉(zhuǎn)移花費的時間相比很短，通?？烧J為借力過程在瞬間完成，從而可將借力等效為一個脈沖速度增量，即借力時刻航天器的位置與借力天體相同，而速度發(fā)生突變?；谏鲜鰣A錐曲線拼接法和脈沖等效模型，可對借力飛行軌跡進行初步設(shè)計。探測器到達木星被木星捕獲的速度增量通常較大，可考慮利用木衛(wèi)多次借力輔助捕獲。

Sims 等[8-9]研究了V∞杠桿機動技術(shù)，在借力后探測器軌跡的近日點或遠日點處施加脈沖，使得探測器軌跡的周期與借力行星運行周期成一定整數(shù)比。該方法可用于構(gòu)造共振借力軌道。Demyan和Russell等[10]利用V∞杠桿機動技術(shù)通過木衛(wèi)借力實現(xiàn)了木星捕獲。

本文首先比較了3種可能的借力序列，綜合考慮總速度增量和飛行時間，選擇較優(yōu)的序列。然后利用粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法對地球-木星轉(zhuǎn)移借力軌跡進行優(yōu)化，以得到的地球-木星轉(zhuǎn)移軌跡為基礎(chǔ)，進一步利用木星借力，設(shè)計了行星穿越探測器的木星-天王星轉(zhuǎn)移軌跡。最后設(shè)計木星系內(nèi)轉(zhuǎn)移軌跡，利用木衛(wèi)構(gòu)造多次共振借力，實現(xiàn)低消耗捕獲。

1 借力軌跡優(yōu)化方法

1.1 借力過程數(shù)學(xué)模型

慣性坐標系中，在借力的瞬間，探測器的位置矢量r等于行星的位置矢量rPl，且在借力前后，認為探測器的位置不變，即

探測器到達行星影響球時，稱相對行星的速度為進入雙曲線無窮遠速度（簡稱雙曲線速度，也稱為雙曲線剩余速度或雙曲線超越速度），有

其中：v-為借力前探測器的日心速度矢量；vPl為借力行星的日心速度矢量。

同樣，探測器離開借力行星影響球時的速度為離開雙曲線速度，記為則

其中：v+為借力后探測器的日心速度。

如果在借力過程中探測器不進行主動軌道機動，進入和離開的雙曲線速度大小相同，滿足

由于雙曲線速度方向改變，探測器從借力中獲得了速度增量為

下面給出ΔvGA的表達式，以借力行星為中心建立坐標系P-ijk，如圖1所示。

圖1 借力坐標系Fig.1 Gravity assist frame of reference

i軸沿的方向，k軸為任意與i軸垂直的方向，這里取垂直于和vPl所構(gòu)成的平面的方向，再選取j軸完成右手系的構(gòu)造。三軸的單位矢量i、j和k表示為

速度轉(zhuǎn)角δ可由借力行星的引力常量μPl、雙曲線速度大小v∞和雙曲線軌道近星點半徑rp（或稱甩擺半徑）計算

則ΔvGA可表示成

其中：角度ψ是在i-k平面上的投影與k軸的夾角，它的值可在[0，2π）之內(nèi)自由選取。

在借力過程中探測器的雙曲線軌道近星點半徑不能小于事先設(shè)定的最小甩擺半徑rpmin。探測器相對行星的雙曲線速度偏轉(zhuǎn)角δ不會超過最大偏轉(zhuǎn)角δmax，最大偏轉(zhuǎn)角δmax對應(yīng)最小甩擺半徑rpmin，即

已知設(shè)計甩擺半徑rp和角度ψ，就可以得到借力提供的速度增量ΔvGA和借力后探測器的雙曲線剩余速度注意探測器以這里的離開該借力行星后不一定能到達下一顆借力行星或目標天體，往往需要施加深空機動進行軌道修正。

1.2 PSO優(yōu)化算法

多次借力軌跡設(shè)計問題可轉(zhuǎn)化為一個多變量的全局優(yōu)化問題，通過對任務(wù)參數(shù)進行優(yōu)化使得探測器所需提供的總速度增量最小。

假設(shè)探測器從地球出發(fā)，到達目標行星時，共經(jīng)過N+1個行星（包括地球和目標行星在內(nèi)），可以把整個任務(wù)分為N個階段。

第1階段：探測器t0時刻從地球出發(fā)，經(jīng)過時間t1后到達行星1。查星歷表讀取t0時刻地球的日心位置和日心速度r0，v0以及t0+t1時刻行星1的日心位置和日心速度r1，v1，通過解Lambert問題求解發(fā)射時探測器的日心速度V0，到達行星1時的日心速度V11（第一個下標代表行星編號，第2個下標“1”代表飛行器進入該行星影響球，“2”代表飛行器飛出該行星影響球）；

第i+1階段（i=1，2，…，N-1）：上一階段已經(jīng)求得t0+t1+…+ti時刻探測器到達行星i的日心速度Vi1以及該時刻行星i的日心位置和日心速度ri，vi。給定甩擺半徑rpi以及角度參數(shù)ψi，即可求出探測器離開行星i的雙曲線剩余速度，進而求得探測器離開行星i的日心速度Vi2。若不施加推力，則此時很難保證探測器能到達行星i+1，故需在行星i和行星i+1之間適當?shù)奈恢檬┘由羁彰}沖機動ΔvTi。設(shè)施加深空機動的時刻為

其中：μi為0到1之間的參數(shù)。

tTi之前的漂移段可由數(shù)值得到求出或軌道推演解析求出，從而獲得tTi時刻探測器的日心位置和日心速度RTi，VT1i，查詢星歷表讀取t0+t1+…+ti+ti+1時刻行星i+1的日心位置和日心速度ri+1，vi+1，通過解Lambert問題求解深空機動后探測器的日心速度VT2i，以及到達行星i+1時的日心速度Vi+1，1，則

整個任務(wù)執(zhí)行期間所需的總速度增量大小為以上所有ΔvTi的總和。由以上過程可看出，ΔvTi是時間t0,t1,…tN-1t0，以及rpi、ψi和μi的函數(shù)（i=1，3，…，N-1），即

本文采用PSO，將以上參數(shù)作為優(yōu)化變量，將總速度增量作為優(yōu)化指標。實際任務(wù)中考慮到火箭發(fā)射能力有限，往往需限制發(fā)射C3能量，本文將發(fā)射C3能量約束在18km2/s2以內(nèi)。在PSO算法執(zhí)行過程中，若出現(xiàn)發(fā)射C3能量大于18km2/s2的解，則將優(yōu)化指標的返回值置為108，從而該解被自動舍棄。

2 日心段軌跡設(shè)計

2.1 地球-木星段軌跡

對于木星探測任務(wù)，可選的借力行星有金星、地球、火星，文獻[6]給出了金星-地球借力（VEGA）、金星-地球-火星借力（VEMGA）以及金星-地球-地球借力（VEEGA）3種可行的借力序列。本文用第2節(jié)所述方法，分別對這3 種借力序列的軌跡進行優(yōu)化。發(fā)射窗口在2029年—2032年之間，地球-木星轉(zhuǎn)移段飛行時間不超過7年。PSO算法的粒子個數(shù)設(shè)置為30，迭代次數(shù)為5 000次。每次借力的最小借力高度為200 km。對每一種借力序列，PSO 優(yōu)化100 次，取其中最優(yōu)解。優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

表1 三種借力序列軌跡優(yōu)化結(jié)果對比Table 1 Comparison in the optimal trajectories for three gravity assist sequences

由表1可見，在選定的發(fā)射窗口范圍及飛行時間上限等條件下，金星-地球借力序列所需總速度增量明顯較小，因此地球-木星段轉(zhuǎn)移軌跡采用該借力序列。轉(zhuǎn)移軌跡的詳細數(shù)據(jù)見表2，軌跡如圖2所示。

圖2 地球-木星段轉(zhuǎn)移軌跡Fig.2 Earth-Jupiter transfer trajectory

2.2 木星-天王星段軌跡

行星穿越探測器由木星系探測器攜帶，并在到達木星時與其分離，分離前不提供速度增量。兩者分離后，行星穿越探測器利用木星借力，然后直接飛往天王星，在2049年前實現(xiàn)天王星的飛越探測。根據(jù)地球-木星段軌跡的木星到達時刻及到達木星時的v∞，通過設(shè)計借力半徑rp、角度參數(shù)ψ、深空機動時刻和天王星到達時刻，即可得到木星-天王星段轉(zhuǎn)移軌跡。將上述幾個參數(shù)作為優(yōu)化變量，深空機動的脈沖大小作為優(yōu)化指標，使用PSO優(yōu)化得到的結(jié)果如表3所示。

表3 木星-天王星轉(zhuǎn)移軌跡數(shù)據(jù)Table 3 Data of Jupiter-Uranus transfer trajectory

圖3 行星穿越段轉(zhuǎn)移軌跡Fig.3 Jupiter-Uranus transfer trajectory

3 木星系內(nèi)轉(zhuǎn)移軌跡設(shè)計

木星系探測器進入木星環(huán)繞軌道后，對木星及其衛(wèi)星進行科學(xué)探測，并最終捕獲至一顆衛(wèi)星的環(huán)繞軌道上。由于“木衛(wèi)4”上可能存在水和有機物，是木星系統(tǒng)中除“木衛(wèi)2”外最有可能存在生命或適合生命居住的星球，且至今人類沒有對“木衛(wèi)4”進行環(huán)繞探測的任務(wù)計劃，因此選擇“木衛(wèi)4”作為最終的環(huán)繞探測目標。

然而，探測器進入木星影響球時相對于木星的速度大小為v∞=6.230 km/s，若直接制動捕獲則所需速度增量由式（13）估計。

其中：μJ為木星引力常數(shù)；rp為“木衛(wèi)4”軌道半徑。

直接制動所需速度增量太大，因此需利用木星4顆較大的衛(wèi)星“木衛(wèi)1”到“木衛(wèi)4”借力輔助捕獲?！澳拘l(wèi)3”是4顆木星衛(wèi)星中質(zhì)量最大的，利用其可提供的速度增量也最大，首先選擇“木衛(wèi)3”借力，將探測器捕獲至環(huán)木大橢圓軌道上。在該大橢圓軌道的遠木點處施加脈沖，抬高近木點的同時使探測器向“木衛(wèi)4”轉(zhuǎn)移，通過PSO優(yōu)化到達“木衛(wèi)4”的時間，使得遠木點處施加的脈沖最小，該過程軌跡如圖4所示。

圖4 木星系捕獲軌跡及“木衛(wèi)3”-“木衛(wèi)4”轉(zhuǎn)移軌跡Fig.4 Jovian system capture trajectory and Ganymede-Callisto transfer trajectory

探測器到達“木衛(wèi)4”后，利用“木衛(wèi)4”構(gòu)造共振借力使其軌道接近于“木衛(wèi)4”的軌道。所謂共振借力就是探測器經(jīng)天體借力后與借力天體的軌道周期成正數(shù)比，使得探測器在經(jīng)歷一定時間后再次利用該天體借力。共振借力軌道的構(gòu)造方法如下，若已知探測器進入借力天體的雙曲線剩余速度則知道了進入和離開雙曲線剩余速度v∞。假設(shè)希望借力后探測器軌道周期為T，中心天體（木星系內(nèi)中心天體為木星）引力常數(shù)為μ，借力時探測器與中心天體的距離為r，則可求出借力后探測器相對于中心天體的速度vout為

借力過程各速度矢量如圖5所示，借力天體速度vp為已知量。x軸沿vp方向，z軸沿探測器相對于中心天體的角動量方向，y軸與x軸和z軸垂直。根據(jù)vp、v∞、vout的大小求出角度θ，并設(shè)計v∞在y-z平面的投影與y軸的夾角φ，使得出射速度vout所在的軌道平面與借力天體軌道平面夾角最小。通過以上步驟得到了的方向角θ與φ，即可求出的夾角δ，若δ不大于最大甩擺轉(zhuǎn)角δmax，則該共振借力軌道構(gòu)造完成，否則該共振借力軌道無法構(gòu)造。

圖5 借力過程速度矢量示意圖Fig.5 Velocity vectors in gravity assist

通過上述方法構(gòu)造7次“木衛(wèi)4”共振借力，其中前4次共振軌道周期比依次為6、4、3、2，用于減小探測器軌道半長軸，后3次共振軌道周期比均為2，用于減小探測器軌道傾角，使探測器軌道與“木衛(wèi)4”軌道基本在同一平面內(nèi)。共振借力軌道如圖6所示。

圖6 木衛(wèi)4共振借力軌道Fig.6 Trajectories with Callisto resonant gravity assist

共振軌道為了進一步減小軌道偏心率，探測器再次利用“木衛(wèi)4”借力并施加深空機動，然后返回“木衛(wèi)4”。該過程使用PSO進行優(yōu)化，優(yōu)化指標為

其中：ΔvT為深空機動大??；e為深空機動后探測器軌道偏心率；加權(quán)系數(shù)K取4.0。

探測器回到“木衛(wèi)4”后，再次利用“木衛(wèi)4”借力2次，每次借力后均施加一次深空機動，最后在“木衛(wèi)4”附近制動，捕獲到軌道高度為500 km 的環(huán)“木衛(wèi)4”圓軌道上。該過程使用PSO優(yōu)化，使得2次深空機動以及“木衛(wèi)4”捕獲時制動脈沖之和最小。整個木星系內(nèi)轉(zhuǎn)移軌跡如圖7所示，相關(guān)數(shù)據(jù)見表4。從進入木星影響球到最終環(huán)繞木衛(wèi)4共耗時約3.5年，整個木星系內(nèi)轉(zhuǎn)移軌跡消耗2.335 km/s 的速度增量，比直接制動捕獲所需的速度增量大幅減少。結(jié)合地木轉(zhuǎn)移軌跡和木星系內(nèi)軌跡，木星系探測器需提供的總速度增量為3.042 km/s。

圖7 木星系內(nèi)轉(zhuǎn)移軌跡Fig.7 Trajectories in Jovian system

表4 木星系內(nèi)軌道數(shù)據(jù)Table 4 Data of trajectories in Jovian system

4 結(jié) 論

本文使用PSO 算法，對木星系探測及行星穿越探測任務(wù)的軌跡進行優(yōu)化。對于地球-木星段轉(zhuǎn)移軌跡，在2029—2032年的發(fā)射窗口范圍及7年的飛行時間上限約束下，金星-地球借力序列比金星-地球-地球和金星-地球-火星借力序列更節(jié)省燃料。木星系探測器通過木星衛(wèi)星多次借力可有效地減小被木衛(wèi)4捕獲所需的速度增量，整個木星探測任務(wù)所需速度增量為3.042 km/s。行星穿越探測器在到達木星時與木星系探測器分離，隨后通過木星借力可不耗費燃料直接飛往天王星，并于2043年完成天王星的飛越探測任務(wù)。