張若靜

【摘? ?要】“打電話”一課的情境設(shè)置離學(xué)生的現(xiàn)實經(jīng)驗比較遠(yuǎn)，學(xué)生會考慮現(xiàn)實操作問題，導(dǎo)致教學(xué)起來比較困難。教材編排意圖通過優(yōu)化方案，讓學(xué)生經(jīng)歷建立模型、歸納推理的過程。巧借“觸碰救人”情境，利用圖式教學(xué)、優(yōu)化方案、弱化表格、建立數(shù)據(jù)線模型等活動，可讓學(xué)生感悟倍增的數(shù)學(xué)規(guī)律。

【關(guān)鍵詞】方案;模型;圖式;推理

“倍增問題”即我們熟悉的“打電話”問題，是人教版五年級下冊的一節(jié)綜合實踐課。在四年級上冊的“數(shù)學(xué)廣角”中，教材安排了有關(guān)優(yōu)化思想的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生嘗試在解決問題的多種方案中尋找最優(yōu)的方案，初步體會運(yùn)籌思想在實際生活中的應(yīng)用，為“倍增問題”的教學(xué)打下了基礎(chǔ)。

在教學(xué)調(diào)查中筆者發(fā)現(xiàn)以下幾點(diǎn)問題：第一，打電話的情境設(shè)置離學(xué)生的現(xiàn)實經(jīng)驗比較遠(yuǎn)，不利于學(xué)生思考方案和建立模型;第二，運(yùn)用表格進(jìn)行解題時，要先列表再求解，相當(dāng)麻煩;第三，學(xué)生在建模后的表述仍然不是很清晰，也就是說學(xué)生的思維是混亂不清的。

針對這樣的問題，筆者對教學(xué)進(jìn)行了以下思考。

一、擇優(yōu)選擇情境，對比不同課題

基于學(xué)生的生活經(jīng)驗，針對“打電話”情境，學(xué)生會考慮現(xiàn)實操作的問題，如怎么知道誰被通知了，誰沒有被通知？課堂上最優(yōu)方案的制定也比較困難?；谶@樣的學(xué)情，筆者沒有沿用教材中的情境，而將情境換成學(xué)生生活中熟悉的游戲——觸碰救人。

問題情境改了，課題就得隨著改。之所以選“倍增問題”作為課題，是因為“打電話”這一課題所關(guān)注的只是如何解決打電話問題，而“倍增問題”所關(guān)注的是具有倍增模式的一系列問題。

“倍增問題”這一課題對學(xué)生來說更具數(shù)學(xué)味?！坝|碰救人”的游戲情境，既抓住學(xué)生的興趣點(diǎn)，又能更好地激發(fā)學(xué)生去思考，學(xué)生最優(yōu)方案的制定很輕松，為本節(jié)課開了一個好頭。兩個課題給學(xué)生留下的課堂痕跡也不同，“打電話”給學(xué)生留下的是一個情境的內(nèi)容，而“倍增問題”給學(xué)生留下的是一個數(shù)學(xué)模型。

（一）巧用情境，游戲激趣

1.出示游戲，講解游戲

今天的學(xué)習(xí)就從老師編的數(shù)學(xué)游戲開始，什么游戲呢？——觸碰救人。你們都是木頭人，老師是自由人。如果老師碰一下某個同學(xué)，這個同學(xué)就被解救了，他也就成為自由人。當(dāng)然，這個游戲有規(guī)則：一次只能解救1位同學(xué)。如果1秒鐘解救1名同學(xué)，老師要盡快解救全班31名同學(xué)。你估計至少要多少秒能解救全班同學(xué)？此時，學(xué)生會異口同聲地回答31秒。

2.猜游戲時間

為了讓游戲更有意思，增加它的思維含量，我們規(guī)定：被解救的人，也可以去解救其他木頭人?，F(xiàn)在，按這樣的規(guī)則再去解救全班同學(xué)，你覺得要多少秒？學(xué)生任意猜想，比較集中的答案是20秒、15秒、7秒。利用學(xué)生熟悉的游戲情境，設(shè)定游戲規(guī)則，通過猜想，初步感知游戲中的數(shù)學(xué)味。

（二）降階游戲，化繁為簡

如何盡快解救全班31個同學(xué)？這個問題還是比較復(fù)雜的，因為人數(shù)比較多，研究這樣的問題，怎么入手會比較好一些呢？教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會化繁為簡，從小數(shù)據(jù)入手，先解救7名同學(xué)，這樣能有效激發(fā)學(xué)生尋求解決問題策略的熱情。

二、關(guān)注學(xué)生生成，點(diǎn)撥優(yōu)化方案

建立模型之前，方案的設(shè)計尤為重要。好的方案，能為模型的建立提供事半功倍的效果。

（一）自主探究，設(shè)計方案

1.設(shè)計方案

同樣的游戲先解救7名同學(xué)，為這個問題設(shè)計一個方案。

活動要求：

①想一想：怎樣解救最快？

②畫一畫：用三角形表示老師，用圓表示學(xué)生。

③算一算：設(shè)計出的方案所需要的時間。

課中，捕捉學(xué)生的生成，利用學(xué)生的生成為新課的展開排兵布陣。一般學(xué)生的生成都不會超過7秒，7秒、6秒、5秒、4秒、3秒的結(jié)果都會出來。如下圖所示。

2.反饋交流

（1）反饋7秒、6秒、5秒、4秒等方案，同時請設(shè)計的同學(xué)來擺一擺。學(xué)生作品如下：

（2）反饋3秒的方案。

3秒的方案很重要，教師可根據(jù)反饋及時追問：這幅圖中第2秒有幾個人去救？第3秒有幾個人去救？給學(xué)生充分的時間進(jìn)行方案的設(shè)計，靜下心來思考解決問題的策略。抓住學(xué)生的生成，讓反饋的學(xué)生上臺說一說、擺一擺自己的方案，能非常清晰地展現(xiàn)學(xué)生的思維過程?？梢姡桨傅某尸F(xiàn)不能只是靜態(tài)的結(jié)果，要有動態(tài)的生成過程。

（二）對比優(yōu)化，錘煉方案

1.對比優(yōu)化

從中選兩個方案進(jìn)行對比，一個是最優(yōu)一個不是最優(yōu)的，探究4秒（或其他幾秒）的方案的時間為什么會多了，原因在哪里。從解決問題的方案中尋找“觸碰救人”的最優(yōu)方案，發(fā)現(xiàn)事物隱含的規(guī)律，為抽象出模型做鋪墊。

2.提煉關(guān)鍵點(diǎn)

想要設(shè)計的方案時間最短，最關(guān)鍵的是“不空閑”“不浪費(fèi)”等。在對比最優(yōu)方案和不優(yōu)方案的同時，提煉出關(guān)鍵點(diǎn)“每個自由人都不能空閑”。

三、滲透有序策略，修改理清方案

（一）理解方案，修改方案，畫第3秒方案

板書上方案的修改是面向全班的，如果要深入個人，就要放手讓學(xué)生獨(dú)自修改方案。在修改方案之前，要先滲透“有序”的思考策略，而有序的方式主要采用箭頭線來呈現(xiàn)。在理解第1秒、第2秒分別解救了幾個人的基礎(chǔ)上，請學(xué)生按照句式說一說，使學(xué)生的語言表述更清晰，思維更嚴(yán)謹(jǐn)。同時課件動態(tài)呈現(xiàn)箭頭線輔助理解。按照這樣的解救方案，讓學(xué)生拿出學(xué)習(xí)單修改方案，同時思考第3秒的解救方案并畫一畫。通過這樣的引導(dǎo)，學(xué)生就能輕松駕馭這些自主操作了。

在“觸碰救人”游戲中，在理解第1秒、第2秒怎么解救的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范有序地思考作圖，同時修改自己原先的方案，畫一畫第3秒的解救情形，呈現(xiàn)3秒內(nèi)有層次感的直觀圖。這樣整齊美觀的符號圖完美地展現(xiàn)了最大限度利用時間的策略，也幫助學(xué)生更好地理解了解救7個人至少要3秒，達(dá)到了數(shù)形結(jié)合的效果。

（二）思考第4秒方案，將圖式數(shù)據(jù)化

按照最優(yōu)的解救策略，讓學(xué)生思考第4秒的情形。學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)前面有8個自由人，就可以解救8個人，課件隨之出示箭頭線。

將直觀圖數(shù)據(jù)化，形成一條數(shù)據(jù)線，抽象出模型。因為有直觀圖做支撐，學(xué)生理解數(shù)據(jù)線上的每個數(shù)據(jù)都非常輕松。

四、弱化表格模式，提煉數(shù)據(jù)線模型

在之前的教學(xué)中，一旦滲透表格就異常困難，所以教師就試著弱化表格，構(gòu)造一個讓學(xué)生掌握起來更方便、更容易上手的模型。如下圖的“數(shù)據(jù)線模型”：

這個線性模型對比表格的優(yōu)勢是：首先，線性的結(jié)構(gòu)更有利于學(xué)生內(nèi)化模型; 其次，突出了主干上倍增的數(shù)據(jù)，使學(xué)生易于發(fā)現(xiàn)規(guī)律;再次，應(yīng)用起來容易上手，不會像表格那樣繁雜，遇到類似的一系列問題都能用這個模型來解決。

運(yùn)用這樣的模型解題，解救全班31個人，學(xué)生沿用數(shù)據(jù)線，很快能得到答案——5秒。繼而可以延伸到如果全班是20人要多少秒？18人？15人？……在哪一個范圍之內(nèi)的人數(shù)都可以是用5秒？可見，抽象出數(shù)據(jù)線模型后，學(xué)生運(yùn)用模型來解題就非常容易，同時還學(xué)會了尋找5秒能解救的區(qū)間數(shù)，學(xué)會了找起點(diǎn)和終點(diǎn)。

五、演繹倍增奧秘，應(yīng)用模型解題

除了學(xué)生設(shè)計的符號圖、有序的板書直觀圖，課中還運(yùn)用了方格圖來演示倍增的過程，給學(xué)生帶來了強(qiáng)烈的視覺沖擊，在學(xué)生腦海里留下了生動的、形象的數(shù)學(xué)模型。

（一）動圖演示，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1.找規(guī)律

學(xué)生發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：①自由人數(shù)都是2倍2倍地增加;②被解救的人數(shù)都比自由人數(shù)少1，少掉的人是老師;③自由人數(shù)和秒數(shù)之間的關(guān)系：第N秒，自由人數(shù)等于N個2相乘的積。

2.倍增動圖

課件演示方格圖翻倍的現(xiàn)象，揭示這種翻倍的現(xiàn)象，其實就是數(shù)學(xué)里面要研究的“倍增問題”。

讓學(xué)生從數(shù)據(jù)上感悟到翻倍的道理，通過方格圖的演示讓學(xué)生體驗倍增驚人的結(jié)果，感受到翻倍的視覺震撼，感慨?dāng)?shù)學(xué)的神奇力量。

（二）應(yīng)用模型，探試規(guī)律

1.模型的應(yīng)用

有了以上各種表征方式的鋪墊，讓學(xué)生應(yīng)用數(shù)據(jù)線模型解決解救200人需要多少秒的問題就變得容易多了。學(xué)生解題方式如下：

2.生活中的倍增

一個古印度的故事。在一張棋盤的第1個小格內(nèi)放1粒米，在第2個小格內(nèi)放2粒，在第3個小格內(nèi)放4粒，照這樣放下去，每一小格內(nèi)都比前一小格增加了1倍。到第64格時，到底要放多少粒米呢？體驗一個小小的1經(jīng)過不斷的倍增，變成了大大的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生深深感嘆倍增神奇的力量。 同時，介紹生活當(dāng)中其他的倍增現(xiàn)象，如：浮萍的生長、細(xì)胞的分裂等。讓學(xué)生知道生活中有很多領(lǐng)域都會運(yùn)用到倍增的數(shù)學(xué)規(guī)律。

綜上，通過斟酌情境、巧妙設(shè)計、有序引導(dǎo)，學(xué)生建立模型、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律，都水到渠成。鑒于多方位多角度地演繹，同時提供豐富的內(nèi)容，構(gòu)建生動的表象，學(xué)生扎實牢固地掌握了倍增模型。數(shù)學(xué)思想得到了滲透，思維能力得到了培養(yǎng)，核心素養(yǎng)得到了很好的彰顯。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王亞芳，施巧凝.“多元表征”對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的影響及對策[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育， 2015（Z1）：83-85.

[2] 南欲曉.讓思維過程更清晰——“簡單的推理”的教學(xué)“不簡單”[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2018（6）：19-22.

[3] 吳亞娟.在合情與演繹推理中深化概念教學(xué)[J].江蘇教育（小學(xué)數(shù)學(xué)版），2017（11）：35-36.

（浙江省溫州市瑞安市陶山鎮(zhèn)碧山小學(xué)? ?325200）