【摘? ?要】分數(shù)有“份數(shù)”“商”“度量”“比”以及“算子”等不同的意義，在“份數(shù)”的意義中，也存在不同層次的理解，學生在初步認識分數(shù)時，建立的是連續(xù)量上的形狀、大小完全一樣的“平均”概念;在再認識分數(shù)時，需要理解抽象的數(shù)量一樣意義上的“平均”。讓學生從意義理解的角度來認識分數(shù)，在教學中要有不同的層次，在分數(shù)的再認識中，需要考慮學生對“平均”的理解的過渡，也要注意讓學生能以靈活的眼光重新看待“1份”。

【關鍵詞】分數(shù)的意義;分數(shù)的再認識;份數(shù);平均

分數(shù)是小學數(shù)學課程的重要內(nèi)容，理解分數(shù)的意義和性質(zhì)是小學生數(shù)概念發(fā)展的重要里程碑，分數(shù)的內(nèi)容通常也被認為是小學生數(shù)學學習的難點之一。[1]在我國多個版本的小學數(shù)學教材中，學生通常在三年級開始學習分數(shù)。以人教版教材為例，三年級上冊第8單元為“分數(shù)的初步認識”，其中有三個主要內(nèi)容，一是“分數(shù)的初步認識”，二是“分數(shù)的簡單計算”，三是“分數(shù)的簡單應用”。[2]在“分數(shù)的簡單應用”中，有一個問題容易忽視，學生卻可能存在一些困惑。

如圖1，將6個蘋果像圖中這樣圈起來，分成三份以后，明顯每份蘋果所在區(qū)域面積不一樣，為什么也是“平均分成”？為什么也可以用[13]或者[23]表示？更進一步，如果蘋果的大小也不一樣，是否仍然可以用分數(shù)表示呢？如教材下一頁中，“有12個學生，其中[13]是女生，[23]是男生。男女生各多少人？”很明顯，男生和女生不一樣，而且每個學生都不一樣，為什么還可以用[13]和[23]來表示？

因為這里用分數(shù)表示，需要以“平均分”為前提。在這種情況下，“平均”體現(xiàn)在哪里呢？另一方面，學生對于分數(shù)，又該如何“再認識”呢？教師應該對與此相關的數(shù)學概念進行梳理，進而可以對教學進行進一步的思考。

一、分數(shù)有哪些不同的意義

一般認為，分數(shù)是在實際度量和物品均分中產(chǎn)生的。在小學數(shù)學中，把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫作分數(shù)。[3]這也是《辭?！分袑Ψ謹?shù)的定義。但事實上，這應當只是分數(shù)的其中一種定義。比如，張奠宙就指出可以考慮對分數(shù)的定義進行更多思考，[4]認為應該從“份數(shù)”“比”“商”“公理化”這4個不同層次來定義分數(shù)，并進一步明確指出，“分數(shù)的份數(shù)定義可以作為起點，但是，不宜過分強調(diào)，應該迅速向更抽象的分數(shù)定義轉(zhuǎn)移?！盵5]史寧中也強調(diào)了分數(shù)作為數(shù)的意義的重要性，“人們通常稱形如[ab]的數(shù)為分數(shù)，稱其中的a為分子、b為分母，在一般情況下，要求分子和分母都是正整數(shù)?！盵6]也有將分數(shù)定義為數(shù)軸上的點，“固定一個自然數(shù)n>0，將單位線段[0，1]分為n個相等的部分，那么[1n]表示0右邊第一個分點。[7]1

早在1982年Kieren就提出分數(shù)有五種不同層面的意義，即份數(shù)（部分與整體的關系）、商、度量、比以及算子（operator）。[8]

（1）份數(shù)。分數(shù)的產(chǎn)生需要有一個前提，即對整體進行平均分。因此“份數(shù)”的定義與平均分這一實際操作有直接的聯(lián)系。分數(shù)的份數(shù)定義由于能夠簡便地給學生提供具體的分實物的操作，因此經(jīng)常被作為分數(shù)引入時所用的定義。

（2）商。事實上，分數(shù)的真正來源在于數(shù)系的擴張。分數(shù)的份數(shù)定義是基于現(xiàn)實情境與現(xiàn)實操作的方法，但分數(shù)還需要有純數(shù)學上的定義，就是指使兩個整數(shù)相除的商。

（3）度量。與整數(shù)一樣，分數(shù)也是可以“數(shù)”出來的。以[23]為例，它是指“在數(shù)線上，表示到0點的距離有2個[13]單位的數(shù)”。但由于分數(shù)跟整數(shù)不一樣，可以用來“數(shù)”的計數(shù)單位不是直觀可見的，這對學生理解分數(shù)造成了一定的困難。

（4）比。分數(shù)還可以表示兩個整數(shù)的比值。這也是分數(shù)作為有理數(shù)的本質(zhì)，同樣大小的分數(shù)可以有不同的表示方法，也就是“分數(shù)的基本性質(zhì)2”，這也是分數(shù)能進行各種運算的基本前提。

（5）算子。分數(shù)“算子”的意義通常與分數(shù)的乘法與除法相關，是指在某些情境的乘除法中，分數(shù)表示的是一種運算關系。如“女生有6位，男生的數(shù)量是女生的[23]，問有多少位男生”這一題目中，我們可以列出乘法算式6×[23]。根據(jù)分數(shù)的意義，這道題的計算方法應該是6÷3×2。所以，這里的[23]是一個算子，表示的是“÷3×2”這樣一種運算關系。

二、“分數(shù)的再認識”要認識什么

分數(shù)有多種不同的意義，學生對于分數(shù)意義的理解是有不同階段和層次的。學生一般在三年級時最早學習分數(shù)，采用的都是份數(shù)的定義，關鍵詞中除了“平均分”，“其中的一份”或“每人分得”之外，還有一個詞很重要，就是“它的”“這個蘋果的”，也就是說，強調(diào)的是一種關系。

在初步認識分數(shù)之后，各版本教材都安排了學生再次認識分數(shù)的內(nèi)容，不過年級不同。比如，人教版教材中，在三年級“初步認識”和“簡單計算”后面的“簡單應用”，就需要學生再次認識分數(shù)。在這里，強調(diào)的還是“平均分成幾份，取其中的1份”，仍然還是份數(shù)的意義。那么，在這里需要“再認識”什么呢？

（一）怎么再認識“平均”

首先需要明確的是，這里的分數(shù)也是平均分出來的，而“平均”一定包含了“一樣”的意思。只是，“一樣”在什么地方，學生如何理解“平均”，值得深入思考。

如圖2所示，將一個正方形“平均”分成4份，這里可以很明顯看出，分出來的這4個小正方形形狀和大小完全一樣，這里的“一樣”是直接可以看到的。而學生在學習分數(shù)的初步認識時，就是以這樣的“一樣”去理解“平均”的，所分得的部分需要在形狀和面積上都一樣，才是平均，才可以用分數(shù)表示。當學生看到圖1，都能知道2個蘋果應該用[13]表示，并且說這里的蘋果平均分成3份，取了其中的1份。然而，圖1中的6個蘋果的確分成了3份，但這里分得的三個區(qū)域形狀、大小并不一樣，為什么會是“平均”呢？

當筆者進一步問圖1中到底有沒有平均分時，學生的回答出現(xiàn)了不同的層次，多數(shù)學生發(fā)現(xiàn)這里的區(qū)域其實并沒有平均劃分。如果進一步追問這里是否還能用[13]表示的時候，絕大多數(shù)學生的第一反應都是不能。只有少數(shù)學生感到困惑，進入深度思考。之后有學生認為這里畫的只是示意圖，看起來好像不一樣，其實是一樣的，并嘗試重新去畫每一塊區(qū)域，想使它們變得一樣大。只有個別學生能夠說出，這里是指對蘋果的數(shù)量平均分，跟劃分區(qū)域沒有關系?？梢钥闯?，學生有以下不同層次的理解：第一層次，認為分出來的圖形的大小和形狀必須完全一樣，才是平均分;第二層次，認為分出來的圖形的大小必須一樣，形狀可以不同;第三層次，認為這里的平均是指蘋果的數(shù)量，跟所劃分的區(qū)域沒有關系。事實上，學生還有更高的層次，比如蘋果的大小可以不一樣，甚至還可以將其中一些蘋果換成其他水果。

在學生最初接觸分數(shù)的時候，是以份數(shù)意義來理解分數(shù)的。但在這個意義上，對于“平均”是有不同的理解的。比如，在臺灣的分數(shù)教材中，對具體情境中的量作了連續(xù)量與離散量的區(qū)分。在連續(xù)量情境中的整體量強調(diào)要等分或平分，也就是大小要一樣，但形狀不一定要相同。但是，在生活中到處是離散量情境，離散量在乎的是它的個數(shù)而不是屬性（如大小、形狀等）。[9]

（二）該怎么再認識“1份”

在“再認識”分數(shù)時，還有一個重點，就是把“1個東西”（圖2的大正方形）平均分過渡到把“1個整體”（圖1的6個蘋果）平均分。相應地，分出來的1份也從1個對象（圖2中的1個小正方形）到多個對象（如圖1中的2個蘋果）。因此，需要“再認識”1份，或者說，學生要學會用不同的眼光來看待“份”。

如圖3，一般都非常強調(diào)平均分成3份，圈出來的部分是2份，所以這里應該是[23]。這樣的強調(diào)當然是必要的，學生需要認識到多個對象也可以是1份。但如果只是過于強調(diào)這個圖是分成了3份，恐怕會有另一個問題。比如在這節(jié)課上，筆者問過很多學生，這里圈出的部分能用[69]表示嗎？均回答說不可以，說這里明明只分成了3份，怎么會有[69]。也就是說，如果只能看到這是3份里的2份，而看不到9個里的6個，對于學生再次認識分數(shù)而言，恐怕也不是理想的狀況。

因此，這里需要讓學生用靈活的眼光看到不同的部分與整體之間的關系，也就是能以不同的方式看待1份。當然，這里不是要教分數(shù)基本性質(zhì)，而是要幫助學生理解，這里用[23]或[69]表示都是有意義的。比如像下面這樣的任務就很好。給出8只襪子，圈出其中的2只，那么可以用[28]表示，因為這是8只里的2只;而如果把每2只襪子疊在一起，同樣是圈出來的這2只襪子，也可以用[14]表示，因為這也是4雙襪子里的1雙。這樣的活動當然還可以很多，比如15瓶酸奶里的5瓶，是[515];每5瓶裝成1盒以后，就是3盒里的1盒。

三、兩點教學建議

第一，讓學生從意義理解的角度來認識分數(shù)。分數(shù)之所以成為學生學習的“難點”，其原因是多方面的。但歸根結底，困難主要是由于對分數(shù)意義沒有理解或者理解得不全面。比如，學生發(fā)現(xiàn)以[14]為單位，一直往上數(shù)，這樣可以數(shù)到[54]，這是分數(shù)的“度量”意義。然而，雖然他們能接受[54]這種形式的分數(shù)，但讓他們進一步說明意義時，有學生還是說把一個東西平均分成4份，取其中的5份，但隨即又發(fā)現(xiàn)，4份里不可能取到5份，于是對[54]的意義非常困惑。

此外，研究表明，我國學生對于分數(shù)運算能夠熟練計算，可是對于“運算”的理解，卻存在一定的缺陷。學生在學習過程中，學到的多是操作性的活動，而不是深刻的理解。[10]因此，在小學分數(shù)教學中，應注意幫助學生從以上多個不同方面去理解分數(shù)的意義，并努力實現(xiàn)這些方面的必要互補與適當整合，只有在多種意義的理解上的教學才可能幫助學生真正理解分數(shù)的本質(zhì)，也才可能真正掌握分數(shù)各種復雜的運算。[11]

第二，為了更好地幫助學生理解分數(shù)的意義，在教學中要有不同的層次。要從分數(shù)的初步認識、分數(shù)的再認識、分數(shù)的意義以及分數(shù)的應用等不同層次幫助學生更好地理解分數(shù)，并關注學生理解分數(shù)意義的困難所在。譬如，同樣是份數(shù)的意義，學生的理解也有不同的層次。學生在初步認識中建立的那種對連續(xù)量的形狀、大小完全一樣的平均概念，并不一定能自然過渡到對抽象出來的數(shù)量一樣這個意義上的平均的理解。因此，在分數(shù)的再認識中，需要考慮學生對“平均”的理解的過渡，也要注意讓學生能以靈活的眼光重新看待“1份”。除此之外，在后續(xù)階段的學習中，還需結合具體的情境和數(shù)量讓學生更進一步理解作為份數(shù)意義的分數(shù)的相對關系。

參考文獻：

[1] [8] 章勤瓊，徐文彬. 論小學數(shù)學中分數(shù)的多層級理解及其教學[J]. 課程·教材·教法，2016，36（3）：43 – 49.

[2] 人民教育出版社課程教材研究所小學數(shù)學課程研究開發(fā)中心. 義務教育教科書教師教學用書：數(shù)學（三年級上冊）[M]. 北京： 人民教育出版社， 2012： 89 – 103.

[3] 吳正憲， 劉勁苓， 劉克臣. 小學數(shù)學教學基本概念解讀[M]. 北京：教育科學出版社，2014：162.

[4] 張奠宙. 與時俱進，推陳出新——談分數(shù)定義的修改[J]. 小學教學（數(shù)學版），2014（5）.

[5] 張奠宙. 分數(shù)的定義[J]. 小學教學（數(shù)學版）， 2010（1）：48-49.

[6] 史寧中. 基本概念與運算法則——小學數(shù)學教學中的核心問題[M]. 北京：高等教育出版社，2013：13.

[7] 伍鴻熙，著.數(shù)學家講解小學數(shù)學[M]. 趙潔，林開亮，譯.北京： 北京大學出版社，2016：164.

[9] 林碧珍. 教材中分數(shù)的不同意義[J]. 小學教學（數(shù)學版），2019（4）： 4–8.

[10] 鄭毓信. 分數(shù)的教學與數(shù)學思維[J]. 小學教學（數(shù)學版），2010（5）：4–6.

[11] 蘇洪雨. 七年級學生分數(shù)學習情況的調(diào)查研究[J]. 數(shù)學教育學報，2007，16（4）： 48–51.

（溫州大學? ?325035）