范秀明

數(shù)學(xué)廣角是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中新增設(shè)的單元，目的是向?qū)W生滲透一些數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)一步用這些方法解決數(shù)學(xué)和生活中的問題。很多教師喜歡這部分具有挑戰(zhàn)性的教學(xué)內(nèi)容。在一次研討活動(dòng)中，王老師進(jìn)行了“雞兔同籠”的教學(xué)嘗試?！半u兔同籠”是人教版四年級(jí)下數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容，這一課的知識(shí)目標(biāo)是讓學(xué)生了解“雞兔同籠”問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，滲透化繁為簡(jiǎn)的思想，掌握用列表法、假設(shè)法解決問題，初步形成解決此類問題的一般性策略。下面是王老師本課重點(diǎn)內(nèi)容的教學(xué)過程：

一、情境導(dǎo)入

師：同學(xué)們，今天我們?cè)谶@里上一節(jié)數(shù)學(xué)課。我們共同研究一道古代數(shù)學(xué)趣題好嗎？這道趣題來自于大約一千五百多年前，我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問題。 （板書課題：雞兔同籠。）

出示主題圖：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

師：這道題是以文言文的方式表述的，雉就是野雞，題目是說籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只？

二、探究新知

1.初步嘗試。

師：從題中你知道了什么？要求什么？

同學(xué)們想一想，猜一猜雞和兔各有多少只？

2.化繁為簡(jiǎn)。

師：數(shù)據(jù)大，不好猜，我們應(yīng)該怎么辦？這樣，我們把數(shù)字改小些，先從簡(jiǎn)單的問題入手。 （課件出示例1。）

師：從題中你們能獲取哪些信息？和生活常識(shí)聯(lián)系在一起，你還能說出哪些信息？

3.猜想驗(yàn)證。

師：有了這些信息，我們先來猜猜，籠子里可能會(huì)有幾只雞？幾只兔？猜測(cè)需要抓住哪個(gè)條件？

師：是不是抓住這個(gè)條件就一定能馬上猜準(zhǔn)確呢？

師：那就需要驗(yàn)證一下我們的猜測(cè)。驗(yàn)證時(shí)該怎么想？

師：好，那我們就用這張表格來輔助進(jìn)行猜測(cè)和驗(yàn)證。請(qǐng)大家來填一填，看看誰能又快又準(zhǔn)確地找出答案來，開始。

（學(xué)生匯報(bào)。）

小結(jié)：這個(gè)方法挺好，能幫我們解決雞兔同籠的問題，我們把這種方法叫做列表法。（板書：列表法。）

4.嘗試研究。

師：老師剛才發(fā)現(xiàn)，同學(xué)都完成得非常快，很了不起！那么，用列表法解決“雞兔同籠”問題你覺得怎么樣呢？

師：說得非常好，那我們就來嘗試著研究一個(gè)更簡(jiǎn)潔的方法吧。若想琢磨方法，得先琢磨什么（題目?jī)?nèi)容或已知條件）——籠子里（8）只動(dòng)物，分別是（雞）和（兔），共有26 條腿，雞有2條腿，兔有4 條腿。

（1）隨口令去想象：

這樣，同學(xué)們隨著我的口令邊想象邊動(dòng)作：兔站起來，舉起前腿。想：此時(shí)，籠子里上面數(shù)（）頭？下面數(shù)（）腿？題中有（）腿？腿多了少了？少多少？哪兒去了？每只兔子舉起（）腿？那籠子里有（）只兔站起來？兔是5只，雞（）只？

（學(xué)生第一遍沒有都理解，教師反復(fù)幾遍帶領(lǐng)學(xué)生通過想象配合動(dòng)作理解。）

（2）這個(gè)方法簡(jiǎn)潔嗎？老師說明白了嗎？誰想再說一遍？

（3）小組交流、匯報(bào)：列出數(shù)學(xué)算式。 （板書。）

5.嘗試解決。

用這個(gè)簡(jiǎn)潔、快速的方法，嘗試解決《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問題。

學(xué)生合作探究、交流匯報(bào)，列出數(shù)學(xué)算式。（課件。）

6.數(shù)形結(jié)合，理解假設(shè)法。

師：剛才我們用假設(shè)兔子站起來的方法，解決了“雞兔同籠”問題，感覺同學(xué)們棒棒的！我們能不能換一種假設(shè)情況，再嘗試一下。

（1）假設(shè)全是雞。

（2）假設(shè)全是兔。

（3）提出假設(shè)法概念。

師：剛才我們通過幾種假設(shè)情況來解決了“雞兔同籠”問題，我們把這種方法叫做假設(shè)法。這是解決“雞兔同籠”問題的一種基本方法。（板書：假設(shè)法。）

可以看得出來在上面的設(shè)計(jì)中借鑒傳統(tǒng)的方法的痕跡還是很明顯的，課堂效果也并不是十分理想，學(xué)生在假設(shè)法的學(xué)習(xí)上明顯感到了迷茫和吃力。一位小學(xué)數(shù)學(xué)教育專家說過：“在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，一個(gè)情境要承載多個(gè)教學(xué)任務(wù)?！蔽蚁脒@樣做的根本目的就是最大程度地提高課堂效率。在這個(gè)案例中，教師教學(xué)表格法的時(shí)候有這樣兩種用意：一是讓學(xué)生掌握用表格法解決雞兔同籠的問題;二是通過感受表格法解決此類問題的繁瑣，從而引出一種更為簡(jiǎn)潔的方法即假設(shè)法的內(nèi)在需求，形成一個(gè)一般性策略 ?？梢哉f該案例中表格法的學(xué)習(xí)有著教者的良苦用心，確實(shí)承載多個(gè)教學(xué)任務(wù)。但是為什么課堂效果不理想呢？問題究竟出在哪里？我把這一疑問帶到了“國培計(jì)劃——網(wǎng)絡(luò)研修工作坊主持人第二次集中培訓(xùn)”的武漢現(xiàn)場(chǎng)，在打磨示范案例的環(huán)節(jié)就這個(gè)問題與同行們進(jìn)行了交流。下面是我們與來自河南省漯河市源匯區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)教研員邢燕老師共同打磨后的課堂紀(jì)實(shí)：

一、情境導(dǎo)入

師：同學(xué)們，今天我們?cè)谶@里上一節(jié)數(shù)學(xué)課，共同研究一道古代數(shù)學(xué)趣題好嗎？這道趣題來自于大約一千五百多年前，我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問題。 （板書課題：雞兔同籠。）

（出示主題圖：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？）

師：哪位同學(xué)知道這段話的意思？

（生嘗試解釋。）

師：這道題是以文言文的方式表述的，雉就是野雞，題目是說籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只？

二、探究新知

1.初步嘗試。

師：從題中你們能獲取哪些信息？

師：同學(xué)們猜一猜雞和兔各有多少只？

生：我猜有15只雞，20只兔。

師：誰來幫他驗(yàn)證一下？

生：15×2+20×4=110（條），和題目中給的共有94條腿這個(gè)條件不符，所以不對(duì)。

生：我猜有18只雞，17只兔。

師：同學(xué)們快來口算一下，看看對(duì)不對(duì)。

2.化繁為簡(jiǎn)。

師：通過上面的猜測(cè)，你們有什么感覺？數(shù)據(jù)大，湊在一起比較困難，我們應(yīng)該怎么辦？今天老師給大家介紹一種思想方法，我們先從簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)入手（以8只動(dòng)物，26條腿為例）。

師：你們現(xiàn)在手里有一個(gè)學(xué)習(xí)單，讓我們就用這張表格，來輔助我們的猜測(cè)。邊填邊思考，隨著雞和兔的只數(shù)的調(diào)整，腳的只數(shù)發(fā)生了怎樣的變化。

學(xué)生填表后匯報(bào)交流：

生1：雞每增加一只，兔子減少一只，腳的總數(shù)會(huì)增加兩條。

生2：我發(fā)現(xiàn)雞的只數(shù)減少3只，兔的只數(shù)增加3只。

師：那這時(shí)候腿的條數(shù)有什么變化？為什么？

生：這時(shí)候腿會(huì)增加6條。因?yàn)橐恢煌帽纫恢浑u的腿數(shù)多兩條，多一只兔子就會(huì)多兩條腿，增加3只兔子就會(huì)增加6條腿。

3.猜想驗(yàn)證。

用表格探究例題1中的情況。

小結(jié)：這個(gè)方法挺好，能幫我們解決雞兔同籠的問題，我們把這種方法叫做列表法。（板書：列表法。）

4.嘗試研究。

師：每次做題，不是都會(huì)有現(xiàn)成的表格，而一只一只調(diào)整會(huì)很麻煩，觀察表格中的數(shù)據(jù)，你們有什么好辦法解決這個(gè)問題嗎？

學(xué)生討論匯報(bào)。

生：我根據(jù)列表法看到，當(dāng)全部都是雞的時(shí)候，腿共有16條，但是題目中共有26條腿，少了10條，因?yàn)槲野淹米佣伎闯闪穗u，一只兔子少看了2條腿，少了10條腿，就是5只兔子少的，所以兔子5只，雞的只數(shù)就是8-5=3只。

師：你們聽懂了嗎？誰再來說說這種方法？

師：這種方法你們能夠通過算式表達(dá)嗎？

（學(xué)生自己列式計(jì)算，通過展臺(tái)展示。）

師：你們還有其他方法嗎？

（學(xué)生展示假設(shè)都是兔子的情況。）

師：剛才我們通過幾種假設(shè)情況來解決了“雞兔同籠”問題，我們把這種方法叫做假設(shè)法。這是解決“雞兔同籠”問題的一種基本方法。（板書：假設(shè)法。）

對(duì)比第一次和第二次實(shí)踐最大的改變?cè)谀睦?？在第一次嘗試中，為什么學(xué)生會(huì)對(duì)假設(shè)法難以理解？事實(shí)上任何知識(shí)如果沒有“前情”上的準(zhǔn)備，靠學(xué)生的自主探究都是很難發(fā)現(xiàn)和完成的。如果像第一個(gè)案例，在教師的牽引下去理解假設(shè)法，缺少一個(gè)使學(xué)生的思維到達(dá)最近發(fā)展區(qū)的支架，學(xué)生對(duì)于假設(shè)法的理解就好比是空中樓閣，他們很難從根源上理解，這個(gè)時(shí)候思維處于被動(dòng)的狀態(tài)，學(xué)習(xí)也就變成了效仿，學(xué)生做不到舉一反三，更不能實(shí)現(xiàn)用假設(shè)法解決生活中問題的根本目的。即如果列表法的存在及研究只是讓學(xué)生感覺到這是解決雞兔同籠問題的一種方法或者僅僅是因?yàn)榉椒ǖ臒┈嵰隽硪环N方法做鋪墊的作用，那么這節(jié)課重難點(diǎn)內(nèi)容的探索注定就是要失敗的。

通過觀察可以發(fā)現(xiàn)在第二次嘗試中我們做的恰恰就是溝通了列表法和假設(shè)法的聯(lián)系。經(jīng)過研究我們發(fā)現(xiàn)這兩種方法并不是孤立的、割裂開來的，學(xué)生對(duì)假設(shè)法的理解和發(fā)現(xiàn)必定要建立在表格法的基礎(chǔ)之上，這其實(shí)是學(xué)習(xí)表格法的又一個(gè)重要的教學(xué)任務(wù)。在第二個(gè)案例中我們可以看到教師使用了兩個(gè)策略來引導(dǎo)學(xué)生建立兩種方法的聯(lián)系：一是通過學(xué)習(xí)表格方法時(shí)“隨著雞和兔的只數(shù)的調(diào)整，腳的只數(shù)發(fā)生了怎樣的變化”等問題作為鋪墊;二是通過關(guān)鍵性語言的引導(dǎo)：“每次做題，不是都會(huì)有現(xiàn)成的表格，而一只一只調(diào)整會(huì)很麻煩，觀察表格中的數(shù)據(jù)，你們有什么好辦法解決這個(gè)問題嗎？” 因?yàn)橛星懊骊P(guān)于隨著雞和兔的只數(shù)的調(diào)整，腳的只數(shù)變化的討論作為鋪墊，當(dāng)學(xué)生再進(jìn)一步觀察表格，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：一只兔子比一只雞的腿數(shù)多兩條，多一只兔子就會(huì)多兩條腿，增加n只兔子就會(huì)增加2n條腿。這正是假設(shè)法解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)。正是因?yàn)橛辛诉@種認(rèn)識(shí)做基礎(chǔ)，學(xué)生再理解和掌握假設(shè)法就水到渠成了。

數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容以前大多出現(xiàn)在“奧數(shù)”中，對(duì)學(xué)生的思維能力有很大挑戰(zhàn)，所以教材往往呈現(xiàn)的方式是直觀的。在教學(xué)過程中，如何從直觀到抽象，如何提煉出一般性策略，這個(gè)往往取決于教師對(duì)教材和知識(shí)的把握以及策略方法的使用。而抽象方法的過程過于直接，忽略學(xué)生的理解和體驗(yàn)往往會(huì)事倍功半。所以在解決數(shù)學(xué)廣角的問題時(shí)，就要求教師設(shè)計(jì)由淺入深的活動(dòng)，化繁為簡(jiǎn)，積累體驗(yàn);找準(zhǔn)知識(shí)、方法之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，領(lǐng)悟思想，最終達(dá)到解決數(shù)學(xué)和生活中問題的目的。

（作者單位：蘿北縣教師進(jìn)修學(xué)校）

編輯/魏繼軍