摘 要：“含參函數(shù)的單調(diào)性討論問題”是近年來高考考查的一個?？純?nèi)容，也是高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。從這幾年來的高考試題來看，含參函數(shù)的單調(diào)性討論常常出現(xiàn)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值以及最值中，因此在高考復(fù)習(xí)中更應(yīng)引起我們的重視。主要講解根據(jù)定義域隱含條件討論函數(shù)單調(diào)性。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；導(dǎo)函數(shù)；單調(diào)區(qū)間

一、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的基本步驟

（1）確定函數(shù)f（x）的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)f'（x）；（3）若f'（x）>0，解出相應(yīng)的x的范圍，則f（x）在相應(yīng)的區(qū)間上是增函數(shù)，若f'（x）<0，則f（x）在相應(yīng)的區(qū)間上是減函數(shù)。

備注：注意因式分解，注意對參數(shù)的分類討論。

若根含有參數(shù)，分類討論根與定義域端點(diǎn)的位置關(guān)系。討論的標(biāo)準(zhǔn)：（1）是否有根；（2）根是否在定義域內(nèi)；（3）若定義域內(nèi)有兩根，比較根的大小。

二、題型

（一）求導(dǎo)通分后分子為一次函數(shù)

例1：求函數(shù)f（x）=ax-1-2Inx的單調(diào)區(qū)間。

解：f（x）定義域為（0，+∞），f'（x）=a- =

當(dāng)a≤0時，f'（x）<0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減

當(dāng)a>0時，令f'（x）>0，∴x> ，∴f（x）在（ ，+∞）單調(diào)遞增

令f'（x）<0，∴x< ∴f（x）在（0， ）單調(diào)遞減

步驟小結(jié)：1.先求函數(shù)的定義域；2.求導(dǎo)函數(shù)（能通分要通分，化為乘除分解式，便于討論正負(fù)）； 3.先討論函數(shù)只有一種單調(diào)區(qū)間的（導(dǎo)函數(shù)同號的）情況；4.再討論函數(shù)有增有減的情況（導(dǎo)函數(shù)有正有負(fù)，以其零點(diǎn)分界）。

練習(xí)1：求函數(shù)f（x）=2x-1-alnx的單調(diào)區(qū)間。

（二）求導(dǎo)通分后分子為二次函數(shù)

例2：（二次函數(shù)能因式分解）求f（x）= x2-（a+1）x+alnx的單調(diào)區(qū)間。

解：f（x）定義域（0，+∞）

f'（x）=x-（a+1）+ = =

令f'（x）=0，∴x=1或x=a

①當(dāng)a≤0時，∴令f'（x）>0，∴x>1，∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增

令f'（x）<0，∴0

②當(dāng)a=1，f'（x）= ≥0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增

③當(dāng)00，∴01，∴f（x）在（0，a），（1，+∞）上單調(diào)遞增

令f'（x）<0，∴a

④當(dāng)a>1，令f'（x）>0，∴0a，∴f（x）在（0，1），（a，+∞）上單調(diào)遞增

令f'（x）<0，∴1

練習(xí)2：求f（x）= x2-（a-1）x-alnx的單調(diào)區(qū)間。

例3：（二次函數(shù)不能因式分解）（2018年全國1卷21題第一問）已知函數(shù)f（x）=- -x+alnx，討論的單調(diào)性。

討論f（x）的單調(diào)性。

解：f（x）定義域為（0，+∞），f'（x）=- -1+ =

當(dāng)a≤0時，∴令f'（x）≤0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，對于一元二次方程-x2+ax-1=0，Δ=a2-4

（1）當(dāng)Δ≤0，0

（2）當(dāng)Δ>0，即a>2時，令f'（x）=0，∴-x2+ax-1=0，∴x2-ax+1=0

∴x1= 或x2=

∴當(dāng)0 時，f'（x）<0，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng) 0，f（x）單調(diào)遞增；

練習(xí)3：求f（x）= x3+ ax2+x+1的單調(diào)區(qū)間。

通過例2、例3提煉解題步驟：（1）求函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)函數(shù)，然后通分，分子能因式分解要因式分解；（3）求導(dǎo)函數(shù)的根（二次的不能因式分解的看判別式，若判別式大于零則用求根公式求出兩個根）；判斷根是否在定義域內(nèi)（若根含有參數(shù)，比較參數(shù)與定義域端點(diǎn)處的大小關(guān)系）；（4）通過數(shù)形結(jié)合，判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)，進(jìn)而判斷原函數(shù)單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間；（5）下結(jié)論。

三、教學(xué)反思

學(xué)生基本了解函數(shù)單調(diào)性的求解過程，但存在以下問題：（1）解答過程不規(guī)范，如忘記考慮定義域、區(qū)間用并集表示；（2）混淆了單調(diào)性的本質(zhì)，在求單調(diào)性的過程中習(xí)慣性地分離參數(shù)而不是求x的范圍；（3）對于參數(shù)的分類討論缺乏方向，主要體現(xiàn)在亂分類、怕分類。

綜合學(xué)生學(xué)情分析，制訂以下針對性的學(xué)習(xí)方法：（1）提煉解題步驟，力求把步驟口訣化促進(jìn)學(xué)生理解及記憶，同時根據(jù)例題解題示范，解決作答不規(guī)范、步驟不清楚、容易遺忘等困難。（2）求函數(shù)單調(diào)性問題，關(guān)鍵在于能判斷導(dǎo)函數(shù)值何時為正、何時為負(fù)。若導(dǎo)函數(shù)中含有參數(shù)，由于參數(shù)影響，則判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)會出現(xiàn)困難。在做題過程中要理清楚求函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵，總結(jié)歸納參數(shù)分類討論的基本方向及基本步驟。（3）學(xué)生要進(jìn)行深入的思考、練習(xí)并及時比較、歸納、總結(jié)。

作者簡介：李莉，研究生，高中數(shù)學(xué)教師，研究方向：廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)群論方向。

編輯 王彥清