郭新忠

高考中經(jīng)常出現(xiàn)與球有關(guān)的考題，這類題大都有一定難度，它涉及球的表面積、體積、截面、外接、內(nèi)切等問題。要想解決好球的問題，必須明確問題的類型，做到心中有數(shù)，有針對(duì)性地靈活解決問題。

一、與球相切的問題

解決球的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作截面來(lái)解決.如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過(guò)球心的對(duì)角面這一性質(zhì)，并且切點(diǎn)到球心的距離等于球的半徑。

例1.如圖，已知球O是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為（ ）

A. π B. C. D. π

解析：選C。平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內(nèi)切圓.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以AC=CD1=AD1= ，所以內(nèi)切圓的半徑r= ×tan30°= ，所以S=πr2=π× = π。

例2.已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為4，PA=PD= ，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，在四棱錐內(nèi)放一個(gè)球，要使球的體積最大，則球的半徑為________。

解析：四棱錐P-ABCD內(nèi)放一個(gè)球，要使球的體積最大，則球?yàn)樗睦忮F的內(nèi)切球。

如圖，分別取AD，BC的中點(diǎn)M，N，連接PM，PN，MN。

因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= ， 所以PM⊥AD，所以PM⊥底面ABCD.又AD=AB=4，所以MN=4，PM= =3，根據(jù)題意球O與四棱錐各面相切，平面PMN即為四棱錐與內(nèi)切球的軸截面，在Rt△PMN中，PN= =5，設(shè)E，F(xiàn)，G為切點(diǎn)，球O的半徑為r，則S△PMN= ×3×4= （3+4+5）r，所以r=1，即所求。答案：1。

二、球的內(nèi)接問題

把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上或把一個(gè)旋轉(zhuǎn)體的頂點(diǎn)及底面放在球面上的問題，即為球的內(nèi)接問題。解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑或旋轉(zhuǎn)體的軸截面是平面圖形且為規(guī)則幾何體，該幾何體的各頂點(diǎn)到球心的距離必等于球的半徑。

例3.已知正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，且該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為________。

解析：如圖，正四棱錐P-ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，設(shè)球的半徑為R，因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為2 ，所以AC=4。在Rt△AOO1中，R2=（4-R）2+22，所以R= ，所以球的表面積S=4πR2=25π。答案：25π。

例4.已知邊長(zhǎng)為2 的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿對(duì)角線BD折成二面角A-BD-C的大小為120°的四面體，則四面體的外接球的表面積為________。

解析：如圖1，取BD的中點(diǎn)E，連接AE，CE。由已知條件可知，平面ACE⊥平面BCD。易知外接球球心在平面ACE內(nèi)，如圖2，在CE上取點(diǎn)G，使CG=2GE，過(guò)點(diǎn)G作l1垂直于CE，過(guò)點(diǎn)E作l2垂直于AC，設(shè)l1與l2交于點(diǎn)O，連接OA，OC，則OA=OC，易知O即為球心。分別解△OCG，△EGO可得R=OC= ，∴外接球的表面積為28π。答案：28π。

三、球面上的點(diǎn)與球的關(guān)系問題

一般要過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)或過(guò)線作截面將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關(guān)系.解決這類問題的關(guān)鍵是抓住小圓上的點(diǎn)到球心的距離等于半徑及公式d= （d為小圓圓心到球心的距離，R是球的半徑，r是小圓的半徑）。

例5.設(shè)點(diǎn)A，B，C為球O的球面上三點(diǎn)，O為球心。球O的表面積為100π，且△ABC是邊長(zhǎng)為4 的正三角形，則三棱錐O-ABC的體積為（ ）。

A.12 B.12 C.24 D.36

解析：選B。∵球O的表面積為100π=4πr2，∴球O的半徑為5.如圖，取△ABC的中心H，連接OH，連接并延長(zhǎng)AH交BC于點(diǎn)M，則AM= =6，AH= AM=4，∴OH= = =3，∴三棱錐O-ABC的體積為V= × ×（4 ）2×3=12 .

總之，球的問題經(jīng)常遇到，主要求球的半徑、表面積、體積及球內(nèi)切或外接幾何體的面積、體積、棱長(zhǎng)和夾角問題。要想速解球的問題，必先抓住問題的實(shí)質(zhì)，再數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化，解決問題的思路往往是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即空間圖形平面化，這也是解決立體幾何中球的問題的主要出發(fā)點(diǎn)。

？誗編輯 杜元元