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        經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中破產(chǎn)變量的聯(lián)合分布

        2019-07-17 02:13:24蘇必豪李婧超
        關(guān)鍵詞:概率密度函數(shù)概率密度赤字

        蘇必豪,李婧超

        深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣東深圳 518060

        近年來,學(xué)界對(duì)保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)相關(guān)變量做出大量研究.GERBER等[1]對(duì)破產(chǎn)時(shí)間、破產(chǎn)時(shí)赤字和索賠數(shù)等問題進(jìn)行研究.雖然破產(chǎn)概率仍是破產(chǎn)理論的焦點(diǎn),但研究破產(chǎn)相關(guān)變量及其之間的關(guān)系更具有一般性.經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的研究表明,當(dāng)破產(chǎn)發(fā)生時(shí),若初始盈余對(duì)最終破產(chǎn)概率的影響不可忽略,則破產(chǎn)概率密度是正偏斜的,且偏斜度至少為0.5%[2].類似地,在相同情況下直到破產(chǎn)發(fā)生時(shí),索賠次數(shù)的概率函數(shù)是正偏斜的[3].這些結(jié)果說明,當(dāng)破產(chǎn)發(fā)生時(shí),總索賠額分布的偏度可能是正的,本研究將證明該結(jié)論成立.

        雖然已經(jīng)有許多學(xué)者對(duì)破產(chǎn)前總索賠的預(yù)期折現(xiàn)額進(jìn)行研究[4-5],但關(guān)于破產(chǎn)時(shí)總索賠額的研究卻不多,唐應(yīng)輝等[6]根據(jù)個(gè)體索賠額分布函數(shù)的性質(zhì),研究個(gè)別風(fēng)險(xiǎn)模型中總索賠額分布函數(shù)的界值問題.本研究將揭示破產(chǎn)時(shí)的總索賠額與破產(chǎn)時(shí)間和破產(chǎn)赤字密切相關(guān).盡管破產(chǎn)時(shí)的赤字分布并未體現(xiàn)保險(xiǎn)公司在破產(chǎn)之前的支出額分布情況,但由破產(chǎn)時(shí)間的分布可知保險(xiǎn)公司直到破產(chǎn)前的收入.根據(jù)破產(chǎn)時(shí)間和破產(chǎn)赤字的聯(lián)合分布,可研究破產(chǎn)前總索賠額的分布等性質(zhì).破產(chǎn)時(shí)總索賠額的分布給保險(xiǎn)人指明,不同程度的支出對(duì)應(yīng)發(fā)生破產(chǎn)的可能性.HUANG等[7]討論盈余第一次達(dá)到一定水平時(shí)的拉普拉斯變換,RABEHASAINA等[8]研究在Sparre Andersen過程中,破產(chǎn)時(shí)間和破產(chǎn)時(shí)總索賠量的聯(lián)合分布,得出拉普拉斯變換的表達(dá)式,但未能有效對(duì)其結(jié)果做逆變換.在初始盈余為0的情況下,做逆變換并不是一個(gè)獲得破產(chǎn)相關(guān)變量分布的簡(jiǎn)單方法[9-10].本研究采取較為直接的方法,得到聯(lián)合密度的顯式表達(dá)式.通過對(duì)破產(chǎn)時(shí)間和破產(chǎn)時(shí)赤字的聯(lián)合概率密度函數(shù)進(jìn)行函數(shù)變換,得到截止至破產(chǎn)時(shí)的總索賠額與其他破產(chǎn)變量,如截止破產(chǎn)時(shí)的總索賠次數(shù)、破產(chǎn)時(shí)間及破產(chǎn)時(shí)赤字的聯(lián)合概率密度,并且以個(gè)體索賠分布為指數(shù)分布以及其他可分解型的指數(shù)族分布的情況進(jìn)行舉例說明.

        1 符號(hào)表示

        2 包含S(Tu)的聯(lián)合概率密度

        考慮包含隨機(jī)變量S(Tu)的聯(lián)合概率密度.假設(shè)在時(shí)間t時(shí),發(fā)生第n次索賠,此時(shí)破產(chǎn)發(fā)生,且破產(chǎn)的集體索賠額為x. 因此,

        Pr(Tu≤t,N(Tu)=n,S(Tu)≤x)=

        (1)

        x>c+ct,t>0, 且

        vn(u,x-ct-u,t)

        w(u,x,t)=v(u,x-ct-u,t)

        (2)

        由(Tu,Yu)的概率密度,可求出(Tu,S(Tu))的概率密度.DICKSON 等[11-12]給出有關(guān)(Tu,Yu)概率密度的顯式解.為得到wn(u,x,t), 運(yùn)用 DICKSON[13]給出的vn(u,y,t)公式,當(dāng)u>0, 有w1(u,x,t)=λe-λtp(x). 則對(duì)n=1,2,3,…有

        pn*(ct-z)p(z+x-ct)dz

        (3)

        pj*(u+cs)

        wn+1-j(0,x-u-cs,t-s)ds

        (4)

        通過式(3)和式(4)可獲得包含2個(gè)變量的聯(lián)合密度,對(duì)n求和得(Tu,S(Tu))的聯(lián)合概率密度,對(duì)t積分得(N(Tu),S(Tu))的聯(lián)合概率密度. (Tu,S(Tu))的聯(lián)合概率密度可表示為

        g(ct-z,t)p(z+x-ct)dz

        (5)

        且對(duì)u>0,

        (6)

        (7)

        (8)

        利用聯(lián)合概率密度函數(shù)求S(Tu)的邊緣概率密度較為復(fù)雜.然而,若定義

        S(Tu)≤x)

        (9)

        對(duì)第1次索賠的時(shí)間和數(shù)量進(jìn)行調(diào)整,得

        (10)

        對(duì)于存在顯示表達(dá)式的ψ(u), 式(10)中積分的性質(zhì)不允許通過標(biāo)準(zhǔn)方法來求解Ω(u,x)的索賠大小分布.第2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方法是做逆變換,但仍非獲得S(Tu)密度的有效途徑.

        2.1 指數(shù)索賠

        首先, 考慮單次索賠額為指數(shù)分布, 即p(x)=αe-αx,x>0的情況,其結(jié)果在文獻(xiàn)[14]中詳細(xì)說明,v(u,x,t)=w(u,t)αe-αx, 因此,w(u,x,t)=w(u,t)αe-α(x-ct-u). 文獻(xiàn)[11]對(duì)于w(u,t)可得(Tu,S(Tu))的聯(lián)合概率密度為

        (11)

        其中,x>u+ct,t>0, 且

        為v階的修正Bessel函數(shù).圖1給出對(duì)于2個(gè)不同u值時(shí), (Tu,S(Tu))的聯(lián)合概率密度函數(shù)圖像.其中,t表示破產(chǎn)時(shí)間;x表示破產(chǎn)時(shí)的集體索賠額.由式(4)可得S(Tu)的概率密度.用求和形式寫出Bessel函數(shù),并根據(jù)(u+ct)n的二項(xiàng)展開式,當(dāng)x>u, 有

        (12)

        (13)

        圖1 u=0, 20時(shí)w(u, x, t)的圖像Fig.1 (Color online) w(u, x, t) charts when u=0, 20

        同時(shí),也可得(N(Tu),S(Tu))的聯(lián)合概率密度,對(duì)任意的x>0, 運(yùn)用式(7)可得

        E(2n-1,λ,x/c)

        (14)

        對(duì)于u>0,x>u, 通過一些簡(jiǎn)單變換得

        E(n+j-1,λ,(x-u)/c)-

        E(2n+j-k-1,λ,(x-u)/c)} (15)

        圖2 當(dāng)n=2,3,4,5, n=10和 n=20時(shí),和的圖像 and charts when n=2,3,4,5, n=10 and n=20

        2.2 其他指數(shù)族索賠分布

        只有特定幾個(gè)類型的個(gè)體索賠分布才可以求出(Tu,Yu)聯(lián)合分布函數(shù)的顯式解,這些分布需滿足以下性質(zhì)[15]

        (16)

        其中, {ηj}為非負(fù)的實(shí)值函數(shù); {τj}為概率密度函數(shù).由此可推導(dǎo)出v(u,y,t)的形式為[16]

        (17)

        因此,可得

        (18)

        i=1,2,…,n.

        (19)

        結(jié) 語(yǔ)

        本研究在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型下,研究破產(chǎn)時(shí)的總索賠額與破產(chǎn)時(shí)間和破產(chǎn)赤字的聯(lián)合分布函數(shù).根據(jù)破產(chǎn)時(shí)間和破產(chǎn)赤字的聯(lián)合分布,研究破產(chǎn)前總索賠額的分布等性質(zhì).并選取指數(shù)索賠和幾個(gè)其他特定的索賠類型為例,解出破產(chǎn)時(shí)總索賠額分布的具體表達(dá)式.指出不同程度的支出對(duì)應(yīng)發(fā)生破產(chǎn)的可能性.

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