王志強，張志偉，楊海泉

深圳大學計算機與軟件學院，廣東深圳518060

植物模擬是計算機圖形學和計算機動畫技術(shù)的研究熱點之一，在計算機視覺、游戲和虛擬現(xiàn)實等領(lǐng)域都發(fā)揮著重要作用[1]．花卉仿真是植物模擬的重要分支，因花卉組織器官精細而不規(guī)則，且?guī)缀魏托螒B(tài)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性使花卉建模繁瑣又費時，具有一定的挑戰(zhàn)性．現(xiàn)有的花卉仿真方法，按照建模方式的不同，主要分為基于幾何和基于圖像的花卉建模方法．基于幾何的建模方法是通過用點、線、面、體等幾何元素模擬植物器官，設(shè)置規(guī)則和參數(shù)對花卉進行仿真．如PRUSINKIEWICZ等[2]將L系統(tǒng)應(yīng)用于花卉模型構(gòu)建，實現(xiàn)多種花卉的仿真．IJIRI等[3]提出通過草圖進行花卉仿真，并采用控制點繪制花卉的曲面特征．OWENS等[4]引入植物學理論，對密集花簇進行建模及動畫處理．基于圖像的建模方法不依賴幾何模型，主要借助光學儀器獲取相關(guān)圖像序列，進行組合達到三維重建．如IJIRI等[5]利用電子計算機斷層掃描 (computed tomography, CT)捕捉花朵內(nèi)部結(jié)構(gòu)的體積數(shù)據(jù)，引入一種半自動建模技術(shù)，重建了精細的花卉器官．ZHENG等[6]結(jié)合3D掃描儀引入一種基于模板的跟蹤擬合算法，重構(gòu)了花卉盛開過程．基于圖像的花卉建模真實感強，但對數(shù)據(jù)獲取設(shè)備精度要求高，三維重建計算量大．基于幾何的建模方法實現(xiàn)相對容易，因為不會影響其性能而得到廣泛應(yīng)用．

本研究利用Catmull-Rom樣條和Perlin噪聲實現(xiàn)花瓣和葉片建模，通過Vogel模型生成花序，提出一種改進的物理光照方程進行花卉渲染．該方法在繪制草圖時使用控制點少且可快速建模，所得花卉模型仿真度高，渲染光照真實感強．

1 花卉建模

1.1 二維草圖的繪制

Catmull-Rom樣條曲線[7]的定義是：給定n+1個控制點{p0,p1, …,pn}， 找到一條曲線對這些控制點進行插值并連接(除首尾兩控制點)，其中每個控制點的切線通過前后兩點來計算．

假設(shè)有4個控制點pi-2、pi-1、pi和pi+1， 通過Catmull-Rom樣條可繪制一條從pi-1到pi的曲線(圖1)，其約束公式為

(1)

圖1 Catmull-Rom樣條曲線Fig.1 Catmull-Rom spline curve

該樣條函數(shù)為3次插值樣條，可表示為

(2)

其中，x∈[0, 1] ； 系數(shù)a0～a3由p(x)在首尾端點pi-1和pi的約束條件決定. 將式(1)代入式(2)，可求得Catmull-Rom樣條曲線的表達式為

p(x)=[1xx2x3]×

(3)

其中，x∈[0, 1]；τ為張力因子．

分析Catmull-Rom樣條曲線發(fā)現(xiàn)，只需超過4個控制點就可形成該曲線．與單一的二次曲線或三次曲線相比，可用較少的控制點形成任意形狀的曲線，適應(yīng)擬合花卉重要器官的二維形狀(如葉片、花瓣和花蕾等)．

在自然界中，大部分的葉片和花瓣往往呈對稱狀．考慮到花卉的中心軸對稱性，將一側(cè)的建模控制點鏡面映射到另一側(cè)，引入首尾控制點(0,0)和(0,1)，可進一步簡化建模難度．通過2個或3個控制點就可較好地繪制葉片、花蕾和花瓣的草圖，如圖2．同時，張力因子τ取通用值0.5，可令樣條曲線更好地擬合二維草圖．

圖2 二維草圖Fig.2 Two-dimensional sketch

1.2 基于Perlin噪聲的三維重建

基于Perlin噪聲的花卉建模[8]，需定義一個晶格結(jié)構(gòu)，為每個整數(shù)晶格頂點賦值偽隨機梯度向量．對于坐標為(i,j)的晶格點，偽隨機梯度g的生成需要使用梯度向量查找表G和用于哈希計算的隨機數(shù)組Q， 即

g[i,j]=G[(Q[imod 256]+j)mod 256]

(4)

其中，G為PERLIN[9]通過蒙特卡洛方法預(yù)計算的隨機梯度表；Q是長度為256的數(shù)組，隨機且無重復(fù)地存放0～255的整數(shù)．

對于二維的花卉草圖，晶格結(jié)構(gòu)是一個平面網(wǎng)格，且每點的噪聲值由其最接近的4個晶格頂點決定，如圖3．

圖3 二維Perlin噪聲的插值Fig.3 The interpolation of two-dimensional Perlin noise

首先，根據(jù)式(5)計算點(x,y)到各個晶格頂點的距離向量．

v[i,j]=(x,y)-(xi,yj)

(5)

其次，將每個距離向量與頂點上的梯度向量進行點乘，即

δ[i,j]=v[i,j]·g[i,j]

(6)

二維Perlin噪聲的權(quán)重需要緩和曲線插值：

ψ(x)=6x5-15x4+10x3

(7)

每點的噪聲值需加權(quán)最近梯度向量，即將式(6)和式(7)相乘求和

noise(x,y)=Ψ(1-x, 1-y)δ[0,0]+

Ψ(x, 1-y)δ[1,0]+

Ψ(1-x,y)δ[0,1]+

Ψ(x,y)δ[1,1]

(8)

其中，Ψ(x,y)=ψ(x)ψ(y)，ψ(x)和ψ(y)為插值函數(shù)．

考慮到花卉器官凹凸程度各不相同，可基于Perlin噪聲引入噪聲值的縮放系數(shù)Nd、x軸和y軸的偏移值Nsx和Nsy， 來計算二維草圖的三維深度值

(9)

其中，k∈(0, +∞)；Nsx和Nsy為Perlin噪聲x軸和y軸的縮放值．

在花卉片狀器官三維重建中，通過Nsx和Nsy控制噪聲在x軸和y軸的頻率，使用Nd控制噪聲值的振幅．葉片草圖的三維重建如圖4．由圖4可見，當Nd、Nsx和Nsy較小時，噪聲波動趨于平緩，得到平整的葉片模型；當增大Nsy和Nd值時，草圖y軸的深度值波動頻率增加且上下波動幅度變大，生成沿縱軸卷曲的葉片模型．

圖4 不同參數(shù)的葉片模型Fig.4 The leaf models with different parameters

針對花瓣凹凸程度的對稱性，用草圖中軸線做鏡面映射，將花瓣左側(cè)草圖的深度值賦值給右側(cè)映射點．然后根據(jù)草圖的不同，調(diào)節(jié)參數(shù)可生成所需花瓣的mesh模型，結(jié)果如圖5．

圖5 生成的花瓣模型Fig.5 Generated petal models

1.3 花卉的Vogel模型

VOGEL[10]在研究向日葵花盤時，發(fā)現(xiàn)花盤種子排序呈斐波納契螺旋狀，并建立了該形態(tài)結(jié)構(gòu)的Vogel數(shù)學模型

(10)

其中，n是花盤種子的順序號，從中心向外計數(shù)；r是花盤中心點與第n個種子之間的距離；c是縮放系數(shù)；θ是第n個種子繞花盤中心旋轉(zhuǎn)的角度，斐波納契角一般取值為137.5°．Vogel模型中花盤種子分布如圖6．

圖6 種子分布圖[4]Fig.6 Seeds distribution diagram[4]

自然界中即使同一株花卉的各個花瓣也不盡相同，因此構(gòu)建形態(tài)結(jié)構(gòu)前需預(yù)設(shè)多個花瓣草圖及其相關(guān)噪聲參數(shù)．在構(gòu)建第n個花瓣時，需從預(yù)置的花瓣模型中隨機選擇，再根據(jù)計算的歐拉角和距離放置花瓣．運用Vogel模型生成玫瑰花和睡蓮等花卉形態(tài)結(jié)構(gòu)，如圖7．

圖7 Vogel模型生成的花卉Fig.7 The flowers generated by Vogel model

2 花卉渲染

光與花卉的交互是一個復(fù)雜的過程，傳統(tǒng)的Lambert和Blinn-Phong等經(jīng)驗?zāi)Ｐ蚚11]無法較好地進行模擬．引入雙向反射分布函數(shù)(bidirectional reflectance distribution function, BRDF)光照模型，可使漫反射項和高光反射項真實地渲染花卉．

2.1 漫反射模擬效果

Lambertian BRDF是應(yīng)用廣泛的漫反射BRDF模型，但其忽略了菲涅爾反射和次表面散射．本研究考慮到真實的物理光照渲染，對漫反射項使用Disney的BRDF模型，用符合物理現(xiàn)象的漫反射來模擬[12]

[1+(FD90-1)(1-n·v)5]

(11)

其中，fd(l,v)為漫反射項；l為光源的入射方向；v為觀察方向；Bc是表面顏色；FD90為粗糙系數(shù)計算項，F(xiàn)D90=0.5+2Rn(h·l)2，h為l和v的半角度矢量，Rn是花卉表面的粗糙度；n為表面法向量．該光照模型還兼顧了掠射角的能量變化．

2.2 高光反射模擬效果

物理光照渲染中，高光反射項通常應(yīng)用微面元理論[13]．該理論認為：物體表面是由微觀的面元組成，每個面元被假設(shè)為光學平滑，即光線和花卉表面一點相交時，實際是一系列微面元交互的結(jié)果．

引入Black Ops2的微面元光照模型進行花卉的高光效果模擬[14]

fspec(l,v)=Dpl(h)F(l,h)V(v,h)

(12)

其中，fspec(l,v)為高光反射項；Dpl(h)是微面元的法線分布函數(shù)，計算法線為h的微面元所占比例；F(l,h)是環(huán)境映射的菲涅爾反射函數(shù)，它不僅計算反射光線占入射光線的比例，而且包含部分光線遮蔽因素；V(v,h)是可見度逼近函數(shù)，計算陰影遮掩以及校正微面元從局部到整體的數(shù)量差異．

考慮到物理渲染的計算復(fù)雜度，使用法線分布函數(shù)Dpl(h)對Blinn-Phong高光模型進行改進，即保留其模型較少的計算量，同時引入簡單的參數(shù)替代Beckmann NDF[15]，得到新法線分布函數(shù)為

(13)

其中，α為反射強度，α=8 192g，g為光澤度．

環(huán)境映射的菲涅爾反射函數(shù)為

F(l,h)=r0+(1-r0)2-10(l·h)

(14)

其中，r0為高光反射系數(shù)．

可見度逼近函數(shù)為

(15)

其中，k=min(1.0,g+0.545).

將渲染算法用于三維虛擬場景中的視覺效果，如圖8．相對傳統(tǒng)光照，改進后的算法使用物理渲染，更符合物理學規(guī)律模擬光線．

圖8 三維場景中的葉片F(xiàn)ig.8 Leaves in 3D scene

3 實驗結(jié)果與分析

3.1 仿真實驗

實驗在Intel Core i3-2130 CPU、4 Gbyte內(nèi)存、Intel HD集成顯卡(128 Mbyte)的計算機上，以自然景物中的花卉為研究對象，采用C#語言并結(jié)合ShaderLab在Unity 3D的平臺下，實現(xiàn)多種花卉的真實感建模．根據(jù)本研究仿真算法，結(jié)合所獲取的數(shù)據(jù)，得到真實感渲染后的玫瑰花植株如圖9(b)，圖9(a)為拍攝的真實玫瑰花．將仿真結(jié)果同實物照片比較可得，所構(gòu)造的花卉葉片模型呈橢圓形[16]，花瓣呈倒卵形，逼真地再現(xiàn)了玫瑰花的形態(tài)特征．通過增大Perlin噪聲的Nsx和Nd值，能較好地模擬出玫瑰花瓣的波浪狀褶皺紋理．

圖9 玫瑰花的仿真Fig.9 The simulation of roses

仿真算法采用控制點生成花卉器官，通過參數(shù)調(diào)整可得到不同的花卉仿真模型．算法不僅可以構(gòu)造重瓣花，還可仿真各式各樣的單瓣花，圖10(b)給出了單瓣花三色堇的建模效果．首先繪制卵狀三角形的花瓣草圖，然后使用Perlin噪聲生成平整的三色堇花瓣，最后組合各個花卉器官得到形似彩蝶的三色堇．

圖10 三色堇的仿真Fig.10 The simulation of pansies

圖9和圖10兩種不同花卉的具體參數(shù)設(shè)置如表1．其中，Np是花瓣數(shù)；Nl是葉片數(shù)；h是莖稈高度；φ和d分別為花被片角度和花瓣間距．其他類型的花卉仿真結(jié)果請掃描論文頁末右下角二維碼，見補充材料圖S1和圖S2．

表1 不同花卉的參數(shù)設(shè)置Table 1 The parameter settings in the different flowers

由表1可見，重瓣花玫瑰的花瓣層數(shù)多，最內(nèi)側(cè)的花蕾接近直立狀，φ通常設(shè)成90°．而單瓣花三色堇只有兩層花瓣，花瓣之間緊密相連，φ設(shè)定為30°，d僅為玫瑰花的1/2．

同時，使用花蕾的數(shù)量Nb、花瓣角度比例Sa和花的大小S進行參數(shù)調(diào)整，可生成不同生長時期的花卉，結(jié)果如圖11．由圖11可知，當花蕾數(shù)量較多且比例較小時，仿真結(jié)果呈現(xiàn)花卉生長初期．當花蕾數(shù)量較少且比例較大時，仿真結(jié)果呈現(xiàn)花卉盛開時期．

圖11 玫瑰花的不同生長時期Fig.11 Different growth stages of the rose

3.2 算法比較

圖12分別展示了采用分形幾何、Bézier曲面和Perlin噪聲方法生成的仿真花卉．由圖12可見，Perlin噪聲生成的花卉真實感比另外兩種更強．

圖12 不同算法生成的花卉Fig.12 The flowers generated by different algorithms

對比各種算法生成的花卉，其結(jié)果如表2.由表2可見，分形幾何生成的花瓣和葉片不可卷曲，仿真效果較差且需要花卉的迭代函數(shù)系統(tǒng)(iterated function system, IFS)碼，如圖12(a)．Bézier曲面需要使用較多的控制點以生成花瓣，但花卉建模繁瑣，如圖12(b)．基于Perlin噪聲的算法易于建模并能獲得較好的花卉仿真效果，如圖12(c)．此外，還可以調(diào)整控制點和關(guān)鍵參數(shù)生成不同的花卉及其生長時期．

表2 三種不同算法的比較Table 2 Comparison of three different algorithms

3.3 性能分析

表3比較了分別采用分形幾何、Bézier曲面和Perlin噪聲算法生成單株玫瑰花時的性能數(shù)據(jù)．由表3可見，用Perlin噪聲算法繪制的玫瑰花復(fù)雜度較低，且繪制速度最快，所需存儲空間與Bézier曲面算法相比減少了31.3%，而繪制時間僅增了0.5 s．

表3 三種仿真方法的效率比較Table 3 Comparison of the efficiency of three methods

當模擬空間規(guī)模大小為64×64×8像素的場景時，采用增加花卉數(shù)量的方法可以比較分形幾何、Bézier曲面和Perlin噪聲3種仿真方法在實際場景的性能，其結(jié)果如圖13．

圖13 渲染幀率對比Fig.13 Comparison of rendering frame rate

由圖13可知，分形幾何平均幀率最高，性能變化較平緩，適用于對場景真實感要求不高，但花卉數(shù)量較多的虛擬場景；Perlin噪聲的性能隨著花卉數(shù)量增加而下降，適用于真實感要求較高，但不需要大量花卉仿真的虛擬場景；Bézier曲面的性能下降較快，幀率不如同等條件下的Perlin噪聲，適用于對花卉真實感要求特別高的小范圍虛擬場景．

結(jié) 語

根據(jù)花卉的對稱特性，將一側(cè)控制點映射到另一側(cè)，利用Catmull-Rom樣條曲線繪制草圖．通過二維Perlin噪聲生成深度值，引入噪聲x軸和y軸縮放參數(shù)去控制花瓣和葉片的卷曲程度，實現(xiàn)花卉器官的三維重建；采用Vogel數(shù)學模型生成花序，并構(gòu)建花卉形態(tài)結(jié)構(gòu)；提出一種改進的物理光照方程，從漫反射項和高光反射項對花卉進行渲染．實驗結(jié)果表明，本研究方法在花卉仿真時使用控制點少、建模高效，生成的花卉模型仿真度高且數(shù)據(jù)量小，渲染光照真實感強．但是，該方法的花卉仿真類型局限于單瓣花和符合Vogel模型的重瓣花，也僅能模擬花卉開放的過程．如何擴展花卉仿真類型、模擬花卉從開放到衰落過程，以及綜合考慮花卉的植物學特性等是下一步研究的方向．