皮帥玲　蘇淑華　李琪　張碧霞

摘 要 高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在教材編寫(xiě)和教學(xué)設(shè)計(jì)等方面有著重要的指導(dǎo)作用。以2000年版、2003年版和2017年版為比較對(duì)象，通過(guò)靜態(tài)定量模型的三個(gè)主要影響因素課程廣度、課程時(shí)間和課程深度來(lái)分析普通高中數(shù)學(xué)函數(shù)的課程難度。研究發(fā)現(xiàn)，2017年版課程標(biāo)準(zhǔn)在課程廣度和課程深度都稍有增加，有助于研究者對(duì)函數(shù)課程內(nèi)容的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞 課程標(biāo)準(zhǔn) 課程難度 函數(shù) 對(duì)比

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2019.06.074

A Contrastive Study on the Difficulty of Mathematics Course in Senior High School

——Take the compulsory course function as an example

PI Shuailing， SU Shuhua， LI Qi， ZHANG Bixia

（Fuzhou Normal College of ECUT， Fuzhou， Jiangxi 344000）

Abstract High school mathematics curriculum standards play an important guiding role in textbook compilation and teaching design. By comparing 2000 edition， 2003 edition and 2017 edition， this paper analyses the curriculum difficulty of mathematics function in senior high school through three main factors of static quantitative model： curriculum breadth， curriculum time and curriculum depth. The study finds that the 2017 version of curriculum standards has slightly increased in the breadth and depth of the curriculum， which is helpful for researchers to further understand the content of functional curriculum.

Keywords curriculum standards； course difficulty； function； contrast

1 問(wèn)題提出

對(duì)于普通高中數(shù)學(xué)課程，2000年之后共有三個(gè)版本的課程標(biāo)準(zhǔn)，分別是：2000年《全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（修訂版）》、[1]2003年《全日制普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)版）》[2]和2017年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》。[3]為了方便起見(jiàn)，分別簡(jiǎn)稱為：2000年版、2003年版和2017年版。目前，研究課標(biāo)的主要方法是史寧中于2005年提出的靜態(tài)定量模型。[4]該模型主要是基于課程廣度、課程時(shí)間和課程深度來(lái)建構(gòu)課程內(nèi)容難度的量化模型。

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的基本概念和課程核心內(nèi)容之一?，F(xiàn)有文獻(xiàn)主要是從教材角度來(lái)分析函數(shù)內(nèi)容的課程難度，而從課程標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分析研究的比較少。例如魏鈺婷以人教A版與澳洲BIP版高水平數(shù)學(xué)教材為例，[5]胡曉婷以我國(guó)各版本教材為例，來(lái)考查高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)內(nèi)容的難度情況；[6]胡莉莉等以中美數(shù)學(xué)教材為例，來(lái)分析初中函數(shù)內(nèi)容的難度情況；[7]呂世虎和劉鵬飛從大綱和課標(biāo)來(lái)探究函數(shù)課程內(nèi)容難度的發(fā)展情況。[8]

隨著我國(guó)最新的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的完成，對(duì)函數(shù)課程內(nèi)容難度的具體要求也有所變化。在這樣的背景下，把最新修訂的2017年版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與前兩版的函數(shù)課程內(nèi)容難度進(jìn)行分析比較，探究最新的2017版課程標(biāo)準(zhǔn)下的函數(shù)課程難度的變化情況，擬解決的問(wèn)題是：相較于前2版課標(biāo)，2017版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)函數(shù)課程內(nèi)容難度的具體要求發(fā)生了怎樣的變化？

2 關(guān)于“函數(shù)”課程難度的對(duì)比研究

刻畫(huà)課程難度的靜態(tài)定量模型為：

（1）

表示課程難度，表示課程廣度，表示課程時(shí)間，表示課程深度。本文以必修課程函數(shù)為樣本，運(yùn)用該模型來(lái)研究函數(shù)課程內(nèi)容難度。

由于2003年版課程廣度、課程深度和課程時(shí)間的具體數(shù)據(jù)都沒(méi)有明確給出，為了便于計(jì)算，作出以下假設(shè)，在對(duì)該版三個(gè)因素進(jìn)行量化時(shí)，均采用2003年版課程標(biāo)準(zhǔn)下的教材來(lái)代替。該教材能夠比較全面地反映2003年版課標(biāo)。

2.1 考查課程廣度

課程廣度是指課程內(nèi)容所涉及的范圍和領(lǐng)域的廣泛程度，可以用我們通常所說(shuō)的“知識(shí)點(diǎn)”的多少進(jìn)行量化。考慮到“解三角形” 、“數(shù)列”、“三角恒等變換”等都涉及到“函數(shù)”，所以，我們把這些都?xì)w結(jié)為“函數(shù)”部分的課程內(nèi)容。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，2000年版相應(yīng)內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)合計(jì)32個(gè)，取綜合的課程廣度系數(shù)為32，即=32；2003年版相應(yīng)內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)合計(jì)33個(gè)，取綜合的課程廣度系數(shù)為33，即=33；2017年版相應(yīng)內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)合計(jì)34個(gè)，取綜合的課程廣度系數(shù)為34，即=34。

由上可知，這三個(gè)版本函數(shù)內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)數(shù)量在逐版增加，2017版課程標(biāo)準(zhǔn)相較于前兩版，函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的范圍最廣。

2.2 考查課程時(shí)間

課程時(shí)間是指課程內(nèi)容的完成所需要的時(shí)間，可以用我們通常所說(shuō)的“課時(shí)”多少進(jìn)行量化。

2000年版是“函數(shù)”30課時(shí)，“三角函數(shù)”是46課時(shí)，“數(shù)列”也歸為一種特殊的函數(shù)，是12課時(shí)，共計(jì)88課時(shí)。于是，T1=88。

2003版下的教科書(shū)的設(shè)置是“人教版”高中數(shù)學(xué)課程必修1中“集合與函數(shù)概念”、“基本初等函數(shù)（I）”、“函數(shù)的應(yīng)用”是18課時(shí)，在必修4 中第一章“三角函數(shù)”、第三章“三角恒等變換”是36課時(shí)，必修5中第一章“解三角形”、第三章“數(shù)列”是36課時(shí)，共計(jì)90課時(shí)。類似地，在“北師大版”高中數(shù)學(xué)課程中，課程時(shí)間共計(jì)75課時(shí)。綜合兩個(gè)版本，取其平均值82.5. 于是，T2=82.5。

2017版中必修課程內(nèi)容“主題二函數(shù)”有52課時(shí)，選擇性必修課程“主題一數(shù)列、函數(shù)”有30課時(shí)，共計(jì)82課時(shí)。于是，T3=82。

可以看到，這三個(gè)版本函數(shù)內(nèi)容的課時(shí)數(shù)設(shè)置在逐次減少，2017版課程標(biāo)準(zhǔn)相較于前兩版，函數(shù)的課時(shí)數(shù)安排最少。

2.3 考查課程深度

課程深度是指課程內(nèi)容的數(shù)學(xué)抽象度，還涉及到課程內(nèi)容的推理與運(yùn)算步驟。根據(jù)數(shù)學(xué)抽象分析法，[9]我們用抽象度deg來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的綜合深度，可有如下分析：

（1）2000年相應(yīng)課程內(nèi)容的抽象度分析：

A：函數(shù) B：三角函數(shù)C：同角三角函數(shù)D：三角恒等變換 E：斜三角形解法舉例?！逗瘮?shù)》的deg=3.5從而，其相應(yīng)的課程內(nèi)容深度為3.5，即。

（2）2003年相應(yīng)課程內(nèi)容的抽象度分析：

A：函數(shù) B：三角函數(shù) C：三角函數(shù)的圖像和性質(zhì) D：三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用 E：三角恒等變換?！逗瘮?shù)》的deg=4。從而，其相應(yīng)的課程內(nèi)容深度為4，即=4。

（3）2017年相應(yīng)課程內(nèi)容的抽象度分析：

A：函數(shù) B：三角函數(shù) C：同等三角函數(shù) D：三角恒變換 E：三角函數(shù)應(yīng)用F：三角函數(shù)模型與數(shù)學(xué)建模?！逗瘮?shù)》的deg=4.5。 從而，其相應(yīng)的課程內(nèi)容深度為4.5，即=4.5。

可以看到，這三個(gè)版本函數(shù)內(nèi)容中課程抽象度在逐次增加，2017版課程標(biāo)準(zhǔn)相較于前兩版，函數(shù)的課程抽象度最深。

3 比較結(jié)果

（1）由以上數(shù)據(jù)可得，表1。

分別代入公式（1）可得：

其中，于是，，，。如果取，那么，，。結(jié)果表明，在這個(gè)模型下，2017年版函數(shù)最難。

（2）如果假定2017年版與2000年版和2003年版的課程難度是相同的，即，相應(yīng)的課程廣度和課程時(shí)間不變，而且，仍取，那么，課程深度必滿足

于是得到，

如果取，那么，

這表明，此時(shí)如果2017年版下的“函數(shù)”的課程系數(shù)取5，那么，要控制課程難度不變，其課程深度就必須要比2000年版、2003年版都要淺，大約是2000年版的0.66，是2003年版的0.89。

換言之，2017年版函數(shù)部分的課程時(shí)間減少了，課程廣度稍微增加了，但由于增加了探究、建模等活動(dòng)過(guò)程，課程要求增加了即課程深度系數(shù)增大了，這必然導(dǎo)致這部分內(nèi)容的整體課程難度加大。

另一方面，在實(shí)際教學(xué)中，對(duì)于存在內(nèi)容關(guān)聯(lián)或疊加、而要求又不盡相同的課程內(nèi)容，由于教學(xué)的慣性使然，教師通常會(huì)保持相同的課程深度，也就導(dǎo)致了課程難度不能保持一致。因此，對(duì)于即將到來(lái)新課標(biāo)下的教材，教師在教學(xué)過(guò)程中可注意要按照新課標(biāo)實(shí)行教學(xué)。

*通訊作者：蘇淑華

基金項(xiàng)目：[1]江西省高等學(xué)校教學(xué)改革研究課題“基于SPOC的高校數(shù)學(xué)課程‘三環(huán)七步教學(xué)模式研究”（JXJG17612）；[2]撫州市社會(huì)科學(xué)規(guī)劃課題“以創(chuàng)新‘國(guó)培送教下鄉(xiāng)培訓(xùn)模式推進(jìn)撫州市縣域義務(wù)教育均衡發(fā)展的研究”（18SK027）

參考文獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國(guó)教育部制訂.全日制普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（修訂版）.北京：人民教育出版社，2000.

[2] 中華人民共和國(guó)教育部制訂.全日制普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)版）.北京：人民教育出版社，2003.

[3] 中華人民共和國(guó)教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn).北京：人民教育出版社，2017.

[4] 史寧中，孔凡哲，李淑文.課程難度模型：我國(guó)義務(wù)教育幾何課程難度的對(duì)比.東北師大學(xué)報(bào)（哲學(xué)社會(huì)科學(xué)報(bào)），1001-6201（2005）06-0151-05.

[5] 魏鈺婷，梅全雄.兩套高中數(shù)學(xué)教材函數(shù)內(nèi)容的比較研究.課程與教學(xué)論，2011.

[6] 胡曉婷，高中數(shù)學(xué)教材中三角函數(shù)內(nèi)容的比較研究.首都師范大學(xué)，2011.

[7] 胡莉莉，中美初中數(shù)學(xué)教材函數(shù)內(nèi)容難度的比較研究.教學(xué)，信息.2095-3089（2012）03-0081-02.

[8] 呂世虎，劉鵬飛.《標(biāo)準(zhǔn)》和《大綱》函數(shù)內(nèi)容難度的比較研究.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1004-9894（2010）03-0063-04.

[9] 徐利治，鄭毓信.數(shù)學(xué)抽象方法與抽象分析法.南京：江蘇教育出版社，1990.