陳青遠(yuǎn)，霍穎瑩

（廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510520）

1 基本介紹

考慮Dirichlet級(jí)數(shù):

關(guān)于Dirichlet級(jí)數(shù)的增長性和值分布，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了長期的研究并取得了一系列的成果[1-4]， 其中包括許多與整函數(shù)有關(guān)的研究. 例如，M.N.Seremete[5]研究了快速增長的整函數(shù)的廣義級(jí)和廣義型，G. Kapoor與A. Nautiyal[6]為慢增長的Taylor整函數(shù)定義了廣義級(jí)，孔蔭瑩和甘會(huì)林[7]定義并分析了由慢增長的Dirichlet級(jí)數(shù)所定義的整函數(shù)的廣義級(jí)與廣義型. Dirichlet級(jí)數(shù)的增長性由它的級(jí)和型來衡量，關(guān)于全平面上Dirichlet級(jí)數(shù)增長性的研究成果[8-11]多數(shù)基于以下兩個(gè)條件:

和

文獻(xiàn)[12]在條件

下，采用Knopp-Kojima方法獲得了全平面上Dirichlet級(jí)數(shù)的最大模、最大項(xiàng)及系數(shù)之間的一些關(guān)系. 本文在較弱的條件下得到了與文獻(xiàn)[12]相同的結(jié)果，并提出了一個(gè)條件，在上述的兩個(gè)條件下可將上述結(jié)果轉(zhuǎn)化為由Dirichlet級(jí)數(shù)定義的整函數(shù)的廣義級(jí)與系數(shù)之間的關(guān)系.

為了確定Dirichlet級(jí)數(shù)的收斂域，常用Valiron公式來計(jì)算各種收斂橫坐標(biāo)，其中

而Knopp-Kojima[13]給出了求Dirichlet級(jí)數(shù)的3種收斂橫坐標(biāo)確切值的公式，方法如下:

如果 [k,k+1)∩{λn}= ?，那么令 Ak=A?k==0，得到分別關(guān)于 Ak，Ak?，的橫坐標(biāo)σc，σa，σu的公式，

定義1 對(duì)級(jí)數(shù)(1)，假設(shè) σu＜+∞，當(dāng)σ＞σu時(shí)，定義

接下來介紹慢增長的Dirichlet級(jí)數(shù)的廣義級(jí)[7]，讓?duì)?表示一組函數(shù)α (x)，滿足下列條件:

(1) α (x)為定義在[ a,+∞)上正的嚴(yán)格遞增的可微函數(shù)，且當(dāng) x→+∞時(shí)α (x)→+∞.

(2)

其 中 p≥1， p∈ ?+，ln[0]x=x,ln[1]x=lnx,···,ln[p]x=ln[p-1]lnx.

定義2 設(shè) α(x)∈ Λ，定義Dirichlet級(jí)數(shù)(1)的廣義級(jí)為

其中 M(σ)=sup{|f(σ+it)|:t∈ ?}.

本文要證明以下定理:

(1) 當(dāng)p=1時(shí)，

(2) 當(dāng) p=2,3,···時(shí)，

令

其中 pk由定義.

(1) 當(dāng)p=1時(shí)，

(2) 當(dāng) p=2,3,···時(shí)，

推論1 設(shè)Dirichlet級(jí)數(shù)(1)滿足條件 σu=-∞與(2)式，則

(1) 當(dāng) p=1時(shí)，

(2) 當(dāng) p=2,3,···時(shí)，

注:文中例5.1表明條件Δ =0弱于條件(2).

2 幾個(gè)引理

引理1 若α (x)∈ Λ，則

(1) 對(duì)任意的正數(shù)c 有，

(2) 當(dāng) p=1時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù) A，

(3) 當(dāng) p=2,3,···時(shí)，對(duì)于任意的0 ＜A1,A2＜B1和B＞1有，

證明 因 α(x)∈ Λ，由等式(4)可得

對(duì)固定的 p 和充分小的正數(shù)ε ，存在 M＞0，對(duì)于任意的 x＞M有，

也就是

證明的余下部分讀者可參閱文獻(xiàn)[12]和[14].

引理2[15]設(shè)Dirichlet級(jí)數(shù)(1)滿足條件 σu＜+∞，對(duì)任意的σ ＞σu，下面的結(jié)論成立:

(1) 對(duì)于任意的正整數(shù)n ，| an|≤ M(σ)eλnσ；

引理3 設(shè)Dirichlet級(jí)數(shù)(1)滿足條件σu=-∞，對(duì)于每個(gè)α (x)∈ Λ有，

證明 證明與文獻(xiàn)[14]的引理2.3的類似，因而在此不予證明.

引理4[15]設(shè)是一正的常數(shù)，是任一實(shí)數(shù). 那么函數(shù)

3 定理證明

3.1 定理1的證明

證明 因條件 σu=-∞，由引理3可知可取代定理1中的令

那么對(duì)任意δ ＞0，當(dāng)k 充分大時(shí)，有

從而可得，

下面將證明分為兩種情況完成.

情況Ⅰ:當(dāng) p=1時(shí)，首先證明

由式(11)有，

再由引理4可得，

應(yīng)用式(5)和式(6)，就有

因此，

假設(shè)上式中等號(hào)不成立，則

那么存在 ε0＞0，使得對(duì)充分大的- σ和任意的正整數(shù) k，

由式(11)得，

令

于是

應(yīng)用式(9)，有

由此可見，

這與式(12)相矛盾.

首先，證明

否則有k (-σ)＞ H，于是

從而有，

結(jié)合式(13～14)，于是對(duì)任意正整數(shù) k有，

由此可知，

由式(7)得，

于是

從而有，

因此，

最后，需證明

假設(shè)

通過式(15)可證得

與等式(12)矛盾，定理立刻可得.

如果不等式(15)成立，那么存在 ε0＞ 0，當(dāng)- σ充分大時(shí)，

則對(duì)任意的正整數(shù)k ，

因?yàn)棣襲=-∞，從而有

由此可得，

與

令

則

結(jié)合式(16)與式(18)可知，當(dāng)k 充分大時(shí)，

即

于是

因此，與等式(12)產(chǎn)生矛盾.由以上兩種情況本文完成了定理1的證明.

3.2 定理2的證明

證明 設(shè)

下面將證明分為兩步完成.

第1步:不論 p取何值，首先證明

由于 σu=-∞且，可從定理1中注意到以下事實(shí)

因此，只需證

由式(20)，對(duì)任意 δ＞0，存在正整數(shù) N0，使得對(duì)于任意n ＞N0，有

于是

那么當(dāng)k ＞N0時(shí)，

由條件 Δ=0，對(duì)于充分小的ε ＞0，存在正整數(shù)N1，使得對(duì)任意k ＞N1時(shí)有，

當(dāng)k＞max{N0,N1}，

即

情況Ⅰ:對(duì)于 p=1，由式(11)知，

于是

應(yīng)用式(6)可得，

因此，

情況Ⅱ:對(duì)于 p=2,3,···，由式(7)知，對(duì)任意正數(shù)M，總存在正整數(shù)N2，使得對(duì)于任意k ＞N2，

即

令K=max{N0,N1,N2}，當(dāng)k ＞K時(shí)，

于是

由式(5)可得，

由δ 的任意性，就有式(21).

第2步:下面證明

假設(shè)

定理將通過式(22)可證得

與等式(20)矛盾而得證.

情況Ⅰ:對(duì)于 p=1，由式(22)，存在ε0＞ 0，使得對(duì)充分大的- σ有，

根據(jù)引理2的(1)，對(duì)于上述的σ 與任意的正整數(shù)n 有，

再由式(11)可知

令

于是

應(yīng)用不等式(9)即得

由此可得

這與式(20)相矛盾.

情況Ⅱ:對(duì)于 p=2,3,···，如果不等式(22)成立，那么存在ε0＞0，當(dāng)- σ充分大時(shí)，

對(duì)于任意的正整數(shù)n ，有

由于σu=-∞，再由式(3)可知

則有

且

令

則

從而結(jié)合式(23)和式(25)可知，當(dāng)n 充分大時(shí)，有

即

于是

因此，

這與式(20)產(chǎn)生矛盾.

由以上兩個(gè)步驟定理2即得證.

4 推論證明

證明 由于

那么對(duì)于任意ε ＞0，當(dāng)正整數(shù) n充分大時(shí)，

于是

則當(dāng)k 充分大時(shí)有，

由此可得，

因此， Δ=0. 又因σu=-∞，根據(jù)定理2可知推論成立.

5 例子

則有

再由Δ 的定義可得，

但是，