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        巧用公式簡解高考導(dǎo)數(shù)試題

        2019-07-12 02:43:58遼寧省撫順市四方高級中學113122孟慶杰
        中學數(shù)學研究(廣東) 2019年11期
        關(guān)鍵詞:極小值極大值高考題

        遼寧省撫順市四方高級中學(113122) 孟慶杰

        一、公式及其推導(dǎo)

        公式1設(shè)函數(shù)f(x) = (ax + b)ex(a0), 即則當a >0 時, 函數(shù)f(x) 在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,為極小值點;當a <0 時,函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減為極大值點.

        公式2設(shè)函數(shù)f(x) = (ax + b)e-x(a0), 即則當a >0 時, 函數(shù)f(x) 在區(qū)間上單調(diào)遞增, 在區(qū)間上單調(diào)遞減,為極大值點; 當a <0 時, 函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減, 在區(qū)間上單調(diào)遞增,為極小值點.

        公式3設(shè)函數(shù)即f(x) = aex, 則(1) 當Δ =4a2+b2-4ac ≤0 時,若a >0,則函數(shù)f(x)在? 上單調(diào)遞增;若a <0,則函數(shù)f(x)在? 上單調(diào)遞減,此時函數(shù)f(x)無極值.(2)當Δ = 4a2+b2-4ac >0 時, 設(shè)x1= -1-和若a >0, 則函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,x1)上單調(diào)遞增, 在區(qū)間(x1,x2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(x2,+∞)上單調(diào)遞增,x1為極大值點, x2為極小值點; 若a <0, 則函數(shù)f(x) 在區(qū)間(-∞,x1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(x1,x2)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(x2,+∞)上單調(diào)遞減,x1為極小值點,x2為極大值點.

        公式4設(shè)函數(shù)f(x) =(ax2+bx+c)e-x(a0),即f(x) = a則(1) 當Δ =4a2+b2-4ac ≤0 時, 若a >0, 則函數(shù)f(x) 在? 上單調(diào)遞減; 若a <0,則函數(shù)f(x)在? 上單調(diào)遞增,此時函數(shù)f(x) 無極值.(2) 當Δ = 4a2+b2-4ac >0 時, 設(shè)x1=若a >0, 則函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,x1)上單調(diào)遞減, 在區(qū)間(x1,x2)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(x2,+∞)上單調(diào)遞減,x1為極小值點, x2為極大值點; 若a <0, 則函數(shù)f(x) 在區(qū)間(-∞,x1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(x1,x2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(x2,+∞)上單調(diào)遞增,x1為極大值點,x2為極小值點.

        公式5設(shè)函數(shù)且ax2+bx+c0),即則(1)當Δ = 4a2+b2-4ac ≤0 時,若a >0,則函數(shù)f(x)在?上單調(diào)遞增;若a <0,則函數(shù)f(x)在? 上單調(diào)遞減,此時函數(shù)f(x)無極值.(2)當Δ = 4a2+b2-4ac >0 時,設(shè)x1=和若a >0, 則函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,x1)上單調(diào)遞增, 在區(qū)間(x1,x2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(x2,+∞)上單調(diào)遞增,x1為極大值點, x2為極小值點; 若a <0, 則函數(shù)f(x) 在區(qū)間(-∞,x1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(x1,x2)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(x2,+∞)上單調(diào)遞減,x1為極小值點,x2為極大值點.

        證明公式1因為f(x) = (ax + b)ex(a0), 則f′(x) = (ax+b+a)ex.令f′(x) = 0, 解得所以若a > 0, 當時, f′(x) < 0;當時, f′(x) > 0.若a < 0, 當時,f′(x)>0;當時,f′(x)<0,所以公式1 得證.

        證明公式2因為f(x) = (ax + b)e-x(a0), 則f′(x) = (a-b-ax)e-x.令f′(x) = 0, 解得所以若a >0, 當時, f′(x) >0; 當時, f′(x) < 0.若a < 0, 當x ∈時, f′(x) <0; 當時,f′(x)>0,所以公式2 得證.

        證明公式3因為f(x) =(ax2+bx+c)ex(a0),則f′(x) =[ax2+(b+2a)x+b+c]ex.設(shè)判別式Δ =4a2+ b2- 4ac, (1) 當Δ = 4a2+ b2- 4ac ≤0 時, 若a > 0, 則f′(x) ≥ 0; 若a < 0, 則f′(x) ≤ 0.(2) 當Δ = 4a2+ b2- 4ac >0 時, 令f′(x) = 0, 解得x1=所以若a >0,當x ∈(-∞,x1)時,f′(x)>0;當x ∈(x1,x2)時,f′(x) <0;當x ∈(x2,+∞)時,f′(x) >0.若a <0,當x ∈(-∞,x1)時,f′(x) <0;當x ∈(x1,x2)時,f′(x) >0;當x ∈(x2,+∞)時,f′(x)<0,所以公式3 得證.

        證明公式4因為f(x) =(ax2+bx+c)e-x(a0),則f′(x) =[-ax2+(2a-b)x+b-c]e-x.設(shè)判別式Δ = 4a2+ b2- 4ac, (1) 當Δ = 4a2+ b2- 4ac ≤ 0時, 若a > 0, 則f′(x) ≤ 0; 若a < 0, 則f′(x) ≥ 0.(2) 當Δ = 4a2+ b2- 4ac >0 時, 令f′(x) = 0, 解得所以若a >0,當x ∈(-∞,x1)時,f′(x)<0;當x ∈(x1,x2)時,f′(x) >0;當x ∈(x2,+∞)時,f′(x) <0.若a <0,當x ∈(-∞,x1)時,f′(x) >0;當x ∈(x1,x2)時,f′(x) <0;當x ∈(x2,+∞)時,f′(x)>0,所以公式4 得證.

        證明公式5因為且ax2+bx+c0),則設(shè)Δ = 4a2+ b2- 4ac, (1) 當Δ = 4a2+ b2- 4ac ≤0時, 若a > 0, 則f′(x) ≥ 0; 若a < 0, 則f′(x) ≤ 0.(2) 當Δ = 4a2+ b2- 4ac >0 時, 令f′(x) = 0, 解得所以若a >0,當x ∈(-∞,x1)時,f′(x)>0;當x ∈(x1,x2)時,f′(x) <0;當x ∈(x2,+∞)時,f′(x) >0.若a <0,當x ∈(-∞,x1)時,f′(x) <0;當x ∈(x1,x2)時,f′(x) >0;當x ∈(x2,+∞)時,f′(x)<0,所以公式5 得證.

        二、利用公式簡解高考題

        1.利用公式1 簡解高考題

        例1(2012年高考陜西卷理科)設(shè)函數(shù)f(x) = xex,則( )

        A.x=1 為f(x)的極大值點

        B.x=1 為f(x)的極小值點

        C.x=-1 為f(x)的極大值點

        D.x=-1 為f(x)的極小值點

        解由公式1 易得,x=-1 為f(x)的極小值點,D 正確.

        例2(2011年高考北京卷文科) 已知函數(shù)f(x) =(x-k)ex,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

        解由公式1 得,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,k-1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(k-1,+∞)上單調(diào)遞增.

        2.利用公式2 簡解高考題

        例3(2010年高考天津卷理科)已知函數(shù)f(x)=xe-x,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.

        解由公式2 得,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減;x=1 為極大值點,且極大值為

        3.利用公式3 簡解高考題

        例4(2017年高考課標卷II 文科) 設(shè)函數(shù)f(x) =(1-x2)ex,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

        解因為f(x)=(1-x2)ex=-(x2-1)ex,由公式3得,Δ = 8 >0,設(shè)和所以函數(shù)f(x)在(-∞,x1)上單調(diào)遞減,在(x1,x2)上單調(diào)遞增,在(x2+∞)上單調(diào)遞減.

        例5(2009年高考遼寧卷文科) 設(shè)函數(shù)f(x) =(ax2+x+1)ex, 且曲線y = f(x) 在x = 1 處的切線與x 軸平行,求a 的值,并討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

        解由題意易求a=-1,所以

        由公式3 得,Δ = 9 >0,設(shè)x1= -2 和x2= 1, 所以函數(shù)f(x) 在(-∞,-2) 上單調(diào)遞減, 在(-2,1) 上單調(diào)遞增, 在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

        例6(2006年高考重慶卷理科) 已知函數(shù)f(x) =(x2+bx+c)ex, b,c ∈? 為常數(shù), 若b2>4(c - 1), 討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

        解因為b2>4(c - 1), f(x) =(x2+bx+c)ex=由公式3 得,Δ=b2-4(c-1)>0, 設(shè)所以函數(shù)f(x) 在(-∞,x1) 上單調(diào)遞增,在(x1,x2)上單調(diào)遞減,在(x2,+∞)上單調(diào)遞增.

        例7(2005年高考重慶卷理科)已知a ∈?,討論函數(shù)f(x)=(x2+ax+a+1)ex的極值點的個數(shù).

        解因 為 f(x)=(x2+ax+a+1)ex=由公式3 得,Δ=a2-4a,當Δ ≤0 時,函數(shù)f(x)在? 單調(diào)遞增,無極值;當Δ >0 時,設(shè)和所以函數(shù)f(x)有兩個極值點即x1為極大值點,x2為極小值點.

        例8(2018年高考北京卷理科) 設(shè)函數(shù)f(x) =[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex, 若函數(shù)f(x) 在x = 2 處取得極小值,求a 的取值范圍.

        解因為在x = 2 處取得極小值,由公式3 得,Δ=(2a-1)2>0,設(shè)和x2=2,當a >0 且即時,f(x)在x = 2 處取得極小值,所以所求a 的取值范圍為

        例9(2017年高考課標卷II 理科) 若x = -2 是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點,則函數(shù)f(x)的極小值為( )

        A.-1 B.-2e-3C.5e-3D.1

        解因 為 f(x)=(x2+ax-1)ex-1=是函數(shù)f(x) 的極值點,由公式3 得,Δ >0,設(shè)和令x1= -2(或x2= -2),解得a=-1,所以x1=-2 和x2=1,且x2為極小值點,所以所求極小值為f(1)=-1,A 正確.

        例10(2009年高考天津卷理科) 已知函數(shù)f(x) =(x2+ax-2a2+3a)ex(x ∈?),其中a ∈?,當時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

        解因為由公式3 得,Δ=(3a-2)2>0,設(shè)x1= -2a 和x2= a-2,所以當-2a >a-2 即時, 函數(shù)f(x)在(-∞,a-2)上單調(diào)遞增, 在(a-2,-2a)上單調(diào)遞減, 在(-2a,+∞) 上單調(diào)遞增, x = a - 2 為f(x) 的極大值點且極大值為f(a - 2) = (4 - 3a)ea-2,x=-2a 為f(x)的極小值點且極小值為f(-2a)=3ae-2a;當-2a <a - 2 即時, 函數(shù)f(x) 在(-∞,-2a)上單調(diào)遞增, 在(-2a,a-2) 上單調(diào)遞減, 在(a-2,+∞)上單調(diào)遞增, x = a - 2 為f(x) 的極小值點且極小值為f(a-2)=(4-3a)ea-2,x=-2a 為f(x)的極大值點且極大值為f(-2a)=3ae-2a.

        例11(2005年高考全國卷II 理科) 已知a ≥0, 函數(shù)f(x) =(x2-2ax)ex,(1)當x 為何值時,f(x)取得最小值?證明你的結(jié)論;(2)設(shè)f(x)在[-1,1]上是單調(diào)函數(shù),求a 的取值范圍.

        解(1) 因 為 f(x)=(x2-2ax)ex=[(x-a)2-a2]ex, 由公式3 得, Δ = 4 + 4a2> 0, 設(shè)和所以函數(shù)f(x) 在(-∞,x1) 上單調(diào)遞增, 在(x1,x2) 上單調(diào)遞減, 在(x2+∞) 上單調(diào)遞增, x1為極大值點, x2為極小值點.又a ≥ 0, 所以x1< -1, x2≥ 0.當x <0 時, f(x) = x(x - 2a)ex>0, 又f(0) = 0, 所以當時,f(x)取得最小值.(2)由(1)得,當x1≤-1 且x2≥1 時,f(x)在[-1,1]上是單調(diào)函數(shù),解得為所求a 的取值范圍.

        4.利用公式4 簡解高考題

        例12(2013年高考課標卷II 文科) 已知函數(shù)f(x) =x2e-x,求函數(shù)f(x)的極小值和極大值.

        解由公式4 得, Δ = 4 >0, 設(shè)x1= 0 和x2= 2, 所以x=0 為f(x)的極小值點且極小值為f(0)=0,x=2 為f(x)的極大值點且極大值為f(2)=4e-2.

        例13(2008年高考重慶卷理科) 設(shè)函數(shù)f(x) =ax2+ bx + c (a0), 曲線y = f(x) 通過點(0,2a + 3),且在點(-1,f(-1))處的切線垂直于y 軸,當bc 取得最小值時,求函數(shù)g(x)=-f(x)e-x的單調(diào)區(qū)間.

        解由題意易求所以所以g(x) = -f(x)e-x=由公式4 得,Δ = 9 >0,設(shè)x1= -2和x2= 2, 所以函數(shù)g(x) 在(-∞,-2) 上單調(diào)遞減, 在(-2,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減.

        例14(2011年高考重慶卷理科) 設(shè)函數(shù)f(x) =x3+ax2+bx+1 的導(dǎo)數(shù)f′(x)滿足f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中常數(shù)a,b ∈?,設(shè)g(x)=f′(x)e-x,求函數(shù)g(x)的極值.

        解由題意易求,所以f(x) =所以f′(x) = 3x2- 3x - 3, 所以g(x) = f′(x)e-x= 3由公式4 得,Δ = 81 >0,設(shè)x1= 0 和x2= 3,所以x = 0 為g(x)的極小值點且極小值為g(0) = -3,x = 3 為g(x)的極大值點且極大值為g(3)=15e-3.

        例15(2006年高考湖北卷理科) 設(shè)x = 3 是函數(shù)f(x) =(x2+ax+b)e3-x(x ∈?)的一個極值點,求a 與b的關(guān)系(用a 表示b),并求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

        解因為x = 3 是f(x) 的極值點, f(x) =由公式4 得,Δ >0,設(shè)和令x1= 3(或x2= 3),解得b = -2a-3.將b 代入x1和x2得,x1= -1-a,x2= 3.當-1-a >3 即a <-4 時,函數(shù)f(x)在(-∞,3)上單調(diào)遞減,在(3,-1-a)上單調(diào)遞增,在(-1-a,+∞)上單調(diào)遞減; 當-1-a <3即a >-4 時, 函數(shù)f(x)在(-∞,-1-a)上單調(diào)遞減, 在(-1-a,3)上單調(diào)遞增,在(3,+∞)上單調(diào)遞減.

        例16(2015年高考重慶卷理科) 設(shè)函數(shù)f(x) =(3x2+ax)e-x(a ∈?), 若f(x) 在[3,+∞) 上單調(diào)遞減,求a 的取值范圍.

        解因為

        由公式4 得,Δ=36+a2>0,設(shè)

        則函數(shù)f(x) 在(x2,+∞) 上單調(diào)遞減.又f(x) 在[3,+∞)上單調(diào)遞減,所以x2≤3,解得所以所求a 的取值范圍為

        例17(2018年高考課標卷III 文科) 已知f(x) =(ax2+x-1)e-x,證明: 當a ≥1 時,f(x)+e ≥0.

        證明因為a ≥1,由公式4 得,Δ = (2a+1)2>0,設(shè)和x2= 2,所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減是f(x)的極小值點, 且極小值為又所以即又x ∈(2,+∞)時,f(x) >0,所以當a ≥1 時,f(x)+e ≥0.

        5.利用公式5 簡解高考題

        例18(2011年高考安徽卷理科) 設(shè)函數(shù)f(x) =其中a 為正實數(shù), (1) 當時, 求f(x) 的極值點;(2)若f(x)在? 上是單調(diào)函數(shù),求a 的取值范圍.

        解(1)因為所以

        (2)因為f(x)在? 上是單調(diào)函數(shù),由公式5 得,Δ ≤0 即4a2-4a ≤0,解得0 ≤a ≤1,又a 為正實數(shù),所以所求a 的取值范圍為(0,1].

        例19(2009年高考重慶卷理科) 設(shè)函數(shù)f(x) =ax2+bx+k (k >0)在x = 0 處取極值,且曲線y = f(x)在點(1,f(1))處的切線垂直于直線x+2y+1 = 0,若函數(shù)討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.

        解由題意易求a=1,b=0,所以f(x)=x2+k,所以由公式5 得,Δ=4-4k,當Δ ≤0 即k ≥1時,函數(shù)g(x)在? 上單調(diào)遞增;當Δ >0 即0 <k <1 時,設(shè)和所以函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

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