福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100) 蘇藝偉

1.面面平行的兩個(gè)結(jié)論

人教A 版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)必修2 在第2.24 節(jié)(即課本第60 頁(yè))給出了面面平行的性質(zhì)定理.

結(jié)論1如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行.

結(jié)論1 告訴我們可以由平面與平面平行得到直線(xiàn)與直線(xiàn)平行.另外，由面面平行還可以得到一個(gè)重要的結(jié)論：

結(jié)論2如果兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行.

結(jié)論2 在課本中并沒(méi)有以性質(zhì)定理的形式出現(xiàn)，但是在解題中卻經(jīng)常用到.也就是說(shuō)，由面面平行可以得到上述兩個(gè)重要的結(jié)論，這兩個(gè)結(jié)論在立體幾何的解題中經(jīng)常涉及到，本文舉例說(shuō)明.

2.結(jié)論1 的應(yīng)用

結(jié)論1 的作用不僅僅用來(lái)證明線(xiàn)線(xiàn)平行，其實(shí)更為重要的作用是找出兩相交平面的交線(xiàn)或者找出交線(xiàn)與已知直線(xiàn)的位置關(guān)系(此時(shí)不一定要找出具體交線(xiàn)的位置).

例1如圖1 所示， 正方體ABCD - A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)P 是棱AD 上一點(diǎn)，且過(guò)B1， D1， P 的平面交底面ABCD 于PQ，點(diǎn)Q 在直線(xiàn)CD 上，求PQ 的長(zhǎng).

解析由于面ABCD//面A1B1C1D1，面PD1B1∩面A1B1C1D1=D1B1，面PD1B1∩面ABCD =PQ，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，PQ//D1B1.又DB//D1B1，所以，PQ//DB.結(jié)合題意，由于故在AB 上取點(diǎn)M，使得此時(shí)PM//DB，故點(diǎn)Q 為PM 與CD的交點(diǎn).根據(jù)三角形的相似性易求得

圖1

評(píng)析過(guò)B1，D1，P 的平面交底面ABCD 于PQ，交線(xiàn)PQ 該如何確定呢?由于點(diǎn)P 是棱AD 上一點(diǎn)，且故點(diǎn)P 的位置是確定的，那么如何確定點(diǎn)Q?利用結(jié)論1 找出過(guò)B1，D1，P 的平面與面ABCD 的交線(xiàn)PQ.

例2(2015年全國(guó)卷II 第19 題) 如圖2， 長(zhǎng)方體ABCD -A1B1C1D1中，AB =16，BC =10，AA1= 8， 點(diǎn)E,F 分別在A1B1，D1C1上， A1E = D1F = 4.過(guò)點(diǎn)E,F 的平面α 與此長(zhǎng)方體的面相交，交線(xiàn)圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫(huà)法和理由).(2)略.

圖2

解析由于面A1B1C1D1// 平面ABCD， 面α∩平面A1B1C1D1= EF，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，有面α 與面ABCD 的交線(xiàn)必與EF 平行，設(shè)為HG.連接EH，F(xiàn)G，則四邊形EFGH 即為所求正方形.

評(píng)析題目告知過(guò)點(diǎn)E,F 的平面α 與此長(zhǎng)方體的面相交，交線(xiàn)圍成一個(gè)正方形，那么這些交線(xiàn)如何畫(huà)出?利用結(jié)論1 找出交線(xiàn)HG.

例3(2016年全國(guó)I 卷第11題) 平面α 過(guò)正方體ABCD -A1B1C1D1的頂點(diǎn)A， α// 平面CB1D1， α∩平面ABCD = m，α∩平面ABB1A1= n， 則m,n所成角的正弦值為( )

圖3

解析如圖3 所示，設(shè)面CB1D1∩平面ABCD = m1，面CB1D1∩平面ABB1A1= n1.由于α// 平面CB1D1，平面ABCD ∩α = m， 平面ABCD∩面CB1D1= m1，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理有m//m1.由于面ABCD// 面A1B1C1D1， 面CB1D1∩平面ABCD = m1， 面CB1D1∩平面A1B1C1D1= B1D1， 根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理有B1D1//m1.因此有m//B1D1.由于α// 平面CB1D1， 平面ABB1A1∩α = n，平面ABB1A1∩面CB1D1= n1，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理有n//n1.由于面DCC1D1// 面ABB1A1，面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1，面CB1D1∩平面ABB1A1=n1，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理有CD1/ln1.因此有n//CD1.因此， m,n 所成角的正弦值為B1D1與CD1所成角的正弦值.由于△CB1D1是一個(gè)正三角形，故正弦值為

評(píng)析題目條件為α//平面CB1D1，α∩平面ABCD =m，但是并未告知平面CB1D1和平面ABCD 的交線(xiàn)是什么; 題目條件為α// 平面CB1D1， α∩平面ABB1A1= n，但是并未告知平面CB1D1和平面ABB1A1的交線(xiàn)是什么.那么如何確定這兩條交線(xiàn)呢?事實(shí)上并不一定要把這兩條交線(xiàn)找出來(lái)，利用結(jié)論1 進(jìn)行轉(zhuǎn)化輕松求解，化抽象為具體，實(shí)現(xiàn)解題的優(yōu)化.

3.結(jié)論2 的應(yīng)用

結(jié)論2 的作用不僅僅用來(lái)證明線(xiàn)面平行，更為重要的作用是解決立體幾何中的一些翻折問(wèn)題，動(dòng)態(tài)問(wèn)題或者作圖問(wèn)題.

例4如圖4 所示， 在矩形ABCD 中， AB = 2AD， E 為邊AB 的中點(diǎn).將△ADE 沿直線(xiàn)DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE(A1/∈面ABCD).若M,O 分別為線(xiàn)段A1C,DE 的中點(diǎn).則在△ADE 翻轉(zhuǎn)的過(guò)程中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )

A.與A1DE 面垂直的直線(xiàn)必與直線(xiàn)BM 垂直

B.異面直線(xiàn)BM 與A1E 所成角是定值.

C.一定存在某一個(gè)位置，使DE⊥MO.

D.三棱錐A1-ADE 外接球半徑與棱AD 的長(zhǎng)之比為定值.

解析對(duì)于A 選項(xiàng)，取CD 的中點(diǎn)F，連接BF，MF.由面面平行的判定定理可知面A1DE//面MFB， 又BM ?面MFB，所以BM//面A1DE.因此與面A1DE 垂直的直線(xiàn)必與直線(xiàn)BM 垂直.

評(píng)析利用結(jié)論2 證明出BM// 面A1DE， 從而與面A1DE 垂直的直線(xiàn)必與直線(xiàn)BM 垂直.

圖4

圖5

例5如圖5 所示， 已知點(diǎn)E,F 分別為正方體ABCD -A1B1C1D1的棱AB,AA1上的點(diǎn)，且點(diǎn)M,N 分別為線(xiàn)段D1E 和線(xiàn)段C1F 上的動(dòng)點(diǎn).則與面ABCD 平行的直線(xiàn)MN 有幾條?

解析取連接FH， 則FH//AB.在線(xiàn)段D1E 上取在線(xiàn)段DE 上取連接OH,OK,BK.則易得四邊形OKBH 為矩形.連接HE，在段D1E 上任取一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M 在面D1HE 中，作MG//HO， 交D1H 于G.再過(guò)點(diǎn)G 作GN//HF， 交C1F于N，連接MN.由面面平行的判定定理可知面MNG//面ABCD，又MN ?面MNG，所以MN//面ABCD.由于M 為D1E 上任意一點(diǎn)，故與面ABCD 平行的直線(xiàn)MN 有無(wú)數(shù)條.

評(píng)析利用結(jié)論2 證明出MN//面ABCD，結(jié)合點(diǎn)M的動(dòng)態(tài)性，可得與面ABCD 平行的直線(xiàn)MN 有無(wú)數(shù)條.

例6如圖6 所示， 在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD -A1B1C1D1中，點(diǎn)E,F 分別是棱BC,CC1的中點(diǎn).P 是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn).若A1P//面AEF，則線(xiàn)段A1P 長(zhǎng)度的取值范圍是____.

圖6

解析取B1C1中點(diǎn)M， B1B 中點(diǎn)N.連接A1M,A1N,MN.由面面平行的判定定理可知面A1MN//面AEF.又A1P//面AEF，P 是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點(diǎn)，所以點(diǎn)P ∈MN.易求得

評(píng)析利用結(jié)論2 可知， 必須找到一個(gè)平面包含直線(xiàn)A1P， 且該平面與面AEF 平行， 再結(jié)合點(diǎn)P 是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點(diǎn)，從而得到點(diǎn)P 在面A1MN 與面BCC1B1這兩個(gè)平面的交線(xiàn)MN 上.

例7如圖7 所示， 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E 是棱AB 的中點(diǎn)，F(xiàn) 在CC1上，且CF =2FC1.點(diǎn)P 是側(cè)面AA1D1D(包括邊界)上一動(dòng)點(diǎn)，且PB1//面DEF，則tan ∠ABP 的取值范圍是______.

圖7

解析取連接B1M,B1F,MD.易知四邊形MDFB1為平行四邊形，故B1M//DF.取D1C1中點(diǎn)N，作NG//DF，交DD1于G，連接MG,NB1.由面面平行的判定定理可知面MB1NG//面DEF.又PB1//面DEF，P 是側(cè)面AA1D1D(包括邊界)內(nèi)一點(diǎn)，所以點(diǎn)P ∈MG.易求得

評(píng)析利用結(jié)論2 可知， 必須找到一個(gè)平面包含直線(xiàn)PB1， 且該平面與面DEF 平行， 再結(jié)合點(diǎn)P 是側(cè)面AA1D1D 內(nèi)一點(diǎn)， 從而得到點(diǎn)P 在面AA1D1D 與面MB1NG 兩個(gè)平面的交線(xiàn)MG 上.

例8如圖8 所示， 在三棱柱ABC-A1B1C1中，P,Q 分別為棱AA1,AC 的中點(diǎn).在面ABC 內(nèi)過(guò)點(diǎn)A 作AM//面PQB1交BC 于點(diǎn)M，寫(xiě)出作圖步驟并證明.

圖8

解析步驟： (1)取BB1中點(diǎn)N，連接AN.(2)連接BQ，取BQ 中點(diǎn)H.(3)連接AH，并延長(zhǎng)BC 交于M.

證明由面面平行的判定定理可知面ANH//面PQB1.由于AM ?面ANH，所以AM//面PQB1.

評(píng)析利用結(jié)論2 可知， 必須找到一個(gè)平面包含直線(xiàn)AM，且該平面與面PQB1平行，再結(jié)合AM 在面ABC 內(nèi)，從而得到AM 在面ANH 與面ABC 兩個(gè)平面的交線(xiàn)AH上.又點(diǎn)M 在BC 上，故而延長(zhǎng)AH，與BC 交點(diǎn)即為M.本題利用結(jié)論2 作圖，得到符合題意的直線(xiàn)AM，進(jìn)而確定點(diǎn)M 的位置.

4.結(jié)束語(yǔ)

在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)對(duì)于上述面面平行的兩個(gè)結(jié)論的認(rèn)識(shí)，不少學(xué)生和教師僅僅停留在簡(jiǎn)單的利用結(jié)論1 來(lái)證明線(xiàn)線(xiàn)平行，利用結(jié)論2 來(lái)證明線(xiàn)面平行，遇到較為復(fù)雜或較難的題目就不懂得利用上述兩個(gè)結(jié)論處理.這不能不說(shuō)是對(duì)面面平行學(xué)習(xí)的一種缺失和遺憾.從本文論述不難發(fā)現(xiàn)，利用兩個(gè)結(jié)論來(lái)處理立體中的交線(xiàn)問(wèn)題，翻折問(wèn)題，動(dòng)態(tài)問(wèn)題，作圖問(wèn)題等，可以化繁為簡(jiǎn)，化抽象為具體，實(shí)現(xiàn)解題能力的提升.因此在立體幾何的教學(xué)中教師一定注重對(duì)概念，公理，判定定理，性質(zhì)定理的深層次講解，而不是停留在表面的膚淺的簡(jiǎn)單認(rèn)識(shí)上，并且在此基礎(chǔ)上通過(guò)典型題目進(jìn)行鞏固和綜合應(yīng)用，唯有如此才能提升學(xué)生運(yùn)用綜合法求解立體幾何試題的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和邏輯推理能力，提高復(fù)習(xí)效益.