劉 賽，李長(zhǎng)春，朱 敏，李宇鵬，熊學(xué)文

（北京航天長(zhǎng)征飛行器研究所，北京，100076）

0 引 言

導(dǎo)彈是現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中的主要兵器之一，子母戰(zhàn)斗部由于其能夠有效擴(kuò)大針對(duì)目標(biāo)的覆蓋面積，在導(dǎo)彈武器發(fā)展中得到了廣泛的應(yīng)用，如果按照目標(biāo)特性和毀傷效果對(duì)子母彈系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，則能夠大幅提高子母戰(zhàn)斗部的毀傷效能。

子母戰(zhàn)斗部最終的毀傷效能由子彈數(shù)量、威力及其落點(diǎn)分布決定。子彈的落點(diǎn)分布主要取決于母彈的彈道參數(shù)特性、子彈的氣動(dòng)特性、子母彈拋撒特性和子彈的拋撒高度等因素。文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]均對(duì)子母彈的拋撒半徑優(yōu)化技術(shù)進(jìn)行了研究，其研究成果均可作為子母彈拋撒半徑的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法；文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]對(duì)子母彈開艙高度的高低散布因素進(jìn)行了分析，提出了敏感參數(shù)和敏感度的概念?？梢妼?duì)于子母彈，拋撒半徑是一個(gè)非常重要的戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo)，針對(duì)拋撒半徑開展優(yōu)化分析工作也是研究的熱點(diǎn)。

本文首先對(duì)子彈飛行彈道進(jìn)行建模，然后根據(jù)落速預(yù)測(cè)的理論對(duì)母彈飛行至理論拋撒高度時(shí)的速度進(jìn)行預(yù)測(cè)，并設(shè)計(jì)了一種重新計(jì)算拋撒高度的算法，根據(jù)該算法的計(jì)算結(jié)果在空中重新裝訂拋撒高度，通過仿真計(jì)算結(jié)果統(tǒng)計(jì)，應(yīng)用該方法后的子母彈拋撒半徑誤差將明顯減小。

1 動(dòng)力學(xué)建模

導(dǎo)彈拋撒子彈時(shí)已經(jīng)進(jìn)入導(dǎo)彈的飛行末段，通常此時(shí)的飛行高度較低，在研究子母彈拋撒技術(shù)時(shí)，可以把地球看作其圓球模型與拋撒時(shí)母彈海平面高度彈下點(diǎn)相切的平面大地，在大地平面中建立拋撒點(diǎn)當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系，如圖1所示。

圖1 子彈拋撒坐標(biāo)系、拋撒半徑定義Fig.1 Definition of Dispersion Coordinate System and Dispersion Radiusr—拋撒半徑

原點(diǎn)O為上述的切點(diǎn)，Oy軸垂直于大地平面指向母彈的拋撒點(diǎn)，Ox軸在平面內(nèi)指向母彈速度矢量在平面投影的方向（若速度方向垂直于平面，則可以任意選擇x軸方向），Oz軸按右手定則確定。

把母彈和子彈視為穩(wěn)定的質(zhì)點(diǎn)，在拋撒點(diǎn)當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系中建立子彈的飛行動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

式中 x，y，z為子彈在拋撒點(diǎn)當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系中的坐標(biāo)；Vx， Vy， Vz為子彈速度矢量在拋撒點(diǎn)當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系中各軸上的投影；V為子彈相對(duì)拋撒點(diǎn)當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系的速度；m為子彈的質(zhì)量； CA為子彈軸向力氣動(dòng)系數(shù)即阻力系數(shù)；q為動(dòng)壓；ρ為大氣密度； g0為重力加速度，考慮導(dǎo)彈拋撒高度高度通常在5 km以下，重力加速度變化較小，為簡(jiǎn)化公式推導(dǎo)，取為海平面重力加速度，9.806 65 m/s2。

對(duì)式（1）進(jìn)行數(shù)值積分，可以計(jì)算出子彈的落點(diǎn)。在計(jì)算子彈落點(diǎn)的拋撒半徑時(shí)，可以簡(jiǎn)化計(jì)算前、后、左、右4枚子彈的落點(diǎn)，然后根據(jù)落點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算等效圓半徑。在計(jì)算不同落點(diǎn)子彈的積分初始條件中，子彈的位置坐標(biāo)相同即母彈的位置：

式中0h為母彈在拋撒點(diǎn)的高度。

各子彈的初始速度不同，前落點(diǎn)子彈初始速度為

式中0V為母彈在拋撒點(diǎn)相對(duì)拋撒點(diǎn)當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系的速度；0?為母彈在拋撒點(diǎn)的當(dāng)?shù)貜椀纼A角；pV為拋撒子彈的最大速度。

后落點(diǎn)子彈初始速度：

左落點(diǎn)子彈初始速度：

右落點(diǎn)子彈初始速度：

以式（2）～（6）為初始條件，對(duì)式（1）進(jìn)行數(shù)值積分，計(jì)算得到子彈的前、后、左、右落點(diǎn)，坐標(biāo)分別為：，其中 hc為落點(diǎn)高程，m。

計(jì)算拋撒半徑r：

2 落速預(yù)測(cè)理論

通常情況下，很難得到母彈飛行動(dòng)力學(xué)的解析解，但是當(dāng)母彈在距離目標(biāo)較近的情況下，通過以下一系列假設(shè)，有利于得到落速解析解：

a）因母彈離目標(biāo)較近，可以只考慮俯仰平面飛行器的動(dòng)力學(xué)方程；

b）母彈的當(dāng)?shù)貜椀纼A角變化范圍較??；

c）母彈落速的馬赫數(shù)在較小的變化區(qū)間中，且不涵蓋亞跨聲速范圍，母彈阻力系數(shù) Cx取常值（可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行適當(dāng)修正）；

d）母彈拋撒前攻角近似為0；

根據(jù)以上假設(shè)，得到再入飛行器運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程[7]：

對(duì)式（8）進(jìn)行變量替換，可得：

式中eV為進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)母彈的速度；eh為進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)母彈的高度。

使用式（9）計(jì)算時(shí)，可以根據(jù)需要保留不同階數(shù)，在本文的計(jì)算中，保留二階。

3 拋撒高度優(yōu)化算法

綜合式（1）～（7）可得：

根據(jù)式（10）的全微分可以近似得到[8]：

式中 Re為拋撒半徑；?Re為拋撒半徑偏差。

在導(dǎo)彈方案已經(jīng)確定的情況下，在飛行末段拋撒參數(shù)?0和Vp很難通過主動(dòng)控制改變，因此可以認(rèn)為在式（11）中，??0=0，?Vpmax= 0 ，式（11）簡(jiǎn)化為如下形式：

如果導(dǎo)彈仍在原理論高度進(jìn)行拋撒，即00h?=，可以得到：

根據(jù)式（9），即可求出導(dǎo)彈在原理論高度的速度與理論速度的偏差0V?，從而根據(jù)式（13）求出導(dǎo)彈在原理論高度拋撒時(shí)的拋撒半徑偏差eR?。本文設(shè)計(jì)一種空中裝訂拋撒高度的算法，計(jì)算導(dǎo)彈需要調(diào)整的拋撒高度，將該高度裝訂至導(dǎo)彈的引爆控制系統(tǒng)中，導(dǎo)彈將根據(jù)新裝訂的高度進(jìn)行拋撒，以抵消式（13）的偏差，從而減小拋撒半徑的誤差帶。

根據(jù)式（12）可以近似得到：

其中，可以根據(jù)式（9），以0V和0h替換式（9）中的V

根據(jù)式（13）、式（14），為抵消由拋撒點(diǎn)速度偏差0V?帶來的拋撒半徑偏差，可以得到：

整理式（16），得到：

式中 ?h0為在原拋撒高度基礎(chǔ)上需要調(diào)整的高度；? V0為根據(jù)式（9）預(yù)測(cè)的速度與導(dǎo)彈理論速度的差（均在原理論拋撒高度上）。

將式（15）的計(jì)算結(jié)果代入式（17），即可得到導(dǎo)彈需要調(diào)整的拋撒高度。

4 仿真計(jì)算

根據(jù)上文的算法計(jì)算1個(gè)算例：

假設(shè)導(dǎo)彈最大拋撒速度為40 m/s，設(shè)計(jì)拋撒高度為2000 m，拋撒時(shí)母彈速度為1000 m/s，拋撒時(shí)母彈當(dāng)?shù)貜椀纼A角為-60°，當(dāng)母彈飛行至5000 m時(shí)進(jìn)行落速預(yù)測(cè)并裝訂優(yōu)化后的拋撒高度。

初始條件代入式（1）～（6），計(jì)算得到拋撒半徑為96.9 m。拋撒半徑對(duì)拋散參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)如表1所示。

表1 偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算結(jié)果Tab.1 Computational Results of Partial Derivatives

考慮母彈質(zhì)量、母彈速度、母彈當(dāng)?shù)貜椀纼A角、母彈氣動(dòng)力系數(shù)、子彈質(zhì)量、子彈氣動(dòng)力系數(shù)和大氣密度等偏差，應(yīng)用Monte Carlo法打靶計(jì)算1000條彈道，統(tǒng)計(jì)按理論高度拋撒的拋撒半徑結(jié)果和按算法裝訂拋撒高度的拋撒半徑結(jié)果。

母彈和子彈拋撒參數(shù)和特性參數(shù)的誤差如表2所示。

表2 拋撒參數(shù)和特性參數(shù)的誤差Tab.2 Errors of Dispersion Parameters and Characteristic Parameters

統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3所示。

表3 拋撒半徑統(tǒng)計(jì)結(jié)果Tab.3 Statistical Result of Dispersion Radius

5 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)的優(yōu)化算法簡(jiǎn)單，利于導(dǎo)彈在空中進(jìn)行拋撒高度的計(jì)算裝訂，應(yīng)用本算法后，可明顯地減小子母彈拋撒半徑的誤差帶，有益于精確控制子母彈的拋撒半徑，從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的毀傷效果。

同時(shí)，子彈出艙后的拋撒姿態(tài)、子彈氣動(dòng)穩(wěn)定性、母彈激波層等會(huì)為子彈帶來飛行穩(wěn)定性的影響，從而會(huì)影響子彈散布，對(duì)此本文未進(jìn)行分析，這也將是后續(xù)研究的方向。但是，可以根據(jù)地面試驗(yàn)和飛行試驗(yàn)獲取的數(shù)據(jù)對(duì)本文所述的方法進(jìn)行修正，主要是修正母彈和子彈的阻力系數(shù)，修正后的方法仍可以適用于工程應(yīng)用。