郭 鴻， 曹 龍， 張科強， 陳能遠， 馬帥帥， 王 普

(1.陜西理工大學 土木工程與建筑學院， 陜西 漢中 723000；2.信息產(chǎn)業(yè)部 電子綜合勘察研究院， 陜西 西安 710054)

離散元方法(Discrete Element Method，DEM)在當今的科研領(lǐng)域應(yīng)用愈來愈廣泛，如巖土工程[1-2]、地質(zhì)構(gòu)造、機械工程等領(lǐng)域。離散元方法著眼于對固體和松散介質(zhì)力學特性的深入研究，適合描述固體材料中細觀、宏觀裂紋擴展、破壞累積并斷裂、破壞沖擊和微震響應(yīng)等問題。PFC2D/3D(二維/三維顆粒流程序)是離散元方法的主流軟件之一，其中線性接觸模型和赫茲接觸模型是最常用的兩個模型。相對于線性接觸模型，赫茲接觸模型能更真實地模擬球體與墻體、球體與球體的接觸效果。劉暢等人[3]通過PFC2D建立了巖石材料的單軸和雙軸離散元[4]數(shù)值模擬試驗，進行了平行黏結(jié)有關(guān)參數(shù)[5-7]標定過程的研究，總結(jié)了細觀參數(shù)與宏觀參數(shù)之間的關(guān)系，方便平行黏結(jié)有關(guān)參數(shù)的確定。徐小敏等人[8]通過室內(nèi)三軸試驗的PFC3D模擬和結(jié)果的回歸分析，基于線性接觸模型建立了顆粒材料初始楊氏模量、初始泊松比等宏觀彈性常數(shù)與顆粒法向剛度、顆粒剛度比等細觀彈性常數(shù)間的經(jīng)驗公式。然而，就常用的兩種接觸模型(赫茲模型和線性模型)而言，其參數(shù)之間的相互聯(lián)系和標定目前尚未見文獻報道。

另外，在PFC2D運用過程中[9]，首先需要確定顆粒的相關(guān)參數(shù)，包括顆粒的尺寸，顆粒的剛度、強度，以及剪切模量、泊松比[10-11]等，計算模型參數(shù)的正確取值，有利于減少程序調(diào)試的次數(shù)。

鑒于此，本文以二維情況下規(guī)則排列的顆粒為研究對象，以赫茲模量和線性模型為理論基礎(chǔ)，在目前國內(nèi)外學者普遍運用的“試錯法”[12]的基礎(chǔ)上，深入研究線性接觸模型和赫茲接觸模型相關(guān)參數(shù)的關(guān)系，推導兩種模型關(guān)鍵參數(shù)之間的關(guān)系。

1 數(shù)學模型推導

PFC2D是通過離散單元方法來模擬圓形顆粒介質(zhì)的運動及其相互作用[13]。赫茲接觸和線性接觸可承受有限壓力，兩種模型用不同的計算方法模擬顆粒接觸，可模擬材料的本構(gòu)行為。

線性模型：線性接觸模型由常用的剪切剛度Kn和Ks定義相關(guān)模型參數(shù)(墻體和球體、球體和球體)。

赫茲(Hertz)模型：Hertz-Mindlin 接觸是基于Mindlin和德雷謝維奇(1953)理論的近似計算模型，在Cundall(1988)中描述了非線性接觸公式。它僅適用于接觸球面的情況。赫茲模型的基本參數(shù)為剪切模量G和泊松比v。

在PFC2D手冊的基礎(chǔ)上，對公式進行處理，得出線性模型與赫茲模型在形變量與受力相同的情況下，剪切模量G的計算方法。

線性模型中關(guān)于球體的法向剛度：

(1)

切向剛度：

(2)

赫茲模型中球體的法向剛度：

(3)

切向剛度：

(4)

在球體與球體、球體與墻體接觸的部分參數(shù)計算如下：

球體與球體接觸：

球體與墻體接觸：

(5)

在赫茲模型中力與形變量的關(guān)系為曲線，對形變量積分得出形變量與力的關(guān)系式：

(6)

(7)

由式(7)可知：

(8)

由式(5)可知：

(9)

(10)

由式(10)得：

(11)

進一步，可得出：

(12)

由于赫茲模型的參數(shù)標定程序相對復雜，而線性模型參數(shù)標定容易，因此，在已知最終應(yīng)力和變形等效的情況下，用線性模型代替赫茲模型進行數(shù)值模擬，可以提高計算效率。

2 PFC2D模型建立及數(shù)據(jù)分析

2.1 規(guī)則模型建立

圖1 顆粒模型

2.2 線性模型和赫茲模型的數(shù)值壓縮試驗對比

4種規(guī)則排列顆粒體系的線性接觸模型參數(shù)和赫茲模型參數(shù)如表1所示，相應(yīng)的壓縮試驗結(jié)果如圖2所示。不失一般性，對于2×1排列顆粒，泊松比取值為0.4，其余排列均為0.1，法向剛度均取為同一數(shù)值1.0×107N/m。

表1 顆粒模型參數(shù)表

(a) 2×1排列顆粒 (b) 10×1、10×3、10×5排列顆粒圖2 線性接觸模型和赫茲接觸模型接觸力與總變形量關(guān)系曲線

2.3 相同力與變形量條件下剪切模量與泊松比關(guān)系

以10×1顆粒體系為例，分別建立線性接觸模型和赫茲接觸模型與上節(jié)例子相同，線性模型的參數(shù)法向剛度取值為1.0×107N/m。以10×1顆粒體系為數(shù)值試樣進行壓縮試驗，設(shè)定一定壓縮量3.79 cm，則線性接觸模型的最大接觸力為21.1 kN。赫茲模型的參數(shù)泊松比取5個值，分別是0.1、0.2、0.3、0.4、0.5，則可以根據(jù)兩個模型的最終等效確定剪切模量G。赫茲接觸模型的數(shù)值壓縮試驗和用式(11)計算所得的剪切模量G和泊松比ν的關(guān)系如圖3所示?？梢钥闯?，模擬值和理論值非常接近，從而驗證了式(11)的正確性。

圖3 剪切模量與泊松比關(guān)系圖

3 結(jié) 論

本文通過數(shù)學推導的方法，提出了離散元數(shù)值模擬中線性接觸模型和赫茲接觸模型參數(shù)的相互關(guān)系，并通過建立不同排列規(guī)則模型的方法，分別用線性接觸模型和赫茲模型進行了數(shù)值模擬驗證。結(jié)果表明，所推導的線性模型與赫茲模型的參數(shù)正確。

(1)在模型其他參數(shù)條件不變的情況下，赫茲模型的剪切模量隨著其泊松比的增大而線性減小；

(2)相同條件下，赫茲接觸模型的剪切模量隨著線性接觸模型法向剛度的增大而指數(shù)增大；

(3)線性接觸模型由于參數(shù)標定容易確定，在總應(yīng)力-應(yīng)變等效的情況下，可以用本文推導出的公式進行模型代換赫茲接觸模型，提高數(shù)值模擬效率；

(4)對于不規(guī)則排列顆粒模型參數(shù)關(guān)系的驗證及計算方法的改進，還有待于進一步研究。